2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市巴彦县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市巴彦县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 以下哪一个方差对应的数据最稳定( )
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 下列图形中对称轴条数最多的图形是( )
A. 等边三角形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
4. 如图，在平行四边形中，，与相交于点，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
5. 下列各组数中是勾股数的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
6. 一次函数经过第一、二、三象限，则下列正确的是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
7. 已知点，点是直线上的两点，则和的大小关系为( )
A. B. C. D. 无法确定
8. 一次函数的图象是由一次函数的图象得到的( )
A. 向上平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向下平移个单位长度
9. 已知，点，分别为，上的点，连接，，若，则两直线与间的距离是( )
A. B. C. D.
10. 小明上午：从家里出发，跑步去他家附近的抗口纪念馆参加抗美援朝周年纪念活动，然后从纪含馆原路返回家中，小明离家的路程米和经过的时间分之间的函数关系如图所示，下列说法不正确的是( )
A. 小明在纪念馆停留分钟
B. 小明从家到纪念馆的平均速度为米分
C. 小明从纪念馆返回家中的平均速度为米分
D. 从小明家到纪念馆的路程是米
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 数据，，，，的方差是______ ．
12. 数据，，，，，，的众数是______ ．
13. 函数中自变量的取值范围是______．
14. 计算：的结果为______ ．
15. 平行四边形的周长为，一边长为，则另一条邻边长为 ．
16. 直线经过点，则的最大值等于______ ．
17. 已知一次函数，当时，的最大值等于______ ．
18. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，的坐标分别为，，，则顶点的坐标为______ ．
19. 已知，矩形，为的中点，为上一点，连接，若，，，则的长为______ ．
20. 如图，在正方形中，点在上，且：：，点为的中点，连接，，则 ______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）
21. 先化简，再求值：，其中．
四、解答题（本大题共6小题，共53.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
22. 本小题分
如图，方格线中每个小正方形的边长均为，线段，线段的端点均在小正方形的顶点上．
在方格纸中画出以为直角顶点的，点在小正方形的顶点上，且的面积为；
在方格纸中画出以为边的，点在小正方形的顶点上，且的面积为，，连接，直接写出线段的长．
23. 本小题分
某校为丰富同学们的课余生活，全面提高科学素养，提升思维能力和科投能力开展了“最强大脑”谢请赛，现从七、八年级中各附机抛取了名学生的初赛成绩初春成绩均为整数，满分为分统计、根理如下：
七年级抽取学生的初赛成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
七、八年级抽取的学生的初赛成绩统计表：
年级 七年级 八年级
平均数
中位数
众数
______ ， ______ ；
通过计算补全条形统计图；
若该校八年级有名学生参加初赛，规定满分才可进入复赛，请估计八年级进入复赛？
24. 本小题分
已知矩形的对角线、相交于点，点是边上一点，连接、、，且．
如图，求证：；
如图，设与相交于点，与相交于点，过点作的平行线交的延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个三角形除外，使写出的每个三角形的面积都与的面积相等．
25. 本小题分
随着神舟十五号载人飞船顺利发射，人们对航天事业愈发关注，航天周边产品销量也逐渐提高某商场准备购进一批火箭模型进行售卖，已知一个款火箭模型比一个款火箭模型贵元，用元购入的款火箭模型与元购入的款火箭模型数量相同．
这两款火箭模型的进货单价各是多少元？
已知商场准备购进这两款火箭模型共个，后将这批火箭模型以款每个元，款每个元的价格出售求可获得的总利润元与其中款火箭模型的数量个之间的关系式．
26. 本小题分
在四边形中，，对角线平分，点为边上一点，连接交于点，．
如图，求证：四边形是菱形；
如图，点在上，，交于点，于点，若，求证：．
如图，在的条件下，为的中点，点在上，点在上，连接，，，，若，求线段的长，
27. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，．
求直线的解析式；
如图，点是轴负半轴上一点，连接，点在第一象限内，，交于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式不要求写出自变量的取值范围；
如图，在的条件下，，点在上，点在上，，，，连接，，，交于点，若，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
选项方程对应数据最稳定，
故选：．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
2.【答案】
【解析】解：、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据二次根式的减法，除法法则，完全平方公式，幂的乘方进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、等边三角形有条对称轴；
B、矩形有条对称轴；
