(共43张PPT)
二项分布与超几何分布（1）
高二年级 数学
复习旧知
1、离散型随机变量的分布列
一般地，当离散型随机变量的取值范围是，如果对任意概率都是已知的，则称的概率分布是已知的．
复习旧知
离散型随机变量的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为的概率分布或分布列．
复习旧知
2、离散型随机变量的分布列满足：
(1) ；
(2)
复习旧知
3、求离散型随机变量的分布列的步骤：
（1）找出离散型随机变量的所有可能值
；
（2）求出每一个值的概率
（3）列出表格.
复习旧知
4、两点分布
一般地，如果随机变量的分布列能写成如下表格的形式，则称这个随机变量服从参数的两点分布（或分布）．
情境与问题
为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备），已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概率都为，它们之间相互不影响，那么这个计算机网络不会断掉的概率是多少呢？
我们已经知道，一个伯努利试验是试验结果可记为“成功”与“不成功”的试验．在现实生活中，经常需要在相同的条件下将一个伯努利试验重复多次．
例如，为了了解观察抛硬币出现的统计规律性，可多次重复进行抛硬币这个伯努利试验；
为了了解支持改革的人的比例，可随机向多人进行访问，询问他们的态度是“支持”还是“不支持”.
次独立重复试验：
在相同的条件下重复次伯努利试验时，人们总是约定这次试验是相互独立的，此时这次伯努利试验也常称为次独立重复试验．
例如，对一批产品进行抽样检查，每次取一件来判断是否合格，有放回地抽取次，就是一个次独立重复试验；
篮球运动员练习投篮次，可以认为每次投中的概率都相同，这是一个次独立重复试验．
在次独立重复试验中，人们经常关心的是“成功”出现的次数．
尝试与发现
已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有甲、乙、丙、丁个患有该病的患者服用了这种药物，观察其中有多少患者会被这种药物治愈．
（1）这能否看成独立重复试验？
（2）求出甲、乙、丙都被治愈而丁没被治愈的概率；
（3）求出恰有个患者被治愈的概率；
（4）设有人被治愈，求的分布列．
（1）不难看出，个患者是否会被治愈是相互独立的，因此尝试与发现中的情形可以看成次独立重复试验．
（2）如果用分别表示甲被治愈、乙被治愈、丙被治愈、丁被治愈，则不难看出
甲乙丙都被治愈而丁没被治愈可以表示为，
因此由独立性可知
（3）注意到恰有个患者被治愈的情况共有种（个人中，选出个是被治愈的，剩下的那个是没被治愈的），即
这四种情况两两都是互斥的，而且每一种情况的概率均为
因此所求概率为
（4）因为共有名患者服用了药物，所以的取值范围应该是 ，
用类似的方法可知
因此的分布列为
二项分布：
一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为记且次独立重复试验中出现“成功”的次数为，则的取值范围是，
而且
因此的分布列如下表所示．
0 1 … …
… …
注意到上述的分布列第二行中的概率值都是二项展开式
中对应项的值，因此称服从参数的二项分布，记作．
比如，上述尝试与发现中的随机变量服从参数的二项分布，即
服从二项分布的随机变量，其概率分布可用图直观地表示，如图所示．
应用举例
例1 设本节一开始的情境与问题中，能正常工作的设备数为．
（1）写出的分布列；
（2）求出计算机网络不会断掉的概率．
解：(1)可以看出，服从参数为的二项分布，即．
因此
.
从而的分布列为
（2）要使计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即，
因此所求概率为
例2 假设某种人寿保险规定，投保人没活过65岁时，保险公司要赔偿100万元；活过65岁时，保险公司不赔偿．已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过65岁的概率都为．随机抽取3个投保人，设其中活过65岁的人数为，保险公司要赔偿给这三人的总金额为万元．
（1）指出服从的分布；
（2）写出与的关系；
（3）求．
解：（1）不难看出，服从参数为的二项分布，即．
（2）因为3个投保人中，活过65岁的人数为，则没活过65岁的人为，因此
（3）因为
，
所以
．
小结
1、当服从二项分布时，应弄清中的试验次数与成功概率.
