7.2.2三角形的外角[下学期]

(共18张PPT)
7.2.2 三角形
的外角
三角形的内角
三角形内角的和等于1800.
△ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.
∠A+∠B+∠C=1800的几种变形:
∠A=1800 –(∠B+∠C).
∠B=1800 –(∠A+∠C).
∠C=1800 –(∠A+∠B).
∠A+∠B=1800-∠C.
∠B+∠C=1800-∠A.
∠A+∠C=1800-∠B.
这里的结论,以后可以直接运用.
回顾与思考

A
B
C
三角形外角定义: 三角形的一边与另一边
的延长线所组成的角, 叫做三角形的外角.
特征: (1). 顶点在三角形的一个顶点上.
(2). 一条边是三角形的一边.
(3). 另一条边是三角形某条边的延长线.
实际上三角形的一个外角, 就是三角形一个内角的邻补角
如图. △ABC 中,∠A=70 ,
∠B=60 ,∠ACD是△ABC的一个外角, 能由∠A , ∠B 求出∠ACD 吗 如果能, ∠ACD 与∠A , ∠B 有什么关系 你能进一步说明∠ ACD与图中的其它角有什么关系^
∠ ACD =∠A+∠B.
∠ACD+∠2=1800 ;
∠ACD >∠A;
∠ACD >∠B;
理由如下:∵∠A+∠B+∠2=1800(三角形内角和等于1800 ),
∠1+∠2=1800(平角的意义),
∴∠1= ∠A+∠B.(等量代换).
∴ ∠1>∠A,∠1>∠B(和大于部分).
探索思考

A
B
C
D
1
2
能说出你的理由吗
用文字表述为:
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
三角形的外角
三角形的一个外角等于与它不相邻的
两个内角的和.
三角形的一个外角大于与它不相邻的
任何一个内角.
△ABC中:
∠1=∠A+∠B;
∠1>∠A,∠1>∠B.
三种语言

A
B
C
D
1
2
这个结论以后可以直接运用.
例1 已知:如图,在△ABC中,AD平分
外角∠EAC,∠B= ∠C. 则AD ∥ BC
请说明理由.
解∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),
例题欣赏

∴ AD∥BC (内错角相等,两直线平行).
∠B=∠C (已知),
∴∠DAC=∠C(等量代换).
A
C
D
B
E
∵ AD平分 ∠EAC(已知).
∴∠C= ∠EAC(等式性质).
∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义).
·
·
例题是运用了“内错角相等,两直线平行”得到了证实.
一题多解思维灵活
想一想
A
C
D
B
E
·
·
∠B=∠C (已知),
∴∠B= ∠EAC(等式性质).
∵ AD平分 ∠EAC(已知).
∴∠DAE= ∠EAC(角平分线的定义).
∴∠DAE=∠B(等量代换).
∴ AD∥BC (同位角相等,两直线平行).
这里是运用了“同位角相等,两直线平行”得到了证实.
解∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),
例1 已知:如图,在△ABC中,AD平分
外角∠EAC,∠B= ∠C.
则AD ∥ BC,请说明理由
一题多解思维灵活
想一想
A
C
D
B
E
·
例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B= ∠C. 则AD∥BC.请说明理由.
∠DAC=∠C (已证),
∵ ∠BAC+∠B+∠C =1800 (三角形内角和定理).
∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =1800 (等量代换).
∴ AD∥BC (同旁内角互补,两直线平行).
这里是运用了“同旁内角互补,两直线平行”得到了证实.
解:由解法1可得:
·
例2 已知:如图,在△ABC中, ∠1是它的一个外角, E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE. 则 ∠1>∠2,请说明理由.
解:∵ ∠1是△ABC的一个外角(已知),
例题欣赏

把你所悟到的证明一个真命题的方法,步骤,书写格式以及注意事项内化为一种方法.
∴ ∠1>∠3(三角形的一个外角大于和与 它不相邻的任何一个内角).
∵∠3是△CDE的一个外角 (外角定义).
∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于和与 它不相邻的任何一个内角).
∴ ∠1>∠2(不等式的性质).
C
A
B
F
1
3
4
5
E
D
2
我能行
已知:如图所示,在△ABC中,外角∠DCA=100°,∠A=45°.
求:∠B和∠ACB的大小.
随堂练习

A
B
C
D
解:∵ ∠DCA是△ABC的一个外角(已知),
∠DCA=100°(已知),
∴ ∠B=100°-45°=55°.(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
又∵ ∠DCA+∠BCA=180°(平角意义).
∴ ∠ACB=80°(等式的性质).
∠A=45°(已知),
你认识外角吗
已知:国旗上的正五角星形如图所示.
求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
随堂练习

解:∵∠1是△BDF的一个外角(外角的意义),
分析:设法利用外角把这五个角“凑”到一个三角形中,运用三角形内角和性质来求解.
∴ ∠1=∠B+∠D(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
∴ ∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和等于180 ).
又∵ ∠2是△EHC的一个外角(外角的意义),
A
B
C
D
E
F
1
H
2
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =180°(等式性质).
你认识外角吗
已知:如图所示.
求证:(1)∠BDC>∠A;
(2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C.
试一试

证明(1):∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 (外角的定义),
∴ ∠BDC>∠CED(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角).
∴ ∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角).
∴ ∠BDC>∠A (不等式的性质).
∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角的定义),
B
C
A
D
E
你认识外角吗
已知:如图所示.
求证:(1)∠BDC>∠A;
(2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C.
试一试

证明(2):∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 (外角的定义),
∴ ∠BDC =∠C+∠CED(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
∴ ∠DEC=∠A+ ∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和).
∴ ∠BDC=∠A+∠B+∠C (等式的性质).
∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角的定义),
B
C
A
D
E
回味无穷
1.理解几何命题说理的方法,步骤,格式及注意事项.
2.三角形三个内角的和等于1800.
△ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.
3.三角形的外角
(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
(2)三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
你准备如何提高证明命题的能力呢
小结 拓展
知识的升华
独立
作业
作业本(2) P16
祝你成功！
结束寄语
严格性之于数学家,犹如道德之于人.
由“因”导“果”,执“果”索“因”是探索证明思路最基本的方法.
言必有据,因果对应.是初学证明者谨记和遵循的原则.
下课了!