C、菱形有条对称轴；
D、正方形有条对称轴．
故选：．
先根据轴对称图形的定义确定各选项图形的对称轴条数，然后比较即可选出对称轴条数最多的图形．
本题考查了轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
4.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质和勾股定理即可得到结论．
本题主要考查平行四边形的性质及勾股定理解三角形，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：、，故不是勾股数，故选项不符合题意；
B、不是正整数，则本组数不是勾股数，故选项不符合题意；
C、本组数都不是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意；
D、，能构成直角三角形，都是整数，是勾股数，故选项符合题意．
故选：．
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
此题主要考查了勾股数，掌握勾股数的定义是解决问题的关键．
6.【答案】
【解析】解：一次函数经过第一、二、三象限，
则，；
故选：．
根据题意，结合一次函数的图象与系数的关系，确定，的取值范围，从而求解．
解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．
7.【答案】
【解析】解：中，，
随的增大而减小，
，
，
故选：．
根据一次函数值的正负，判断图象的增减性，再比较点，点横坐标的大小即可．
本题考查了比较一次函数的函数值，解题的关键是掌握一次函数的图象的性质：在、为常数，中，时，随的增大而增大；时，随的增大而减小．
8.【答案】
【解析】解：一次函数的图象可以由一次函数的图象向下平移个单位得到，
故选：．
根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解．
本题考查一次函数图象与几何变换．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
9.【答案】
【解析】解：如图，作于，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
故选：．
作于，得到是等腰直角三角形，因此．
本题考查平行线之间的距离，关键是掌握平行线之间的距离的定义；作于，得到是等腰直角三角形，即可求解．
10.【答案】
【解析】解：观察图象发现：小明在纪念馆停留的时间为：分钟，原说法错误，故本选项符合题意；
B.小明从家到纪念馆的平均速度为：米分，原说法正确，故本选项不符合题意；
C.小明从纪念馆返回家中的平均速度为：米分，原说法正确，故本选项不符合题意；
D.从小明家到纪念馆的路程是米，原说法正确，故本选项不符合题意；
故选：．
仔细观察图象的横纵坐标所表示的量的意义，可对选项A、作出判断；根据“速度路程时间”，可对选项B、作出判断．
本题考查了函数的图象，利用数形结合的思想方法是解答本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：这组数据的平均数为，
方差为，
故答案为：．
根据方差的定义列式计算即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数、中位数和方差的定义．
12.【答案】
【解析】解：这组数据中出现次，次数最多，
所以这组数据的众数为，
故答案为：．
根据众数的定义求解即可．
本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的定义．
13.【答案】
【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
根据二次根式的减法运算法则求解即可．
本题考查了二次根式的减法运算，熟记二次根式加减运算的法则是解决本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：．
根据平行四边形的对边相等，求出两邻边的和，再根据题意求解即可．
此题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：直线经过点，
，
，
．
故答案为：．
把点代入解析式，得出，变形为，由此解答即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标，掌握一次函数图象上点的坐标是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：一次函数中，，
随的增大而增大，
，
当时，．
故答案为：．
先根据题意判断出函数的增减性，进而可得出结论．
本题考查的是一次函数的性质，先根据题意判断出函数的增减性是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：连接，
四边形是菱形，
点、关于轴对称，
所在直线为的垂直平分线，
菱形的顶点，的坐标分别是，，，
，
，
点横坐标为，点纵坐标为，
故C点坐标，
故答案为：
根据菱形的性质可知点、关于轴对称，在的垂直平分线上，即的横坐标和中点横坐标相等，根据正方形对角线计算求的纵坐标．
本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，根据对角线相等的性质求对角线的长度，即求点的纵坐标是解题的关键．
19.【答案】或
【解析】解：过点作，
四边形为矩形，
等于，，
，
四边形和四边形均为矩形，
，，，
点为的中点，
，
，
，，
，
有以下两种情况：
当点在点的左侧时，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
当点在的右侧时，设为，
同理：，
．
综上所述：的长为或．
故答案为：或．
过点作，先证四边形和四边形均为矩形，然后分两种情况进行讨论：当点在点的左侧时，可由勾股定理求出，进而可得；当点在的右侧时，设为，同理可求出，进而可得．
此题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，解答此题的关键是熟练掌握矩形的判定及性质，难点是分类讨论思想在解题中的应用，漏解是解答此题的易错点之一．
