第二章 轴对称单元测试题（含答案）
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第二章 轴对称
单元测试题
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题(每小题4分，共40分)
1.美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是( )
2.如图是小华画的正方形风筝图案，他以图中的对角线AB为对称轴，在对角线的下方再画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若下列有一图形为轴对称图形，则此图为( )
3.如图,l ∥l ,点A在直线l 上,点 B在直线l 上,若AB=BC,∠C=25°,∠1=60°,则∠2的度数是 ( )
A.70° B.65° C.60° D.55°
4.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O相连并可绕O转动,点 C固定,OC=CD=DE,点 D,E可在槽中滑动.若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是( )
A.60° B.65° C.75° D.80°
5.如图,△ABC 是等边三角形,AD 是 BC边上的高，E是AC的中点，P 是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE 的度数是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
6.把一张长方形纸片按如图1、图2的方式从右向左连续对折两次后得到图3，再在图3中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是( )
7.如图，已知a∥b，直线l与直线a，b分别交于点A，B，分别以点A，B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点M,N,作直线 MN,交直线 b于点C,连接 AC,若 ∠1=40°,则∠ACB的度数是( )
A.90° B.95° C.100° D.105°
8.如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,以点 A为圆心,任意长为半径作弧，分别交AB，AC于D和E，再分别以点 D，E为圆心，大于二分之一DE的长为半径作弧，两弧交于点 F，连接AF并延长交BC于点G,GH⊥AC于点H,GH=2,则△ABG的面积为( )
A.4 B.5 C.9 D.10
9.如图,∠MON=30°,点 A1,A2,A3,…在射线ON上,点 B1,B2,B3,…在射线OM 上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4,…均为等边三角形，如果 那么△A6B6A7的边长为( )
A.6 B.12 C.16 D.32
10.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换(如图1).结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形(如图2)的对应点所具有的性质是( )
A.对应点连线与对称轴垂直 B.对应点连线互相平行
C.对应点连线被对称轴垂直平分 D.对应点连线被对称轴平分
二、填空题(每小题5分，共30分)
11.一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，则该车的车牌号码是____________.
12.如图,在△ABC中,AC=BC,∠B=38°,点 D是边AB上一点,点B关于直线CD的对称点为B′,当B′D∥AC时,则∠BCD的度数为______________.
13.如图,∠AOB=30°,P是∠AOB的平分线上一点,PM⊥OB于点M,PN∥OB交OA于点 N.若PM=1,则 PN=____________.
14.如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色.现在要从其余 13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形使其成为轴对称图形，这样的白色小方格有__________个.
15.如图，通过找出这组图形符号中所蕴含的内在规律，在空白处的横线上填上恰当的图形.
16.等腰三角形ABC中,AD⊥BC 于点 D,若 则△ABC底角的度数为__________.
三、解答题(本大题共7小题，共80分)
17.(10分)如图1，方格图中每个小正方形的边长为1，点 A，B,C都是格点.
(1)画出△ABC关于直线MN对称的△A B C ;
(2)直接写出AA 的长度;
(3)如图2,A,C是直线MN 同侧固定的点,D是直线MN上的一个动点，在直线 MN上画出点 D，使AD+DC最小.(保留作图痕迹)
18.(10分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为点 D.求作∠ABC的平分线,分别交AD,AC于P,Q两点;并证明AP=AQ.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
19.(10分)如图,在△ABC中,∠B=40°,∠C=50°.
(1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线 DF是线段AB的_________,射线 AE是∠DAC的_____________;
(2)在(1)所作的图中,求∠DAE的度数.
20.(12分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,E为边BC上的点,且AB=AE,D为线段BE的中点,过点 E作EF⊥AE,过点A作AF∥BC,且AF,EF相交于点F.试说明:
(1)∠C=∠BAD;
(2)AC=EF.
21.(12分)问题:如图,在△ABD中,BA=BD.在 BD的延长线上取点 E,C,作△AEC,使 EA=EC.若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC的度数.
答案:∠DAC=45°.
思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗 说明理由；
(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”,其余条件不变,求∠DAC的度数.
