北师大版数学九年级上册同步练习—— 第四章 《图形的相似》4.探索三角形相似的条件（4）
一、选择题
1．（2023九上·杭州期末）若点Р是线段的黄金分割点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·嵊州期末）在学习画线段的黄金分割点时，小明过点B作的垂线，取的中点M，以点B为圆心，为半径画弧交射线于点D，连接，再以点D为圆心，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·武义期末）若点C是线段AB的黄金分割点，，则AC的长度为（ ）
A． B． C．5 D．
4．（2023九上·赵县期末）校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄、金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为（ ）cm．
A．-1 B．2-2 C．5-5 D．10-10
5．（2022九上·南海月考）一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人身材好．如图，是一个参加空姐选拔的选手的实际身高情况，如果要使身材好，那么她穿鞋子的高度最好为（ ）．（精确到，参考数据：黄金分割比为）
A．5 B．8 C．10 D．12
6．（2022九上·黄浦期中）点P是线段的黄金分割点，且，则下列等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2023九上·诸暨期末）如图，点为上的黄金分割点，，作如下操作：
步骤1：以点为圆心，小于1为半径作圆弧，分别与，交于点，；
步骤2：作的中垂线；
步骤3：以点为圆心，为半径为圆弧交于点，连接.
则线段，，圆弧围成的几何图形面积为 .
8．（2022九上·包头期末）如图，在“黄金三角形”中，，，平分交于点D，若，则的长为 ．
9．（2023九上·成都期末）黄金分割总能给人以美的享受，从人体审美学的角度看，若一个人上半身长与下半身长之比满足黄金比的话，则此人符合和谐完美的身体比例．一芭蕾舞演员的身高为160cm，但其上半身长与下半身长之比大于黄金比，当其表演时掂起脚尖，身高就可以增加10cm，这时上半身长与下半身长之比就恰好满足黄金比，那么该演员的上半身长为 cm．（结果保留根号）
10．（2022九上·即墨期末）黄金分割在生活中的应用十分广泛，例如大多数窗户的宽和长的比是黄金比，已知某扇窗户的长为1.8米，则宽约为 米．（结果精确到0.1）
11．（2022九上·舟山月考）宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形．古希腊很多矩形建筑中宽与长的比都等于黄金比，如图，矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，以AB为边在矩形ABCD内部作正方形ABEF，若AD＝1，则DF＝ ．
三、解答题
12．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即 ，BE交DC于点F，已知 ，求CF的长 .
13．（2016九上·龙海期中）如图，点C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果满足 ，那么我们称点C是线段 AB的黄金分割点，若AB=1，求AC的长．
14．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．
15．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC．求证：=．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段；
则，
故答案为：A.
【分析】根据黄金分割的特点可得AP=AB进行计算.
2．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：根据作图可知，，，
设，则，
∴根据勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴以A为圆心，“”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其中一个黄金分割点，故A正确.
故答案为：A.
【分析】根据作图可知∠ABD=90°，DB=DF=BM=AB，设DB=EF=a，则AB=2a，AD=a，AF=AD-DF=a-a，则，据此解答.
3．【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：点是线段的黄金分割点，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据黄金分割的特点可得，然后将AB的值代入进行计算即可.
4．【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10cm，
∴AP＝AB＝×10＝5-5（cm），
故答案为：C
【分析】直接利用黄金分割的定义计算出AP的长即可．
5．【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设她应该穿高的鞋子，根据题意，得：．
解得：x≈10，
故答案为：C．
【分析】设她应该穿高的鞋子，再根据黄金分割的定义可得，最后求出x的值即可。
6．【答案】D
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点P是线段的黄金分割点，且
∴
∴
∴A、B、C等式成立，D等式不成立
故答案为：D．
【分析】由点P是线段的黄金分割点，且，可得，据此逐一判断即可.
7．【答案】
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；黄金分割
【解析】【解答】解：∵点B是AC上的黄金分割点（AB＞BC），
∴即，
解之：，
由题意可知BD⊥AC，BE=BC=2，
∴∠ABE=∠CBE=90°，
线段AE，AC，圆弧CE围成的几何图形的面积为△ABE的面积+扇形EBC的面积
∴.
