1.3 不等式——2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修第一册课时分层练（含解析）

1.3 不等式——2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修第一册课时分层练
【夯实基础】
知识点1 不等式性质
1.若，则下列不等式恒成立的是( ).
A. B. C. D.
2.已知实数x，y满足，，则的取值范围是( ).
A. B. C. D.
3.设，，，则( ).
A.， B.，
C.， D.，
4.下列不等式中成立的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
知识点2 基本不等式
5.若，则的( )
A.最小值为0 B.最大值为4 C.最小值为4 D.最大值为0
6.已知正实数a，b满足，则的最大值为( ).
A. B. C. D.
7.若实数a，b满足，则ab的最小值为( ).
A. B.2 C. D.4
8.若a，b为正数，且满足，则关于的最小值说法正确的是( )
A.当且仅当时，取得最小值25
B.当且仅当，时，取得最小值26
C.当且仅当时，取得最小值20
D.当且仅当，时，取得最小值19
9.若正实数a，b满足，则b的最大值为( )
A.3 B.2 C. D.
【提升能力】
10.（多选）已知a,b,c,d均为实数，则下列命题正确的是( )
A.若，，则 B.若，，则 C.若，,则 D.若，,则
11. （多选）若，且，则下列不等式中，恒成立的是( )
A. B. C. D.
12.已知，，则________.(用不等号或等号填空)
13.已知，且，则的最小值为__________.
【核心素养】
14.试比较下列各组式子的大小：
（1）与，其中；
（2）与，其中.
15.某投资公司计划投资A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资金额x的函数关系为，B产品的利润与投资金额x的函数关系为.(利润与投资金额单位：万元)
(1)该公司已有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中，其中x万元资金投入A产品，试把A，B两种产品的利润总和表示为x的函数，并写出定义域；
(2)怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润 最大利润为多少万元
答案以及解析
1.答案：A
解析：解：.
2.答案：B
解析：解：令，，则.
3.答案：B
解析：解：显然，，由知，，所以或但当时，，矛盾.
4.答案：B
解析：A.若，则错误，如时，，所以该选项错误；
B.若，则，，所以该选项正确；
C.若，则，，所以该选项错误；
D.若，则，，所以该选项错误.
故选：B
5.答案：D
解析：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，此时取得最大值0.故选D.
6.答案：C
解析：解：因为，，所以，当且仅当且，即，时取等号.
7.答案：C
解析：解：由知，，，又，得，当且仅当且，即，时取等号.
8.答案：A
解析：因为，所以.，当且仅当且，即时等号成立，取得最小值25.
9.答案：C
解析：因为正实数a，b满足，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以.
因为，所以，解得，
所以b的最大值为.
10.答案：ACD
解析：若，，则不等式两边同时除以ab得，所以A正确，B不正确：若，，则不等式两边同时乘ab得，所以C正确；若,，则，所以，所以D正确.故选ACD.
11.答案：AD
解析：对于A，因为，所以，因此A项正确；对于B，取，此时，因此B项不正确；对于C，取，此时，因此C项不正确；对于D，因为，所以，所以，因此D正确.
12.答案：>
解析：解：.
13.答案：
解析：解：因为，且，所以，当且仅当时取等号.
14、（1）答案：
解析：，.
因为，所以，
所以，所以.
（2）答案：
解析：
.
因为，所以，，，即，
所以，即.
15.答案：(1)，
(2)分别用20万元，80万元资金投资A，B两种产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元
解析：(1)x万元资金投入A产品，则剩余的万元资金投入B产品.
利润总和，.
(2)因为，，
所以，当且仅当时取等号，即.
所以分别用20万元，80万元资金投资A，B两种产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元.