课件15张PPT。变 化 率 问 题
与导数的概念问题1.气球平均膨胀率.吹气球时,会发现:随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢,能从数学的角度解释这一现象吗?解:可知:V(r)= πr3 即：r(V)= 当空气容量Ｖ从０增加１Ｌ时，半径增加了 r(1)－r(0)= 0.62 气球平均膨胀率： 问题1.气球平均膨胀率.当空气容量Ｖ从１加２Ｌ时，半径增加了 r(２)－r(１)= 0.１６ 气球平均膨胀率： 可以看出，随着气球体积变大，它的平均
膨胀率变小． 思考：当空气容量从V1增加到V2 时,气球的平均膨胀率是多少呢?问题2.平均速度.求１s到２s时的平均速度． 解： S2－S1= =14.7t2－t1= 1问题2.平均速度.思考：求t1s到t2s时的平均速度． 平均变化率如果上述的两个函数关系用f(x)表示那么当自变量x从x1变化到x2时，函数值就从y1变化到y2则函数f(x)从x1到x2的平均变化率：它的几何意义是什么呢？问题３：瞬时速度如何求t=3这时刻的瞬时速度呢？ 能否用求平均速度的方法求某一时刻的瞬时速度？ （我们可以取t=3临近时间间隔内的 平均速度当作t=3时刻的平均速度，不过时间隔要很小很小） 问题３：瞬时速度如何求t=3这时刻的瞬时速度呢？ 解：取一小段时间：［3,3+△t] 问题３：瞬时速度解：取一小段时间：［3,3+△t] （平均速度的极限为瞬时速度） 瞬时速度：（平均速度的极限为瞬时速度） 思考：在t0时刻的瞬时速度呢？瞬时变化率：思考：我们利用平均速度的极限求得瞬时速度，那么如何求函数f(x)在x=x0点的瞬时变化率呢？可知:函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率为：导数我们称它为函数f(x)在x=x0处的导数．小结：由定义知，求f(x)在x0处的导数步骤为：例1.求y=x2在点x=1处的导数．解：小结：课件18张PPT。1.1.2 导数的概念2情境一：教师手执两枚乒乓球，
一枚拿稳、一枚抛动
提问：两枚乒乓球是否相同？它们有何区别？3实践活动 在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h
（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存
在函数关系h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋10.计算运
动员在 这段时间里的平均速度，并
思考下面的问题：
（1）运动员在这段时间里是静止的吗？
（2）你认为用平均速度描述运动员的运
动状态有什么问题吗？ 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.4在高台跳水运动中,平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的运动状态。又如何求
瞬时速度呢?
需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 5问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬时速度？求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度当△t = – 0.01时,当△t = 0.01时,当△t = – 0.001时,当△t =0.001时,当△t = –0.0001时,当△t =0.0001时,△t = – 0.00001,△t = 0.00001,△t = – 0.000001,△t =0.000001,…………求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度问题二：怎样利用平均速度逼近瞬时速度？ 当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1.表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值– 13.1”.从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度问题四：运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?问题五：气球在体积时的瞬时膨胀率如何表示呢？定义:函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作或 , 即由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:求函数的改变量
2. 求平均变化率
3. 求值一差、二化、三极限 例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是和根据导数的定义,所以,同理可得 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 / h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5 / h的速率上升. 例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 练习: 计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率, 并说明它们的意义.变式练习：
已知一个物体运动的位移（m）与
时间t（s）满足关系S（t）＝-2t2+5t
（1）求物体第5秒和第6秒的瞬时速度
（2）求物体在t时刻的瞬时速度
（3）求物体t时刻运动的加速度，
并判断物体作什么运动？ 课堂练习:
如果质点A按规律 则在t=3s
时的瞬时速度为
A.6 B.18 C.54 D.81练习：小结1、瞬时速度的概念
2、导数的概念
3、思想方法：“以已知探求未知”、
逼近、类比、从特殊到一般
定义:函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作或 , 即课件18张PPT。3.1.3导数的几何意义先来复习导数的概念 定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在点x0处有改变量Δx时函数有相应的改变量Δy=f(x0+ Δx)- f(x0).如果当Δx?0 时,Δy/Δx的极限存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作 即:
瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数. 是函数f(x)在以x0与x0+Δx
为端点的区间[x0,x0+Δx](或[x0+Δx,x0])上的平均变化率,而导数则是函数f(x)在点x0 处的变化率,它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度． 如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数,就说函数y=f(x)在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数 f(x)在点x0处不可导. 由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.