故答案为：
【分析】利用黄金分割点可求出AB的长，再利用作图可知BD⊥AC，BE=BC=2，由此可得到线段AE，AC，圆弧CE围成的几何图形的面积为△ABE的面积+扇形EBC的面积，利用三角形的面积公式和扇形的面积公式求出线段AE，AC，圆弧CE围成的几何图形的面积.
8．【答案】
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵在中，，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴和都是顶角为的等腰三角形．
设，则，．
∵，
∴，
∴，即，
整理，得：，
解得： (舍)，
∴
故答案为：．
【分析】设，则，，先证明，可得，即，再求出x的值，最后求出即可。
9．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设该演员的上半身长为xm，根据题意得
解之：，
经检验是方程的根，
故答案为：
【分析】利用当其表演时掂起脚尖，身高就可以增加10cm，可得到此时的身高，设该演员的上半身长为xm，根据上半身长：下半身长，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
10．【答案】1.1
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：将抛物线先向左平移3个单位得，再向上平移5个单位得；
故答案为：D．
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
11．【答案】
【知识点】正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，
∴
∴，
∵正方形ABEF，
∴，
∴.
故答案为：
【分析】利用矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，可得到，由此可求出AB的长，再利用正方形的性质可求出AF的长；然后根据DF=AD-AF，代入计算求出DF的长.
12．【答案】解：∵D为AE的黄金分割点，∴∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠CBF=∠AEB，∠BCF=∠BAE，BC=AD，∴△BCF∽△EAB，∴ ，即 ，把AD= AE，AB= +1代入得， = ，解得：CF=2．
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用平行四边形的性质，去证∠CBF=∠AEB，∠BCF=∠BAE，BC=AD，就可证得△BCF∽△EAB，利用相似三角形的性质，可得出对应边成比例，再将AD、AB的值代入，就可求出CF的长。
13．【答案】解：设AC=x，则BC=1﹣x，
由 得， ，
化简得：x2+x﹣1=0，
解得： （负值舍去），
答：AC的长为
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】设AC=x，根据黄金分割的概念列出比例式，计算即可．
14．【答案】（1）证明：∵AB=AC=1，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴DA=DB，BD=BC，
∴AD=BD=BC，
易得△BDC∽△ABC，
∴BC：AC=CD：BC，即BC2=CD AC，
∴AD2=CD AC，
∴点D是线段AC的黄金分割点；
（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，
∵AD2=CD AC，
∴x2=1﹣x，解得x1=，x2=，
即AD的长为．
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABC=∠C=72°，∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°，则可得 到AD=BD=BC，然后根据相似三角形的判定方法易得△BDC∽△ABC，利用相似比得到BC2=CD AC，于是有AD2=CD AC，则可根据线段黄金分割点的定义得到结论；
（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，由（1）的结论得到x2=1﹣x，然后解方程即可得到AD的长．
15．【答案】解∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣36°）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，
∴DA=DB，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BC，
∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴BC：DC=AC：BC，
∴AD：DC=AC：AD，
∴点D为AC的黄金分割点，
∴=，
∴=．
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证明△ABC∽△BDC，根据黄金分割的概念计算即可．
1 / 1北师大版数学九年级上册同步练习—— 第四章 《图形的相似》4.探索三角形相似的条件（4）
一、选择题
1．（2023九上·杭州期末）若点Р是线段的黄金分割点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段；
则，
故答案为：A.
【分析】根据黄金分割的特点可得AP=AB进行计算.
2．（2023九上·嵊州期末）在学习画线段的黄金分割点时，小明过点B作的垂线，取的中点M，以点B为圆心，为半径画弧交射线于点D，连接，再以点D为圆心，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：根据作图可知，，，
设，则，
∴根据勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴以A为圆心，“”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其中一个黄金分割点，故A正确.
故答案为：A.
【分析】根据作图可知∠ABD=90°，DB=DF=BM=AB，设DB=EF=a，则AB=2a，AD=a，AF=AD-DF=a-a，则，据此解答.
3．（2023九上·武义期末）若点C是线段AB的黄金分割点，，则AC的长度为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：点是线段的黄金分割点，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据黄金分割的特点可得，然后将AB的值代入进行计算即可.