20.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，
设，
：：，
，，
，
，
负值舍去，
，，
，
点为的中点，
，
故答案为：．
根据正方形的性质得到，，设，根据勾股定理得到，，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
21.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
22.【答案】解；如图，，即为所求；
如图，即为所求，或．

【解析】根据要求作出图形，注意又有两种情形；
根据要求作出图形，利用勾股定理求出的长即可．
本题考查作图应用于设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题．
23.【答案】
【解析】解：将七年级这名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是，即，
七年级这名学生的成绩出现次数最多的是，共出现次，因此众数是，即，
故答案为：，；
样本中八年级学生成绩为分的人数为：人，补全条形统计图如下：
人，
答：该校八年级有名学生参加初赛，规定满分才可进入复赛，进入复赛的学生大约有人．
根据中位数、众数的定义进行计算即可；
求出八年级学生成绩为分的人数即可补全条形统计图；
求出样本中“满分”学生人数所占的百分比，估计总体中“满分”所占的百分比，由频率进行计算即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及中位数、众数，理解两个统计图中数量之间的关系以及中位数、众数的计算方法是正确解答的关键．
24.【答案】证明：四边形是矩形，
，，，，，
，
，
，
在与中，
，
≌，
；
解：，，，都与的面积相等，
理由：四边形是矩形，
，，
，
≌，
，，
，
，
，，
，，
的面积的面积，的面积的面积，
的面积的面积的面积的面积，的面积的面积的面积的面积，
的面积的面积，的面积的面积，
，
，
≌，
的面积的面积的面积，
，
，，
≌，
的面积的面积，
，，，都与的面积相等．
【解析】根据矩形的性质可得，再利用可证≌，即可解答；
根据矩形的性质可得，，从而可证≌，进而可得，，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得，进而可得的面积的面积，的面积的面积，然后利用等式的性质可得的面积的面积，的面积的面积，再证明≌，从而可得的面积的面积的面积，最后利用线段中点和平行线证明字模型全等三角形≌，即可解答．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】解：设：一个款火箭的进货价为元，则一个款火箭模型的进货价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的根，
元，
答：一个款火箭的进货价为元，一个款火箭模型的进货价为元．
若款火箭模型的数量为个，则款火箭模型的数量为个，
依题意得：
，
答：与的关系式为：．
【解析】一个款火箭的进货价为元，则一个款火箭模型的进货价为元，由元购入的款火箭模型与元购入的款火箭模型数量相同这一等量关系，列出方程解答即可．
由总利润等于款火箭模型的利润与款火箭模型利润的和，可列出关系式．
本题考查了分式方程的应用，销售问题的应用是解题关键．
26.【答案】证明：平分，
，
，，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
是菱形；
证明：，，
是等边三角形，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
；
解：如图，
作，
，
由知：≌，
，
，
，，
，
≌，
，
在上截取，连接，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
连接，
是的中点，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
．
【解析】可推出，从而，可推出，从而，进而推出，进一步得出结论；
可证明≌，，进而推出，进一步得出结论；
作，可证明≌，从而，在上截取，连接，可证得≌，从而，根据得出，从而求得，，连接，可证得，设，则，，表示出，根据得出，进而求得．
本题考查了等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
27.【答案】解：由，令，得，
，
，
，，
为等腰直角三角形，，
，
把代入直线中，得
解得：，
直线的解析式为．
如图，过作交延长线于点，
轴，，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形，
，
，
，即，
，
在和中，
，
≌，
，
，即，
；
由得，
又，
，
，
，
，即，，
如图，过点作交于点，连接交于点，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，，
，
，
，，
四边形为矩形，
、、、在同一条直线上，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，即，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，
将点，代入，得，
解得：，
直线的解析式为，
由，
解得：，
．
【解析】先利用确定点坐标，易得为等腰直角三角形，，进而得出点坐标，然后把点坐标代入得出的值，即可得到抛物线解析式；
过作交延长线于，易得四边形是正方形，然后通过证明≌，得到，由，即可得到答案；
由，结合中的结论，可得出，，过点作交于点，连接交于点，易得为等腰直角三角形，，由可得，以此易得四边形为矩形，在等腰中，，，于是，由平角减等角相等可得，由等角加同角相等得，以此可通过证明≌，得到，进一步可得，，易通过证明≌，得到，由，，利用待定系数法求得直线的解析式为，再联立直线，的解析式，求解即可．
本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质、利用待定系数法求一次函数解析式、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，解题关键是理清题意，正确作出辅助线，利用全等三角形解决问题．
第1页，共1页