自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择
哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.下面来看导数的几何意义: 如图,曲线C是函数y=f(x)
的图象,P(x0,y0)是曲线C上的
任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)
为P邻近一点,PQ为C的割线,
PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的
倾斜角.斜率!PQ割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况. 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即: 这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.因此,切线方程为y-2=2(x-1),
即y=2x.求曲线在某点处的切线方程
的基本步骤:先利用切线斜率
的定义求出切线的斜率,然后
利用点斜式求切线方程.练习:如图已知曲线 ,求:
(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.在不致发生混淆时，导函数也简称导数．什么是导函数?由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:如何求函数y=f(x)的导数?看一个例子:下面把前面知识小结:a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数
学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物
理意义了解认识这一概念的实质，学会用事物在全 过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。 b.要切实掌握求导数的三个步骤：
（1）求函数的增 量；
（2）求平均变化率；
（3）取极限，得导数。（3）函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数
在x=x0处的函数值，即 。这也是
求函数在点x0处的导数的方法之一。 小结:（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,
就是函数f(x)的导函数 。（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改
变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个
常数，不是变数。c.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”
之间的区别与联系。（1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线
在点(x0,f(x0))的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即d.求切线方程的步骤：小结: 无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求 函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导 数概念。
作业:P87 A组 4,5,6.(其中6题作在书上)
第二教材 P72 4,5,6课件22张PPT。几种常见函数的导数一、复习1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与
求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速
度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同
的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和
公式——导数,导数源于实践,又服务于实践.2.求函数的导数的方法是:说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的
导数. 3.函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数 在x=
x0处的函数值,即 .这也是求函数在点x0
处的导数的方法之一。 4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=
f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.5.求切线方程的步骤：（1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线
在点(x0,f(x0))的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即二、新课——几种常见函数的导数根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.公式1: .公式2: .公式3: .公式4: 三、例题选讲例1:求过曲线y=cosx上点P( )且与过这点的切线垂
直的直线方程.注:满足条件的直线称为曲线在P点的法线.O A xM Py例2:如图,质点P在半径为1cm的圆上逆时针做匀角速
运动,角速度1rad/s,设A为起始点,求时刻t时,点P在
y轴上的射影点M的速度.解:时刻t时,因为角速度1rad/s,
所以 .故点M的运动方程为:y=1sint.故时刻t时,点P在 y轴上的射影点M的速度为cost
cm/s.例3:已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条
曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线
互相垂直?并说明理由.解:设存在一个公共点P(x0,y0)满足题设条件.由两条曲线的切线在点P互相垂直,则cosx0(-sinx0)
=-1,得sinx0cosx0=1,即sin2x0=2.这不可能,所以不存在满足题设条件的一个点.练习1:曲线y=sinx在点P( )处的切线的斜率为
___________.例4:已知曲线 在点P(1,1)处的切线与直线m平行且
距离等于 ,求直线m的方程.设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公式得:故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.导数的运算法则:法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即:法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:例4:求下列函数的导数:答案:四、小结与作业1.要切实掌握四种常见函数的导数公式:(1) (c为常
数;(2) ;(3) ;(4)2.对于简单函数的求导,关键是合理转化函数关系式为
可以直接应用公式的基本函数的模式.3.能结合直线的知识来解决一些与切线有关的较为综
合性问题.我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式例2.求函数y=x3-2x+3的导数.练习: P92 1、2
例4:求下列函数的导数:答案:例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s=
-4t3+16t2.
(1)此物体什么时刻在始点?
(2)什么时刻它的速度为零?解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得:
t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在
始点. 即t3-12t2+32t=0,
解得:t1=0,t2=4,t3=8,故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.例6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均
相切,求l的方程.解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).对于 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12
=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①对于 与S2相切于Q点的切线方程为y+
(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②因为两切线重合,若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4. 作业:
作业: P93 2、3、4、5课件16张PPT。导数的运算法则我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式二、导数的运算法则:(和差积商的导数)（可以推广到求有限个函数的和（差）的导数.）(轮流求导之和)(上导乘下,下导乘上,差比下方)例4:求下列函数的导数:答案:练习： 求下列函数的导数
（1） （2） （3）（4）（5）已知函数（1） 求这个函数的导数处的切线方程.（2）这个函数在点例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s=
-4t3+16t2.
(1)此物体什么时刻在始点?