小结
2、解决二项分布问题的两个关注点
1) 对于公式必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式.
2) 判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了次.
用信息技术计算二项分布的概率值
将一枚均匀的硬币抛次，求正好出现次正面的概率时，可以设正面出现的次数为则参数为，0.5的二项分布，即，因此所求概率为
用信息技术计算二项分布的概率值
在Excel中，只要在任何一个单元格输入
=BINOM.DIST(50,100,0.5,FALSE)
即可得到上述概率的小数形式，如下图所示
用信息技术计算二项分布的概率值
利用GeoGebra的概率与统计功能，选择二项分布后，一样可以得到有关的概率值，如下图所示.
课堂小结
1、 次独立重复试验．
在相同的条件下重复 次伯努利试验时，人们总是约定这 次试验是相互独立的，此时这 次伯努利试验也常称为 次独立重复试验．
课堂小结
2、二项分布
一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为记且次独立重复试验中出现“成功”的次数为，则的取值范围是，
而且
．
因此的分布列如下表所示．
… …
… …
课堂小结
称服从参数的二项分布，记作．
课后作业
教材79页 练习A 2，4；练习B 1.
A-2. 一个车间有台同类型的且独立工作的机器，假设每天启动时，每台机器出故障的概率均为.设某天启动时，出故障的机器数为.
写出的分布列；
求该天机器启动时，至少有台机器出现故障的概率.
课后作业
A-4.张明从家坐公交车到学校的途中，会通过个有红绿灯的十字路口，假设在每个十字路口遇到红灯的概率均为，而且在各路口是否遇到红灯是相互独立的.设为张明在途中遇到的红灯数，求随机变量的分布列.
课后作业
B-1.已知某气象站天气预报的准确率为，求次预报中
(1) 恰有次预报准确的概率；
(2) 至少有次预报准确的概率；
(3) 恰有次预报准确且其中第次预报准确的概率.
谢谢(共42张PPT)
二项分布与超几何分布（2）
高二年级 数学
复习旧知
1、离散型随机变量的分布列
一般地，当离散型随机变量的取值范围是，如果对任意概率都是已知的，则称的概率分布是已知的．
复习旧知
离散型随机变量的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为的概率分布或分布列．
复习旧知
2、 次独立重复试验．
在相同的条件下重复 次伯努利试验时，人们总是约定这 次试验是相互独立的，此时这 次伯努利试验也常称为 次独立重复试验．
复习旧知
3、二项分布
一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为记且次独立重复试验中出现“成功”的次数为，则的取值范围是，而且
．
因此的分布列如下表所示．
… …
… …
复习旧知
称服从参数的二项分布，记作．
尝试与发现
某校组织一次认识大自然的夏令营活动，有名同学参加，其中6名男生，名女生，现要从这名同学中随机抽取3名去采集自然标本.
（1）抽取的人中恰有名女生的概率是多少？
（2）设抽取的人中女生有名，写出的分布列.
解：（1）注意到从名同学中随机抽取人，共有种不同的抽法，也就是说，样本空间中样本点的数量是.
另外，抽取的人中恰有名女生，等价于抽取的是名女生和名男生，因此包含的样本点数为
因此所求概率为=.
（2）如果抽取的人中女生数为，则的取值范围是，
已算得
类似的办法得
因此的分布列为
0 1 2 3
超几何分布：
一般地，若有总数为件的甲、乙两类物品，其中甲类有件，从所有物品中随机取出件，则这件中所含甲类物品件数是一个离散型随机变量.
能取不小于且不大于的所有自然数，其中是与中的较小者，在不大于乙类物品件数(即)时取，否则取减乙类物品件数之差(即).
而且
这里的服从参数为超几何分布，记作
例如，尝试与发现中(10名同学，6男，4女，随机抽取3人, 为女生人数)，
，
此时，
由于，则，所以
若将题目变为(10名同学，6男，4女，随机抽取7人)其他条件不变，则，
此时4，
由于，则，所以
例1 学校要从名男教师和名女教师中随机选出去支教，设抽取的人中女教师的人数为，求.
