北师大版数学九年级上册同步练习—— 第四章 《图形的相似》4.探索三角形相似的条件（3）
一、选择题
1．（2023九上·嵊州期末）如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022九上·乐亭期中）如图所示，网格中相似的两个三角形是（ ）
A．①与② B．①与③ C．③与④ D．②与③
3．（2022九上·奉贤期中）如图，小正方形的边长为均为1，下列各图（图中小正方形的边长均为1）阴影部分所示的三角形中，与相似的三角形是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022九上·奉贤期中）如图是由40个边长为1的等边三角形组成的网格图，的三个顶点和线段的两个端点都在等边三角形的顶点上，若点F也在等边三角形的顶点上，能使与相似的点F有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022九上·海口期中）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列四个图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021九上·历下期末）如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（ ）
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④
7．（2021九上·宝山期末）下列格点三角形中，与右侧已知格点相似的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021九上·长春月考）如图，在正方形网格上，与△ABC相似的三角形是（ ）
A．△AFD B．△FED C．△AED D．不能确定
二、填空题
9．（2022九上·蚌山期中）如图，在正方形网格中有三个三角形，分别是，，，其中与相似的是 ．
10．（2019九上·拱墅月考）如图，在正方形网格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点.如果 ，那么当 时，以点A、D、E为顶点的三角形与 相似.
11．（2020九上·上海月考） 的边长分别为 的边长分别 ，则 与 （选填“一定”“不一定” “一定不”）相似
12．（2020九上·镇平期中）将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是 .
13．（2019·湖州模拟）如图,在正方形网格上有6个斜三角形:
①△ABC,②△CDB,③△DEB,④△FBG,⑤△HGF,⑥△EKF.
在②~⑥中,与①相似的三角形的序号是 .(把你认为正确的都填上)
14．如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是 .
三、解答题
15．（2021九上·兴平期中）如图，在和中，、分别是、上一点，，当，时，求证：．
16．（2021九上·普陀月考）如图，△ABC与△DEF在5×7的长方形网格中，它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置，试判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由．
17．（2021九上·江都期末）我们知道，全等是特殊的相似，相似与三角函数也有着密切的联系.某数学兴趣小组类比“斜边和直角边分别相等的两个直角三角形全等”，进而提出猜想“斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似吗？”如图，在 和 中， ，且 ，则 与 相似吗？并说明理由.
18．（2020九上·商河月考）如图，已知 ，求证：△ABD∽△ACE
19．（2020九上·合肥月考）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：中，是正方形的对角线，
∴，且，，
即，
要使，
则，
观察图形，只有是正方形的对角线，即，
且，，
即，
∴点符合题意，
故答案为：B.
【分析】易得∠ABC=135°，AB=，BC=2，要使△ABC∽△PDE，则∠PDE=∠ABC=135°，观察图形可得只有∠P2DE=135°，且，据此解答.
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据网格的特点，①号三角形的三边长分别为：，2，，
②号三角形的三边长分别为：，，3，
③号三角形的三边长分别为：2，，，
④号三角形的三边长分别为：，3，，
，
①与③相似，故B符合题意；其他选项不符合题意
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形的判定方法，计算求解即可。
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：三边长分别为，，
、三边分别为，与三边对应不成比例，故A选项不符合；
B、三边分别为，与 三边对应不成比例，故B选项不符合；
C、三边分别为 ，与 三边对应成比例，故C选项符合；
D、三边分别为 ，与 三边对应不成比例，故D选项不符合；
故答案为：C
【分析】先利用勾股定理求出AC、BC和AB的长，再利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：
当 ，时，
当，时，
当，时，
当，时，
一共有4个点F符合题意，
故答案为：D
【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵小正方形的边长为1，
∴在中，，， ，
A、三边分别为，，，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似.故此选项不符合题意；
B、三边分别为，，，有，即三边与中的三边对应成比例，故两三角形相似.故此选项符合题意；
C、三边分别为，，，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似.故此选项不符合题意；
D、三边分别为，，，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似.故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】分别计算出三角形的三边长，然后根据三边对应成比例的两个三角形相似进行判断.