(2)什么时刻它的速度为零?解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得:
t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在
始点. 即t3-12t2+32t=0,
解得:t1=0,t2=4,t3=8,故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.例6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均
相切,求l的方程.解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).对于 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12
=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①对于 与S2相切于Q点的切线方程为y+
(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②因为两切线重合,若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.四、复合函数及求导法则：一般地，对于两个函数y=f（u）和u=g（x），如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f（u）和u=g（x）的复合函数，记为复合函数的导数：y对x的导数=y对u的导数与u对x的导数的乘积例4 求下列函数的导数补充:例2:设f(x)可导,求下列函数的导数:
（1）f(x2);（2）f( );（3）f(sin2x)+f(cos2x)解: 说明:对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其 结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法则.课件27张PPT。bqr6401@126.com3.3.1函数的单调性与导数 首先我们回忆一下函数的单调性的概念和导数的几何意义.严格地说,对于给定区间上的函数 f(x), 如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值 x1, x2, 当x1 (1)若f(x1) (2)若f(x1)>f(x2), 那么f(x)在这个区间上是减函数. 直观地来看,如图从a到b曲线是上升的,说函数f(x)在区间(a,b)上是增函数; 从b到c曲线是下降的,
说函数f(x)在区间(b,c)上
是减函数. 观察曲线上升的时候,每一点的切线的斜率的大小;曲线下降的时候,每一点的切线的斜率的大小,你发现了什么规律? 考察函数的单调性与导数的关系：2yx0.......观察函数y=x2－4x＋3的图象： 总结:
该函数在区间(－∞,2)上单调递减,切线斜率小于0,即其导数为负; 该函数在区间(2,+∞)上单调递增,切线斜率大于0,即其导数为正. 而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.我们称它为“临界点”(或驻点).观察下列图象的单调区间,
并求单调区间相应的导数.图象是单调上升的.观察y=x图象是单调上升的. 若函数在区间(a,b)内单调递增，我们发现在（a，b）上切线的斜率为正，即
在（a，b）内的每一点处的导数值为正 若函数在区间(a,b)内单调递减，发现在（a，b）上切线的斜率为负，即在(a,b)内的每一点处的导数值为负，f '(x)>0f '(x)<0如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.分析：从图形看 若函数在区间(a,b)内单调递增，我们发现在（a，b）上切线的斜率为正，
即在（a，b）内的每一点处的导数值为正 若函数在区间(a,b)内单调递减，发现在（a，b）上切线的斜率为负，
即在(a,b)内的每一点处的导数值为负，函数的单调性与其导函数正负的关系:当函数y=f (x)在某个区间内可导时，
如果 , 则f (x)为增函数；
如果 , 则f (x)为减函数。注意：应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义,它必是定义域内的某个区间。例1、已知导函数 的下列信息：当10;
当x>4,或x<1时， <0;
当x=4,或x=1时， =0.则函数f(x)图象的大致形状是( ）。ABCDD例2、判断下列函数的单调性，并求出
单调区间：(1) f(x)=x3+3x ;解： =3x2+3=3(x2+1)>0从而函数f(x)=x3+3x
在x∈R上单调递增，
见右图。(2) f(x)=x2-2x-3 ;解： =2x-2=2(x-1)>0图象见右图。当 >0，即x>1时，函数单调递增；当 <0，即x<1时，
函数单调递减；(3) f(x)=sinx-x ; x∈(0,p)解： =cosx-1<0从而函数f(x)=sinx-x
在x∈(0,?)单调递减，
见右图。(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1 ;解： =6x2+6x-24=6(x2+x-4)>0当 >0，
即 时，
函数单调递增；图象见右图。当 <0，
即 时，
函数单调递减；求函数的单调区间的一般步骤:(1) 求出函数 f(x)的定义域A；(2) 求出函数f(x) 的导数 ；(3)不等式组
的解集为f(x)的单调增区间；(4)不等式组
的解集为f(x)的单调减区间；练习：课本93页 1练习：课本93页 3（4班）练习：课本93页 4例3、如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象。课堂练习设f/(x)是函数f(x)的导函数,y=?/(x)的图象如左图所示,则y=?(x)的图象最有可能的是( ) 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些。课堂练习设f/(x)是函数f(x)的导函数,y=?/(x)的图象如左图所示,则y=?(x)的图象最有可能的是( ) 练习：课本93页 2课件35张PPT。函数的极值与导数已知函数 f(x)=2x3-6x2+7