应用举例
解：由题意知，服从参数为超几何分布，即,因此
小结
解答此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布.若满足，则直接利用公式解决；若不满足，则应借助相应概率公式求解.
注意公式中的含义.
例2 袋中有个白球、个黑球，从中随机地连续抽取次， 每次取个球.
（1）若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，求的分布列；
（2）若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为，求的分布列.
应用举例
解：（1）若每次抽取后都放回，则每次抽到黑球的概率均为，而次取球可以看成次独立重复试验，因此
所以
因此的分布列为
(2) 若每次抽取后都不放回，则随机抽取次可看成随机抽取次，但次抽取了3个球，因此黑球数参数为超几何分布，即
所以
因此的分布列为
小结
1. 解决超几何分布问题的两个关键点
（1）超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆.
（2）超几何分布中，只要知道，就可以利用公式求出取不同的概率从而求出
的分布列.
小结
2. 由例题可知，若件产品中共有件次品，当我们从 这些产品中每次抽取件，共抽取次进行检查时，若是有放回地抽样，则抽到的次品数服从的是二项分布；若是不放回地抽样且，则抽到的次品数服从的是超几何分布.
探索与研究
若件产品中共有件次品，则不放回地抽样中，第一次抽到次品的概率为.
探索与研究
而第二次抽到次品的概率与第一次抽到的是否为次品有关；若第一次抽到的是次品，则第二次抽到次品的概率为 .
若第一次抽到的不是次品，则第二次抽到次品的概率为 .
探索与研究
不过，当相对来说很大时， 与都可以近似为.
由以上信息出发，探索二项分布与超几何分布之间的联系.
探索与研究
在实际工作中，产品检验一般都采用不放回抽样，因此要计算次抽取中恰好得到件次品的概率，应采用超几何分布的概率公式，但是此公式需要知道总体的容量，数值计算比较复杂.
探索与研究
不过当相对来说很大时，与都可以近似为，那么不放回抽样与放回抽样是差不多的.
探索与研究
故超几何分布近似于二项分布，因此可用二项分布的计算公式近似，这样可以大大节省计算量.所以当一批产品数量很大的时候，我们可以把取得某类样本的频率视作取得这类样本的概率，用二项分布近似代替超几何分布.
课堂小结
1、超几何分布：一般地，若有总数为件的甲、乙两类物品，其中甲类有件，从所有物品中随机取出件，则这件中所含甲类物品件数是一个离散型随机变量.
课堂小结
能取不小于且不大于的所有自然数，其中是与中的较小者，在不大于乙类物品件数(即)时取，否则取减乙类物品件数之差(即).
课堂小结
而且
这里的服从参数为超几何分布，记作.
课堂小结
2、超几何分布与二项分布的关系
二项分布与超几何分布既有区别，又有联系．
产品检验一般都采用不放回抽样，因此要计算次抽取中恰好得到件次品的概率，应采用超几何分布的概率公式.
课堂小结
但当相对来说很大时，那么不放回抽样与放回抽样时差不多的，故超几何分布近似于二项分布，因此可用二项分布的计算公式近似．所以当一批产品数量很大的时候，我们可以把取得某类样本的频率视作取得这类样本的概率，用二项分布近似代替超几何分布．
课后练习
教材79页 练习A 3，5；练习B 2.
A-3.市教育局决定在所管辖的所中学中随机抽取所进行教学质量检测，已知所中学中农村中学有所，设抽到的农村中学共有所，指出服从的分布，并求出的值.
课后练习
A-5.袋中有个白球、个黑球，从中随机地连续抽取次，每次取球.
(1) 若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，求的分布列；
(2) 若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为，求的分布列.
课后练习
B-2. 分别指出下列随机变量服从的分布列，并用合适的符号表示：
(1) 某班级共有30名学生，其中有10名学生戴眼镜，随机从这个班级中抽取5人，设抽到的不戴眼镜的人数为;
(2) 已知女性患色盲的概率为0.25%，任意抽取300名女性，设其中患色盲的人数为;
(3) 学校要从3名男教师和4名女生中随机选出3人去支教，设抽取的人中男教师的人数为
谢谢