6．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①三角形的三边的长度为：2，2，2；
②三角形的三边的长度为：，2，；
③三角形的三边的长度为：，3，；
④三角形的三边的长度为：，，3；
∵，
∴相似三角形的是①和②，
故答案为：A．
【分析】先计算每个三角形3条边的长度，根据相似三角形判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似可得答案。
7．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：的三边长分别为：，
，，
∵，
∴为直角三角形，B，C选项不符合题意，排除；
A选项中三边长度分别为：2，4，，
∴，
A选项符合题意，
D选项中三边长度分别为：，，，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可。
8．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AF＝4，DF＝4 ，AD＝4 ，AB＝2，BC＝2 ，AC＝2 ，
∴ ，
∴△AFD∽△ABC．
故答案为：A．
【分析】先求出 ，再求解即可。
9．【答案】△DEB
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边之比是，
△EBC的三边之比是
△CDB的三边之比是，
△DEB的三边之比是．
∴△DEB与△ABC相似，
故答案为：△DEB．
【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。
10．【答案】 或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】根据题意得：AD=1，AB=3，AC= ，
∵∠A=∠A，
∴若△ADE∽△ABC时， ，
即： ，
解得：AE= ，
若△ADE∽△ACB时， ，
即： ，
解得：AE= ，
∴当AE= 或 时，以点A，D， E为顶点的三角形与△ABC相似，
故答案为： 或 .
【分析】首先根据图，可得AD=1，AB=3，AC= ，然后分别从若△ADE∽△ABC与若△ADE∽△ACB去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AE的值
11．【答案】不一定
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ 的边长分别为 的边长分别 ，
∴两个三角形对应边的比分别为：
，
当a=b=c时， ，这两个三角形相似，
当a≠b≠c时， ，这两个三角形不相似，
∴ 与 不一定相似，
故答案为：不一定．
【分析】先求出两个三角形三边的比，再根据三边对应成比例判断两个三角形相似即可．
12．【答案】2或
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：设BF=x，则由折叠的性质可知：B′F= ，FC= ，
（1）当△B′FC∽△ABC时，有 ，
即： ，解得： ；
（2）当△B′FC∽△BAC时，有 ，
即： ，解得： ；
综上所述，可知：若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是2或
故答案为2或 .
【分析】分两种情况（1）当△B′FC∽△ABC时，有 ，（2）当△B′FC∽△BAC时，有 ，据此分别求解即可.
13．【答案】③④⑤
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：②△CDB中CD:BC:BD=1: :2 ;
③△DEB中DE：BD：BE=2： ： =1： ： ;
④△FBG中，FB：FG：BG= ： ：5=1： ： ;
⑤△HGF中，HG：HF：FG= ：2： =1： ： ；
⑥△EKF中，KE:EF:FK= : :3.
其它两个三角形的三边之比不符合，故与①相似的三角形的序号是③④⑤．
故答案为：③④⑤
【分析】利用勾股定理可求出△ABC的三边之比为：1： ： ;再利用勾股定理分别求出△CDB，△DEB，△FBG，△HGF，△EKF的三边之比，从而可得到与△ABC相似的三角形的序号。
14．【答案】△APB∽△CPA
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AP＝ ，PB＝1，PC＝5，
∴ ， ，
∵∠APB＝∠CPA，
∴△APB∽△CPA，
故答案为：△APB∽△CPA
【分析】利用勾股定理求出AP、BP、PC的长，再求出AP与PC、PB与AP的比值，可得出AP、PC、PB、AP四条线段对应成比例，再由∠APB＝∠CPA，利用两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得结论。
15．【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】由已知条件可得 ，然后根据相似三角形的判定定理进行证明.
16．【答案】解：△ABC △DEF，理由如下：
∵AB= ，AC= ，BC=5，DE=1，DF= ，EF= ，
∴ ，
∴△ABC △DEF．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】相似.理由：利用勾股定理分别求出AB、AC、DF、EF，从而得出，利用三边对应成比例的三角形相似即证.
17．【答案】相似，理由如下：
令 ，
则 ， ，
由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据三角形相似的判定条件：三边对应成比例，即可证得 .
18．【答案】证明：∵
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先由 得 ，再得到 ，进而证明 ．
19．【答案】解：△ABC和△DEF相似
理由如下:根据勾股定理，得
∵
∴△ABC 和△DEF
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据勾股定理求出AB，BC，AC，DF，DE，EF的长，从而得出，根据相似三角形的判定定理，即可证出△ABC和△DEF相似.