(1)求f(x)的单调区间,并画出其图象;【复习与思考】 (2)函数f(x)在x=0和x=2处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?解析（1）
由 得增区间：
由 得减区间：（2）函数f (x)在x=0处的函数值比其附近的函数值都大，而在x=2处的函数值比其附近的函数值都小 设函数y=f (x)在x=x0及其附近有定义，
(1) 如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都大，即f (x)y=f (x)的一个极大值.记作:y极大值=f (x0)【函数极值的定义】(2) 如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都小，即f (x)>f (x0),则称 f (x0)是函数
y=f (x)的一个极小值.记作:y极小值=f (x0)极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点. 观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点. (1) 极值是一个局部概念,反映了函数在某一点 附近的大小情况;(2) 极值点是自变量的值，极值指的是函数值; (3) 函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;【关于极值概念的几点说明】 (4) 函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而函数的最值既可能在区间的内部取得，也可能在区间的端点取得.【问题探究】 函数y=f (x)在极值点的导数值为多少?在极值点附近的导数符号有什么规律? (1) 如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x0)>0 右侧f /(x0)<0, 那么f(x0)是极大值【函数的极值与导数的关系】 (2) 如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x0)<0 右侧f /(x0)>0, 那么f(x0)是极小值左正右负极大值，
左负右正极小值例1: 求函数 的极值. 解:因为
例题所以, 函数的极小值为 ,极大值为例2所以，当x=-1时，函数的极大值是-2，
当x=1时，函数的极小值是2导函数的正负是
交替出现的吗？不是极大值极小值求解函数极值一般有哪些步骤？求解函数极值的一般步骤：
（1）确定函数的定义域
（2）求函数的导数f’(x)
（3）求方程f’(x)=0的根
（4）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格
（5）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况
左正右负极大值，
左负右正极小值【思考交流】导数值为0的点一定是函数的极值点吗? 对于可导函数而言,其极值点一定是导数为0的点,反之导数为0的点不一定是函数的极值点.因此:导数值为0的点是该点为极值点的必要非充分条件.练习2求下列函数的极值:解: 令 解得 列表:+单调递增单调递减– 所以, 当 时, f (x)有极小值练习2求下列函数的极值:解: 解得 列表:– ++单调递增单调递减单调递增所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ;当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .练习2求下列函数的极值:解: 解得 所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ;当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .解得 所以, 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ;当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .习题 A组 下图是导函数 的图象, 在标记的点中, 在哪一点处(1)导函数 有极大值?
(2)导函数 有极小值?
(3)函数 有极大值?
(4)函数 有极小值?或题型 1：图像与函数的极值1题型2：含参数的函数分析：如果函数有极大值又有极小值，说明函数的导数的符号有从正变到负和从负变到正的时候，也就是说到导函数有两个相异的实根小结：课本31页 练习.课后作业2 导函数y=f’(x)的图像如图，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出那些是极大值点，那些是极小值点？XYOax1x2x3x4x5x6bY=f’(x)X2,x4为极值点
X2为极大值点
X4为极小值点3 导函数y=f’(x)的图像如图，在标记的点中哪一点处
（1）导函数y=f’(x)有极大值？
（2）导函数y=f’(x)有极小值？
（3）函数y=f(x)有极大值？
（4）函数y=f(x)有极小值？
x1x2x3x4Y=f’(x)XYOX2X4X3x5X5已知汽车在笔直的公路上行驶：
（1）如果函数y=f(x)表示时刻t时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于0的点
（2）如果函数y=f(x)表示时刻t时汽车的速度，那么（1）中标出点的意义是什么？y=f(t)5 以下图形分别表示一个三次函数及其导数在同一坐标系中的图像，其中一定不正确的序号是（ ）XYOXYOXYOXYO(1)(2)(3)(4)A (3)(4) B (1)(3) C (2)(4) D(1)(2)A2 若不等式 对任意实数x都成立，求实数a的取值范围分析：由不等式可以知道 ,则要求a的范围，只要a 大于函数 的最大值即可，问题转化成求函数f(x)的最值课堂小结1 通过图像来观察函数的极值点