22.(12分)如图,在等边△ABC中,D是线段 BC上一点.作射线 AD，点 B关于射线AD的对称点为E.连接CE并延长，交射线 AD于点 F.
(1)设∠BAF=α,用α表示∠BCF的度数;
(2)用等式表示线段 AF，CF，EF之间的数量关系，并证明.
23.(14分)(1)如图1,直线同侧有两点 A,B,在直线上求一点C，使它到点 A，B之和最小.(保留作图痕迹不写作法)；
(2)知识拓展:如图2,点 P在∠AOB 内部,试在OA,OB上分别找出两点 E，F，使△PEF周长最短(保留作图痕迹不写作法)；
(3)解决问题:①如图3,在五边形 ABCDE中,∠B=∠E=90°,在 BC,DE上分别找一点 M,N,使得△AMN 周长最小(保留作图痕迹不写作法)；
②若∠BAE=125°,∠B=∠E=90°,AB=BC,AE=DE,∠AMN+∠ANM的度数为______________.
参考答案
一、选择题
1. A
2. C 【解析】根据对应点所连线段被对称轴垂直平分，可判断C项正确.
3. A 【解析】如图,
因为AB=BC,∠C=25°,所以∠BAC=∠C=25°,所以∠ABC=130°.
因为l ∥l ,∠1=60°,所以∠ABE=∠1=60°,所以∠2=130°-60°=70°.故选A.
4. D
5. C【解析】如图,连接BE,与AD交于点P,此时PE+PC最小.
因为△ABC是等边三角形,AD⊥BC,所以PC=PB.所以PE+PC=PB+PE=BE.
即BE 就是 PE+PC 的最小值.
因为△ABC是等边三角形，所以∠BCE=60°.
因为BA=BC,AE=EC.所以 BE⊥AC.所以∠BEC=90°.所以∠EBC=30°.
因为PB=PC,所以∠PCB=∠PBC=30°.所以∠BPC=180°-∠PCB-∠PBC=120°.
所以∠CPE=180°-∠BPC=60°.
6. C 【解析】选项A，B不符合以折痕所在直线为对称轴的特征，选项C，D四个图形都符合以折痕所在直线为对称轴的特征，但选项D的基本图形的位置与题意不符，只有C与之吻合，如图所示.
7. C 【解析】因为a∥b,所以∠CBA=∠1=40°.根据基本作图可知:MN垂直平分AB,所以CA=CB.所以∠CBA=∠CAB=40°.所以∠ACB=180°-2×40°=100°.故选C.
8. B【解析】作 GM⊥AB于点M,如图.
由作法得AG平分∠BAC,而GH⊥AC,GM⊥AB,所以GM=GH=2.
所以 故选B.
9. C【解析】如图,因为△A1B1A2是等边三角形,所以A1B1=A2B1,∠3=∠4=∠12=60°.
所以∠2=120°.因为∠MON=30°,所以∠1=180°-120°-30°=30°.
又因为∠3=60°,所以∠5=180°-60°-30°=90°.
因为∠MON=∠1=30°,所以 所以
因为△A B A ,△A B A 是等边三角形,所以∠11=∠10=60°,∠13=60°.
因为∠4=∠12=60°,所以A B ∥A B ∥A B ,B A ∥B A .
所以∠1=∠6=∠7=30°,∠5=∠8=90°.所以A B =2B A ,B A =2B A .
所以A B =4B A =2,A B =8B A =4,A B =16B A =8,……
所以△AnBnAn+ 的边长为 所以△A B A 的边长为
10. D【解析】如图，作A'D垂直对称轴于点D，AE垂直对称轴于点E.则由轴对称性可知A'D=AE，连接A'A，交对称轴于点F,于是易证△A'DF≌△AEF(AAS).所以, AF，从而可知结论“对应点连线被对称轴平分”正确.
二、填空题
11. MT7936 【解析】根据镜面反射对称性质，可知图中所示车牌号应为MT7936.
12.33°【解析】因为AC=BC,所以∠A=∠B=38°.