1 / 1北师大版数学九年级上册同步练习—— 第四章 《图形的相似》4.探索三角形相似的条件（3）
一、选择题
1．（2023九上·嵊州期末）如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：中，是正方形的对角线，
∴，且，，
即，
要使，
则，
观察图形，只有是正方形的对角线，即，
且，，
即，
∴点符合题意，
故答案为：B.
【分析】易得∠ABC=135°，AB=，BC=2，要使△ABC∽△PDE，则∠PDE=∠ABC=135°，观察图形可得只有∠P2DE=135°，且，据此解答.
2．（2022九上·乐亭期中）如图所示，网格中相似的两个三角形是（ ）
A．①与② B．①与③ C．③与④ D．②与③
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据网格的特点，①号三角形的三边长分别为：，2，，
②号三角形的三边长分别为：，，3，
③号三角形的三边长分别为：2，，，
④号三角形的三边长分别为：，3，，
，
①与③相似，故B符合题意；其他选项不符合题意
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形的判定方法，计算求解即可。
3．（2022九上·奉贤期中）如图，小正方形的边长为均为1，下列各图（图中小正方形的边长均为1）阴影部分所示的三角形中，与相似的三角形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：三边长分别为，，
、三边分别为，与三边对应不成比例，故A选项不符合；
B、三边分别为，与 三边对应不成比例，故B选项不符合；
C、三边分别为 ，与 三边对应成比例，故C选项符合；
D、三边分别为 ，与 三边对应不成比例，故D选项不符合；
故答案为：C
【分析】先利用勾股定理求出AC、BC和AB的长，再利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。
4．（2022九上·奉贤期中）如图是由40个边长为1的等边三角形组成的网格图，的三个顶点和线段的两个端点都在等边三角形的顶点上，若点F也在等边三角形的顶点上，能使与相似的点F有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：
当 ，时，
当，时，
当，时，
当，时，
一共有4个点F符合题意，
故答案为：D
【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。
5．（2022九上·海口期中）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列四个图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵小正方形的边长为1，
∴在中，，， ，
A、三边分别为，，，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似.故此选项不符合题意；
B、三边分别为，，，有，即三边与中的三边对应成比例，故两三角形相似.故此选项符合题意；
C、三边分别为，，，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似.故此选项不符合题意；
D、三边分别为，，，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似.故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】分别计算出三角形的三边长，然后根据三边对应成比例的两个三角形相似进行判断.
6．（2021九上·历下期末）如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（ ）
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①三角形的三边的长度为：2，2，2；
②三角形的三边的长度为：，2，；
③三角形的三边的长度为：，3，；
④三角形的三边的长度为：，，3；
∵，
∴相似三角形的是①和②，
故答案为：A．
【分析】先计算每个三角形3条边的长度，根据相似三角形判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似可得答案。
7．（2021九上·宝山期末）下列格点三角形中，与右侧已知格点相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：的三边长分别为：，
，，
∵，
∴为直角三角形，B，C选项不符合题意，排除；
A选项中三边长度分别为：2，4，，
∴，
A选项符合题意，
D选项中三边长度分别为：，，，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可。
8．（2021九上·长春月考）如图，在正方形网格上，与△ABC相似的三角形是（ ）
A．△AFD B．△FED C．△AED D．不能确定
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AF＝4，DF＝4 ，AD＝4 ，AB＝2，BC＝2 ，AC＝2 ，
∴ ，
∴△AFD∽△ABC．
故答案为：A．
【分析】先求出 ，再求解即可。
二、填空题
9．（2022九上·蚌山期中）如图，在正方形网格中有三个三角形，分别是，，，其中与相似的是 ．
【答案】△DEB
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边之比是，
△EBC的三边之比是
△CDB的三边之比是，
△DEB的三边之比是．
∴△DEB与△ABC相似，
故答案为：△DEB．
【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。
10．（2019九上·拱墅月考）如图，在正方形网格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点.如果 ，那么当 时，以点A、D、E为顶点的三角形与 相似.
【答案】 或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】根据题意得：AD=1，AB=3，AC= ，
∵∠A=∠A，
∴若△ADE∽△ABC时， ，
即： ，
解得：AE= ，
若△ADE∽△ACB时， ，
即： ，
解得：AE= ，
∴当AE= 或 时，以点A，D， E为顶点的三角形与△ABC相似，
故答案为： 或 .