2 利用极值与导数的关系来求函数中参数的范围 函数的
极值与导数
（三）目标：
根据函数的极值与函数的导数关系来求解函数的解析式
数形结合来解决问题
例1题型3： 求解析式若函数 在x=-1和x=3时有极值，则a=_______,b=_______-3-9a=-3,b=-9,c=2,极小值为-25 (2006年北京卷)已知函数在点 处取得极大值5,其导函数 的图像(如图)过点（1,0）,（2,0）, 求：
（1） 的值；（2）a,b,c的值；(1)由图像可知：(2) 在x=2处有极大值，求常数c的值 C=6课件26张PPT。人教A版高中数学选修1-1
多媒体课件第三章 导数及其应用3.3.3 函数的最值与导数极值反映的是函数在某一点附近的局部
性质,而不是函数在整个定义域内的性质。但是我们往往更关心函数在某个区间上
哪个值最大，哪个值最小。观察区间[a,b]上函数y=f (x)的图象，你能找出它的极大值点，极小值点吗？极大值点 ，极小值点你能说出函数的最大值点和最小值点吗？最大值点 ：a ，最小值点：d最小值是f (b).单调函数的最大值和最小值容易被找到。函数y=f(x)在区间[a,b]上最大值是f (a),图1最大值是f (x3),图2函数y=f (x)在区间[a,b]上最小值是f (x4).一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f (x)
的图象是一条连续不断的曲线，那么
它必有最大值和最小值。怎样求函数y=f (x)在区间[a ,b]内的最大值
和最小值？思考只要把函数y=f (x)的所有极值连同端点
的函数值进行比较即可。例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0, 3]上的
最大值，最小值。例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0,3]上的
最大值，最小值。解：由上节课的例1知，在[0,3]上， 当x=2时， f(x)=x3-12x+12有极小值，并且极小值为f (2)=-4.又由于f (0)=12,f (3)=3,因此，函数 f(x)=x3-12x+12在[0, 3]上的
最大值为12，最小值为-4。①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值
(极大值与极小值); ②将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即端点的函数值）作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下练习1、求函数y=5-36x+3x2+4x3在区间
[-2,2]上的最大值与最小值。因为f(-2)=57, f(1.5)=-28.75, f(2)=-23所以函数的最大值为57，最小值为-28.75解： =-36+6x+12x2=6(2x2+x-6)令 =0,解得x1=-2 , x2=1.5练习2、求函数f(x)=x3-3x2+6x-2在区间
[-1,1]上的最值。解： =3x2-6x+6=3(x2-2x+2)因为 在[-1,1]内恒大于0, 所以 f(x)在[-1,1]上是增函数，故当x=-1时，f(x)取得最小值-12；当x=1时，f(x)取得最大值2。例2、已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a;
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20，
求它在该区间上的最小值。令 <0,解得x<-1或x>3解: (1) =-3x2+6x+9函数f(x)的单调递减区间为
(-∞,-1) ∪(3,+∞)(2) ∵f(-2)=8+12-18+a=2+af(2)=-8+12+18+a=22+a∴f(2)>f(-2)于是有22+a=20,解得a=-2∴f(x)=-x3+3x2+9x-2∴f(x)在[-1,2]上单调递增∴在(-1,3)上 >0, 又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减，即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7。∴ f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的
最大值和最小值。∴f(-1)=1+3-9-2=-7,例3、证明：当x>0时，x>ln(1+x)解：设f(x)=x-ln(1+x).即x>ln(1+x).又因为f(x)在x=0处连续，所以f(x)在x≥0上单调递增，从而当x>0时，有f(x)=x-ln(1+x)>f(0)=0练习3:当x>1时,证明不等式:证:设 显然f(x)在[1,+∞)上连续,且f(1)=0.显然,当x>1时, ,故f(x)是
[1,+∞)上的增函数.所以当x>1时,f(x)>f(1)=0,即当x>1时,例4、求证证明：设在x=1附近 由负到正令 =0,解得x=1,当x=1时，f(x)有极小值，这里也是最小值所以当x>0时，f(x) ≥f(1)=0从而小 结:①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值
(极大值与极小值); ②将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即端点的函数值）作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下再见课件19张PPT。3.4 生活中的优化问题举例 生活中经常会遇到求什么条件下可使用料最省，利润最大，效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.