因为B'D∥AC,所以
因为点B关于直线CD的对称点为B'，所以 所以∠BCD=180°-∠B-∠CDB=180°-38°-109°=33°.故答案为33°.
13.2
14.4【解析】如图,共有4种情况.
15.【解析】观察图形，可发现规律：每个图形都是由两个英文大写字母构成的轴对称图形，且按顺序排列，其中奇数位置为上下对称，偶数位置为左右对称.故答案为 .
16.45°或15°或75°【解析】分为三种情况:
①如图1,△ABC中,
因为AB=AC,AD⊥BC,所以
因为 所以AD=BD=DC.所以△BAC是等腰直角三角形，所以∠B=∠C=45°.
②如图2,△ABC中,AC=BC.
因为 所以 所以∠ACD=30°.
因为AC=BC,所以∠B=∠BAC.
因为∠B+∠BAC=∠ACD,所以∠B=∠BAC=15°.
③如图3,
因为 所以 所以∠C=30°.
因为AC=BC,所以∠B=∠BAC=75°.
故答案为45°或15°或75°.
三、解答题
17.解:(1)如图所示:△A B C 即为所求.
(2)AA 的长度为2×5=10.
(3)如图所示:点 D即为所求,此时AD+DC最小.
18.解:如图,BQ就是所求作的∠ABC 的平分线,P,Q就是所求作的点.
证明如下：
因为AD⊥BC,所以∠ADB=90°.所以∠BPD+∠PBD=90°.
因为∠BAC=90°,所以∠AQP+∠ABQ=90°.
因为∠ABQ=∠PBD,所以∠BPD=∠AQP.
因为∠BPD=∠APQ,所以∠APQ=∠AQP.所以AP=AQ.
19.解：(1)垂直平分线 平分线
(2)因为 DF垂直平分线段AB,所以DA=DB.所以∠BAD=∠B=40°.
因为∠B=40°,∠C=50°,所以∠BAC=90°.所以∠CAD=50°.
因为AE平分∠CAD,所以
20.解:(1)因为AB=AE,D为线段 BE 的中点,所以AD⊥BC.所以∠C+∠DAC=90°.
因为∠BAC=90°,所以∠BAD+∠DAC=90°.所以∠C=∠BAD.
(2)因为AF∥BC,所以∠FAE=∠AEB.因为AB=AE,所以∠B=∠AEB.所以∠B=∠FAE.
又∠BAC=∠AEF=90°,AB=AE,所以△ABC≌△EAF(ASA).所以AC=EF.
21.解：（1）∠DAC的度数不会改变.
理由:因为 BA = BD,所以∠BAD=∠BDA.所以
因为EA=EC,所以∠EAC=∠ECA.所以∠DAC=∠BAE-∠BAD+∠EAC
(2)由(1)得
22.解:(1)如图1,连接AE.
因为点 B 关于射线AD的对称点为点 E，所以AE=AB,∠EAF=∠BAF=a.
因为△ABC是等边三角形，所以AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°.所以∠EAC=60°-2a,AE=AC.
所以 2a)]=60°+α.
所以∠BCF=∠ACE-∠ACB=60°+α-60°=α.
(2)结论:AF=EF+CF.
证明:如图2,作∠FCG=60°交 AD于点G,连接BF.
因为∠BAF=∠BCF=α,∠ADB=∠CDF,所以∠AFC=∠ABC=60°.
所以△FCG是等边三角形.所以GF=CF.
因为△ABC是等边三角形，所以BC=AC,∠ACB=60°.
所以∠ACG=∠BCF=α.
在△ACG和△BCF中,因为
所以△ACG≌△BCF(SAS).所以AG=BF.
因为点 B关于射线AD的对称点为点 E，所以BF=EF.
因为AF=AG+GF,所以AF=EF+CF.
23.解:(1)作图如下:
(2)作图如下:
(3)①作图如下:
②110°
【解析】因为∠BAE=125°,所以∠P+∠Q=180°-125°=55°.
因为∠AMN=∠P+∠PAM=2∠P,∠ANM=∠Q+∠QAN=2∠Q,
所以∠AMN+∠ANM=2(∠P+∠Q)=2×55°=110°.