【分析】首先根据图，可得AD=1，AB=3，AC= ，然后分别从若△ADE∽△ABC与若△ADE∽△ACB去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AE的值
11．（2020九上·上海月考） 的边长分别为 的边长分别 ，则 与 （选填“一定”“不一定” “一定不”）相似
【答案】不一定
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ 的边长分别为 的边长分别 ，
∴两个三角形对应边的比分别为：
，
当a=b=c时， ，这两个三角形相似，
当a≠b≠c时， ，这两个三角形不相似，
∴ 与 不一定相似，
故答案为：不一定．
【分析】先求出两个三角形三边的比，再根据三边对应成比例判断两个三角形相似即可．
12．（2020九上·镇平期中）将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是 .
【答案】2或
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：设BF=x，则由折叠的性质可知：B′F= ，FC= ，
（1）当△B′FC∽△ABC时，有 ，
即： ，解得： ；
（2）当△B′FC∽△BAC时，有 ，
即： ，解得： ；
综上所述，可知：若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是2或
故答案为2或 .
【分析】分两种情况（1）当△B′FC∽△ABC时，有 ，（2）当△B′FC∽△BAC时，有 ，据此分别求解即可.
13．（2019·湖州模拟）如图,在正方形网格上有6个斜三角形:
①△ABC,②△CDB,③△DEB,④△FBG,⑤△HGF,⑥△EKF.
在②~⑥中,与①相似的三角形的序号是 .(把你认为正确的都填上)
【答案】③④⑤
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：②△CDB中CD:BC:BD=1: :2 ;
③△DEB中DE：BD：BE=2： ： =1： ： ;
④△FBG中，FB：FG：BG= ： ：5=1： ： ;
⑤△HGF中，HG：HF：FG= ：2： =1： ： ；
⑥△EKF中，KE:EF:FK= : :3.
其它两个三角形的三边之比不符合，故与①相似的三角形的序号是③④⑤．
故答案为：③④⑤
【分析】利用勾股定理可求出△ABC的三边之比为：1： ： ;再利用勾股定理分别求出△CDB，△DEB，△FBG，△HGF，△EKF的三边之比，从而可得到与△ABC相似的三角形的序号。
14．如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是 .
【答案】△APB∽△CPA
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AP＝ ，PB＝1，PC＝5，
∴ ， ，
∵∠APB＝∠CPA，
∴△APB∽△CPA，
故答案为：△APB∽△CPA
【分析】利用勾股定理求出AP、BP、PC的长，再求出AP与PC、PB与AP的比值，可得出AP、PC、PB、AP四条线段对应成比例，再由∠APB＝∠CPA，利用两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得结论。
三、解答题
15．（2021九上·兴平期中）如图，在和中，、分别是、上一点，，当，时，求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】由已知条件可得 ，然后根据相似三角形的判定定理进行证明.
16．（2021九上·普陀月考）如图，△ABC与△DEF在5×7的长方形网格中，它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置，试判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由．
【答案】解：△ABC △DEF，理由如下：
∵AB= ，AC= ，BC=5，DE=1，DF= ，EF= ，
∴ ，
∴△ABC △DEF．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】相似.理由：利用勾股定理分别求出AB、AC、DF、EF，从而得出，利用三边对应成比例的三角形相似即证.
17．（2021九上·江都期末）我们知道，全等是特殊的相似，相似与三角函数也有着密切的联系.某数学兴趣小组类比“斜边和直角边分别相等的两个直角三角形全等”，进而提出猜想“斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似吗？”如图，在 和 中， ，且 ，则 与 相似吗？并说明理由.
【答案】相似，理由如下：
令 ，
则 ， ，
由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据三角形相似的判定条件：三边对应成比例，即可证得 .
18．（2020九上·商河月考）如图，已知 ，求证：△ABD∽△ACE
【答案】证明：∵
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先由 得 ，再得到 ，进而证明 ．
19．（2020九上·合肥月考）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由
【答案】解：△ABC和△DEF相似
理由如下:根据勾股定理，得
∵
∴△ABC 和△DEF
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据勾股定理求出AB，BC，AC，DF，DE，EF的长，从而得出，根据相似三角形的判定定理，即可证出△ABC和△DEF相似.
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