这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题.其中
不少问题可以运用导数这一有力工具加以解决.复习：如何用导数来求函数的最值？ 一般地，若函数y=f (x)在[a，b]上的图象是一条
连续不断的曲线，则求f (x) 的最值的步骤是：（1）求y=f (x)在[a，b]内的极值(极大值与极小值)；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较，
其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 特别地，如果函数在给定区间内只有一个极值点，
则这个极值一定是最值。例1：海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
解:设版心的高为dm,则版心的宽为dm，此时四周空白面积为
= 令 于是宽为 因此, =16是函数的极小值点，也是最小值点.所以，
当版心高为16dm，宽为时8dm，
能使四周空白面积最小。如何解决优化问题?优化问题优化问题的答案
用函数表示的数学问题用导数解决数学问题问题情景二：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们
的价格如下表所示，则
（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？
（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造
成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出
售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的
最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？-+减函数↘增函数↗-1.07p解：∵每个瓶的容积为:∴每瓶饮料的利润：解：设每瓶饮料的利润为y，则-+减函数↘增函数↗∵f (r)在(2，6]上只有一个极值点
∴由上表可知，f (2)=-1.07p为利润的最小值-1.07p例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造
成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出
售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的
最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？解：设每瓶饮料的利润为y，则∵当r∈(0，2)时，而f (6)=28.8p，故f (6)是最大值答：当瓶子半径为6cm时，每瓶饮料的利润最大，
当瓶子半径为2cm时，每瓶饮料的利润最小.例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造
成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出
售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的
最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？1、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)<0,2、当半径为6cm时，利润最大。从图中可以看出:从图中，你还能看出什么吗？问题3:如何使一个圆形磁盘储存更多信息?例3 磁盘的最大存储量问题:磁道扇区解：存储量=磁道数×每磁道的比特数(1) 它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大。(2) 为求f(r)的最大值，先计算解得解决优化问题的方法之一：
通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学
模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，
使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有
力的工具，其基本思路如以下流程图所示优化问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案练习问题1:汽油的使用效率何时最高? 我们知道,汽油的消耗量w(单位:L)与汽车的速度v(单位:km/h)之间有一定的关系,汽油的消耗量w是汽车的速度v的函数.根据生活经验,思考下列两个问题:
(1)是不是汽车的速度越快,汽油的消耗量越大?
(2) “汽油的使用效率最高”的含义是什么?汽油的使用效率G=汽油的消耗量w/汽车行使路程s,
即:G=w/s
求G的最小值问题如图;反映汽油平均消耗率g(每小时的汽油消耗量)与汽车行使的平均速度v之间关系,课件20张PPT。导数复习第一讲 欢迎各位专家莅临指导！1导数的物理意义2某点处导数的几何意义这一点处的导数即为这一点处切线的斜率 导数知识点回顾3：某点处导数的定义当时4：常见函数的导数：5:基本初等函数求导公式6:函数的和差积商的导数 1.直线运动的物体位移
与时间 的关系是 则它的初速度为（ ）
A .0 B .3 C. D. B2.函数 ,则 A . 0 B . -1 C. D .( )B课堂练习: . 3.已知则( )-2( )-44.曲线的切线中,斜率最小的切线方程 为( )以上几题是考查导数的运算及几何意义。
下面来借助导数研究函数的单调性问题……..导数在研究函数中的应用1.函数的单调性:增函数减函数注：若函数f(x)在区间 内单调增函数,则 若函数f(x)在区间 内单调减函数,则1.设函数 的减区间为( )课堂练习:2.若函数 在 R 内是减函数,则 的范围( )变式：若将函数改为
则结果为（ ） 3.函数 在 上 ( ) A.是增函数 B.是减函数 D.有最小值C.有最大值A4.若函数 有三个单调区间,则的范围是( ) 分析:1.求单调区间:
首先注意定义域,
其次区间不能用或( U) 连接.题后反思:增函数2.减函数边界代入检验 例1. 是f（x）的导函数，
f/（x）的图象如下图,则f（x） 的图象只可能是（ ）
D看图说话:ABCD原函数的单调性原函数图象上点的切线的斜率K的变化原函数的极值点看图说话:原函数与其导函数的单调性无关系. 设 是函数f(x)的导函数,y=?/(x)的图象如左图所示,则y=?(x)的图象最有可能
的是( ) C练习: 例2.设函数 在 上可导，且 当 时，有( )
思考:本题是考查什么知识点?创新应用:C 可导函数f( x )、g( x )定义域为R且恒大于零，
则当a f( b )g( b )
B. f( x )g( a ) > f( a )g( x )
C. f( x )g( b ) > f( b )g( x )
D. f( x )g( x ) > f( a )g( a )
变式引申 例3.若函数
(1) 在R上是单调函数,求b范围.
(2) 在 处取得极值,且
时, 恒成立 ,求实数C的范围.
综合应用:课堂小结:1.导数的运算2.导数几何意义求曲线的切线熟记公式找切点3.导数研究函数的单调性. 若函数f(x)在区间 内为 增函数, 则减含数边界代入检验 莅临指导!课件34张PPT。导数的运算与导数的几何意义 利用导数研究函数的性质 利用导数求参数的取值范围 数形结合思想 课件19张PPT。