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第二章 轴对称
单元测试题
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题(每小题4分，共40分)
1.美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是( )
2.如图是小华画的正方形风筝图案，他以图中的对角线AB为对称轴，在对角线的下方再画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若下列有一图形为轴对称图形，则此图为( )
3.如图,l ∥l ,点A在直线l 上,点 B在直线l 上,若AB=BC,∠C=25°,∠1=60°,则∠2的度数是 ( )
A.70° B.65° C.60° D.55°
4.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O相连并可绕O转动,点 C固定,OC=CD=DE,点 D,E可在槽中滑动.若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是( )
A.60° B.65° C.75° D.80°
5.如图,△ABC 是等边三角形,AD 是 BC边上的高，E是AC的中点，P 是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE 的度数是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
6.把一张长方形纸片按如图1、图2的方式从右向左连续对折两次后得到图3，再在图3中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是( )
7.如图，已知a∥b，直线l与直线a，b分别交于点A，B，分别以点A，B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点M,N,作直线 MN,交直线 b于点C,连接 AC,若 ∠1=40°,则∠ACB的度数是( )
A.90° B.95° C.100° D.105°
8.如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,以点 A为圆心,任意长为半径作弧，分别交AB，AC于D和E，再分别以点 D，E为圆心，大于二分之一DE的长为半径作弧，两弧交于点 F，连接AF并延长交BC于点G,GH⊥AC于点H,GH=2,则△ABG的面积为( )
A.4 B.5 C.9 D.10
9.如图,∠MON=30°,点 A1,A2,A3,…在射线ON上,点 B1,B2,B3,…在射线OM 上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4,…均为等边三角形，如果 那么△A6B6A7的边长为( )
A.6 B.12 C.16 D.32
10.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换(如图1).结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形(如图2)的对应点所具有的性质是( )
A.对应点连线与对称轴垂直 B.对应点连线互相平行
C.对应点连线被对称轴垂直平分 D.对应点连线被对称轴平分
二、填空题(每小题5分，共30分)
11.一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，则该车的车牌号码是____________.
12.如图,在△ABC中,AC=BC,∠B=38°,点 D是边AB上一点,点B关于直线CD的对称点为B′,当B′D∥AC时,则∠BCD的度数为______________.
13.如图,∠AOB=30°,P是∠AOB的平分线上一点,PM⊥OB于点M,PN∥OB交OA于点 N.若PM=1,则 PN=____________.
14.如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色.现在要从其余 13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形使其成为轴对称图形，这样的白色小方格有__________个.
15.如图，通过找出这组图形符号中所蕴含的内在规律，在空白处的横线上填上恰当的图形.
16.等腰三角形ABC中,AD⊥BC 于点 D,若 则△ABC底角的度数为__________.
三、解答题(本大题共7小题，共80分)
17.(10分)如图1，方格图中每个小正方形的边长为1，点 A，B,C都是格点.
(1)画出△ABC关于直线MN对称的△A B C ;
(2)直接写出AA 的长度;
(3)如图2,A,C是直线MN 同侧固定的点,D是直线MN上的一个动点，在直线 MN上画出点 D，使AD+DC最小.(保留作图痕迹)
18.(10分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为点 D.求作∠ABC的平分线,分别交AD,AC于P,Q两点;并证明AP=AQ.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
19.(10分)如图,在△ABC中,∠B=40°,∠C=50°.
(1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线 DF是线段AB的_________,射线 AE是∠DAC的_____________;
(2)在(1)所作的图中,求∠DAE的度数.
20.(12分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,E为边BC上的点,且AB=AE,D为线段BE的中点,过点 E作EF⊥AE,过点A作AF∥BC,且AF,EF相交于点F.试说明:
(1)∠C=∠BAD;
(2)AC=EF.
21.(12分)问题:如图,在△ABD中,BA=BD.在 BD的延长线上取点 E,C,作△AEC,使 EA=EC.若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC的度数.
答案:∠DAC=45°.
思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗 说明理由；
(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”,其余条件不变,求∠DAC的度数.
