2.3 函数的单调性——2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修第一册课时分层练（含解析）

2.3 函数的单调性——2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修第一册课时分层练
【夯实基础】
1.下列函数中，在上是增函数的是( )
A. B. C. D.
2.定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
3.下列函数在定义域上既是奇函数又是增函数的是( ).
A. B. C. D.
4.下列四个函数在上单调递增的是( )
①；②；③；④.
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
5.已知函数在R上单调递减，则函数的增区间为( )
A. B. C. D.
6.函数的一个单调递增区间是( )
A. B. C. D.
7.下列有关函数单调性的说法，不正确的是( )
A.若为增函数，为增函数，则为增函数
B.若为减函数，为减函数，则为减函数
C.若为增函数，为减函数，则为增函数
D.若为减函数，为增函数，则为减函数
【提升能力】
8.设,都是函数的单调增区间，若，，，则与的大小关系是( )
A. B. C. D.不能确定
9.已知函数，则的递减区间为( )
A. B. C.和 D.
10.（多选）函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定( )
A.有最小值 B.没有最大值 C.单调递减 D.单调递增
11. （多选）下列函数在上不具有单调性的是( )
A. B. C. D.
12.若函数在区间上单调，则实数a的取值范围是________.
13.函数的单调减区间是____________.
【核心素养】
14.已知在上是增函数，且，.判断在上是增函数还是减函数，并加以证明.
15.已知函数且.
（1）求的解析式；
（2）作出函数的图象，并写出的单调递增区间和单调递减区间.
答案以及解析
1.答案：D
解析：本题考查函数的单调性.对A选项，函数在区间是减函数，故A不正确；对B选项，函数在区间是减函数，故B不正确；对C选项，函数在区间是减函数，故C不正确；D选项，函数在区间是增函数，故D符合题意.
2.答案：B
解析：不妨设任意的，
因为，所以，
所以，
所以在上单调递减.
不等式等价于，又，
所以等价于.
因为在上单调递减，所以，
即不等式的解集为.
3.答案：C
解析：的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，A选项错误；与的定义域为，而在其定义域上单调递减，在其定义域上不单调，B，D选项错误；在定义域上既是奇函数又是增函数，C选项正确.故选C.
4.答案：C
解析：①在上单调递减，故错误；
②在上不单调，故错误；
③在上单调递增，故正确；
④在上单调递增，故正确.
5.答案：C
解析：由函数在R上单调递减可知，所以的图象开口向下，对称轴为，所以在上单调递增.
6.答案：C
解析：由，得，即.令，该函数在上单调递增，而外层函数为定义域内的增函数，所以函数的一个单调递增区间是.
7.答案：C
解析：若为增函数，为减函数，则的增减性不确定.
例如：为上的增函数，当时，在上为增函数；当时，在上为减函数.所以不能确定的单调性.故选C.
8.答案：D
解析：根据单调性的定义，所取两个自变量是同一单调区间内的任意两个变量，才能由该区间上的函数单调性来比较函数值的大小.故选D.
9.答案：C
解析：本题考查反比例函数的单调区间.，根据定义可知，当时，随着x的增大，函数值y不断减小，当时，随着x的增大，函数值y也是不断减小，所以函数y的递减区间为和.
10.答案：BD
解析：因为函数在区间上有最小值，所以对称轴.，若，则在上单调递增，无最值；若在上单调递增，则在上单调递增，没有最值.综上，在上单调递增.故选BD.
11.答案：CD
解析：A.在上单调递增；B.在上单调递减；C.在上均单调递增，但在上不具有单调性；D.在上单调递增，在上单调递减，而在上不具有单调性.故选CD.
12.答案：
解析：①当时，，所以在上单调递增，满足题意；②当时，函数图象的对称轴为直线，若在上单调，则或，解得.综上所述，.
13.答案：
解析：函数的图像如图所示.
由图像可知，单调减区问是.
14.答案：函数在上是减函数.
证明如下:
任取，且，
则
.
因为在上是增函数，
所以.
又因为，
所以,
则，,
即,
所以，即.
故在上是减函数.
15、（1）答案：
解析：解：因为且，，所以
解得所以
（2）答案：见解析
解析：画出函数的图象，如图所示.函数的单调递减区间是，单调递增区间是.