22.(12分)如图,在等边△ABC中,D是线段 BC上一点.作射线 AD，点 B关于射线AD的对称点为E.连接CE并延长，交射线 AD于点 F.
(1)设∠BAF=α,用α表示∠BCF的度数;
(2)用等式表示线段 AF，CF，EF之间的数量关系，并证明.
23.(14分)(1)如图1,直线同侧有两点 A,B,在直线上求一点C，使它到点 A，B之和最小.(保留作图痕迹不写作法)；
(2)知识拓展:如图2,点 P在∠AOB 内部,试在OA,OB上分别找出两点 E，F，使△PEF周长最短(保留作图痕迹不写作法)；
(3)解决问题:①如图3,在五边形 ABCDE中,∠B=∠E=90°,在 BC,DE上分别找一点 M,N,使得△AMN 周长最小(保留作图痕迹不写作法)；
②若∠BAE=125°,∠B=∠E=90°,AB=BC,AE=DE,∠AMN+∠ANM的度数为______________.
参考答案
一、选择题
1. A
2. C 【解析】根据对应点所连线段被对称轴垂直平分，可判断C项正确.
3. A 【解析】如图,
因为AB=BC,∠C=25°,所以∠BAC=∠C=25°,所以∠ABC=130°.
因为l ∥l ,∠1=60°,所以∠ABE=∠1=60°,所以∠2=130°-60°=70°.故选A.
4. D
5. C【解析】如图,连接BE,与AD交于点P,此时PE+PC最小.
因为△ABC是等边三角形,AD⊥BC,所以PC=PB.所以PE+PC=PB+PE=BE.
即BE 就是 PE+PC 的最小值.
因为△ABC是等边三角形，所以∠BCE=60°.
因为BA=BC,AE=EC.所以 BE⊥AC.所以∠BEC=90°.所以∠EBC=30°.
因为PB=PC,所以∠PCB=∠PBC=30°.所以∠BPC=180°-∠PCB-∠PBC=120°.
所以∠CPE=180°-∠BPC=60°.
6. C 【解析】选项A，B不符合以折痕所在直线为对称轴的特征，选项C，D四个图形都符合以折痕所在直线为对称轴的特征，但选项D的基本图形的位置与题意不符，只有C与之吻合，如图所示.
7. C 【解析】因为a∥b,所以∠CBA=∠1=40°.根据基本作图可知:MN垂直平分AB,所以CA=CB.所以∠CBA=∠CAB=40°.所以∠ACB=180°-2×40°=100°.故选C.
8. B【解析】作 GM⊥AB于点M,如图.
由作法得AG平分∠BAC,而GH⊥AC,GM⊥AB,所以GM=GH=2.
所以 故选B.
9. C【解析】如图,因为△A1B1A2是等边三角形,所以A1B1=A2B1,∠3=∠4=∠12=60°.
所以∠2=120°.因为∠MON=30°,所以∠1=180°-120°-30°=30°.
又因为∠3=60°,所以∠5=180°-60°-30°=90°.
因为∠MON=∠1=30°,所以 所以
因为△A B A ,△A B A 是等边三角形,所以∠11=∠10=60°,∠13=60°.
因为∠4=∠12=60°,所以A B ∥A B ∥A B ,B A ∥B A .
所以∠1=∠6=∠7=30°,∠5=∠8=90°.所以A B =2B A ,B A =2B A .
所以A B =4B A =2,A B =8B A =4,A B =16B A =8,……
所以△AnBnAn+ 的边长为 所以△A B A 的边长为
10. D【解析】如图，作A'D垂直对称轴于点D，AE垂直对称轴于点E.则由轴对称性可知A'D=AE，连接A'A，交对称轴于点F,于是易证△A'DF≌△AEF(AAS).所以, AF，从而可知结论“对应点连线被对称轴平分”正确.
二、填空题
11. MT7936 【解析】根据镜面反射对称性质，可知图中所示车牌号应为MT7936.
12.33°【解析】因为AC=BC,所以∠A=∠B=38°.
因为B'D∥AC,所以
因为点B关于直线CD的对称点为B'，所以 所以∠BCD=180°-∠B-∠CDB=180°-38°-109°=33°.故答案为33°.
13.2
14.4【解析】如图,共有4种情况.
15.【解析】观察图形，可发现规律：每个图形都是由两个英文大写字母构成的轴对称图形，且按顺序排列，其中奇数位置为上下对称，偶数位置为左右对称.故答案为 .
16.45°或15°或75°【解析】分为三种情况:
①如图1,△ABC中,
因为AB=AC,AD⊥BC,所以
因为 所以AD=BD=DC.所以△BAC是等腰直角三角形，所以∠B=∠C=45°.
②如图2,△ABC中,AC=BC.
因为 所以 所以∠ACD=30°.
因为AC=BC,所以∠B=∠BAC.
因为∠B+∠BAC=∠ACD,所以∠B=∠BAC=15°.
③如图3,
因为 所以 所以∠C=30°.
因为AC=BC,所以∠B=∠BAC=75°.
故答案为45°或15°或75°.
三、解答题
17.解:(1)如图所示:△A B C 即为所求.
(2)AA 的长度为2×5=10.
(3)如图所示:点 D即为所求,此时AD+DC最小.
18.解:如图,BQ就是所求作的∠ABC 的平分线,P,Q就是所求作的点.
证明如下：
因为AD⊥BC,所以∠ADB=90°.所以∠BPD+∠PBD=90°.
因为∠BAC=90°,所以∠AQP+∠ABQ=90°.
因为∠ABQ=∠PBD,所以∠BPD=∠AQP.
因为∠BPD=∠APQ,所以∠APQ=∠AQP.所以AP=AQ.
19.解：(1)垂直平分线 平分线
(2)因为 DF垂直平分线段AB,所以DA=DB.所以∠BAD=∠B=40°.
因为∠B=40°,∠C=50°,所以∠BAC=90°.所以∠CAD=50°.
因为AE平分∠CAD,所以
20.解:(1)因为AB=AE,D为线段 BE 的中点,所以AD⊥BC.所以∠C+∠DAC=90°.
因为∠BAC=90°,所以∠BAD+∠DAC=90°.所以∠C=∠BAD.
(2)因为AF∥BC,所以∠FAE=∠AEB.因为AB=AE,所以∠B=∠AEB.所以∠B=∠FAE.
又∠BAC=∠AEF=90°,AB=AE,所以△ABC≌△EAF(ASA).所以AC=EF.
21.解：（1）∠DAC的度数不会改变.
理由:因为 BA = BD,所以∠BAD=∠BDA.所以
因为EA=EC,所以∠EAC=∠ECA.所以∠DAC=∠BAE-∠BAD+∠EAC
(2)由(1)得
22.解:(1)如图1,连接AE.
因为点 B 关于射线AD的对称点为点 E，所以AE=AB,∠EAF=∠BAF=a.
因为△ABC是等边三角形，所以AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°.所以∠EAC=60°-2a,AE=AC.
所以 2a)]=60°+α.
所以∠BCF=∠ACE-∠ACB=60°+α-60°=α.
(2)结论:AF=EF+CF.
证明:如图2,作∠FCG=60°交 AD于点G,连接BF.
因为∠BAF=∠BCF=α,∠ADB=∠CDF,所以∠AFC=∠ABC=60°.
所以△FCG是等边三角形.所以GF=CF.
因为△ABC是等边三角形，所以BC=AC,∠ACB=60°.
所以∠ACG=∠BCF=α.
在△ACG和△BCF中,因为
所以△ACG≌△BCF(SAS).所以AG=BF.
因为点 B关于射线AD的对称点为点 E，所以BF=EF.
因为AF=AG+GF,所以AF=EF+CF.
23.解:(1)作图如下:
(2)作图如下:
(3)①作图如下:
②110°
【解析】因为∠BAE=125°,所以∠P+∠Q=180°-125°=55°.
因为∠AMN=∠P+∠PAM=2∠P,∠ANM=∠Q+∠QAN=2∠Q,
所以∠AMN+∠ANM=2(∠P+∠Q)=2×55°=110°.
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