4．（2023九上·赵县期末）校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄、金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为（ ）cm．
A．-1 B．2-2 C．5-5 D．10-10
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10cm，
∴AP＝AB＝×10＝5-5（cm），
故答案为：C
【分析】直接利用黄金分割的定义计算出AP的长即可．
5．（2022九上·南海月考）一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人身材好．如图，是一个参加空姐选拔的选手的实际身高情况，如果要使身材好，那么她穿鞋子的高度最好为（ ）．（精确到，参考数据：黄金分割比为）
A．5 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设她应该穿高的鞋子，根据题意，得：．
解得：x≈10，
故答案为：C．
【分析】设她应该穿高的鞋子，再根据黄金分割的定义可得，最后求出x的值即可。
6．（2022九上·黄浦期中）点P是线段的黄金分割点，且，则下列等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点P是线段的黄金分割点，且
∴
∴
∴A、B、C等式成立，D等式不成立
故答案为：D．
【分析】由点P是线段的黄金分割点，且，可得，据此逐一判断即可.
二、填空题
7．（2023九上·诸暨期末）如图，点为上的黄金分割点，，作如下操作：
步骤1：以点为圆心，小于1为半径作圆弧，分别与，交于点，；
步骤2：作的中垂线；
步骤3：以点为圆心，为半径为圆弧交于点，连接.
则线段，，圆弧围成的几何图形面积为 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；黄金分割
【解析】【解答】解：∵点B是AC上的黄金分割点（AB＞BC），
∴即，
解之：，
由题意可知BD⊥AC，BE=BC=2，
∴∠ABE=∠CBE=90°，
线段AE，AC，圆弧CE围成的几何图形的面积为△ABE的面积+扇形EBC的面积
∴.
故答案为：
【分析】利用黄金分割点可求出AB的长，再利用作图可知BD⊥AC，BE=BC=2，由此可得到线段AE，AC，圆弧CE围成的几何图形的面积为△ABE的面积+扇形EBC的面积，利用三角形的面积公式和扇形的面积公式求出线段AE，AC，圆弧CE围成的几何图形的面积.
8．（2022九上·包头期末）如图，在“黄金三角形”中，，，平分交于点D，若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵在中，，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴和都是顶角为的等腰三角形．
设，则，．
∵，
∴，
∴，即，
整理，得：，
解得： (舍)，
∴
故答案为：．
【分析】设，则，，先证明，可得，即，再求出x的值，最后求出即可。
9．（2023九上·成都期末）黄金分割总能给人以美的享受，从人体审美学的角度看，若一个人上半身长与下半身长之比满足黄金比的话，则此人符合和谐完美的身体比例．一芭蕾舞演员的身高为160cm，但其上半身长与下半身长之比大于黄金比，当其表演时掂起脚尖，身高就可以增加10cm，这时上半身长与下半身长之比就恰好满足黄金比，那么该演员的上半身长为 cm．（结果保留根号）
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设该演员的上半身长为xm，根据题意得
解之：，
经检验是方程的根，
故答案为：
【分析】利用当其表演时掂起脚尖，身高就可以增加10cm，可得到此时的身高，设该演员的上半身长为xm，根据上半身长：下半身长，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
10．（2022九上·即墨期末）黄金分割在生活中的应用十分广泛，例如大多数窗户的宽和长的比是黄金比，已知某扇窗户的长为1.8米，则宽约为 米．（结果精确到0.1）
【答案】1.1
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：将抛物线先向左平移3个单位得，再向上平移5个单位得；
故答案为：D．
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
11．（2022九上·舟山月考）宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形．古希腊很多矩形建筑中宽与长的比都等于黄金比，如图，矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，以AB为边在矩形ABCD内部作正方形ABEF，若AD＝1，则DF＝ ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，
∴
∴，
∵正方形ABEF，
∴，
∴.
故答案为：
【分析】利用矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，可得到，由此可求出AB的长，再利用正方形的性质可求出AF的长；然后根据DF=AD-AF，代入计算求出DF的长.
三、解答题
12．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即 ，BE交DC于点F，已知 ，求CF的长 .
【答案】解：∵D为AE的黄金分割点，∴∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠CBF=∠AEB，∠BCF=∠BAE，BC=AD，∴△BCF∽△EAB，∴ ，即 ，把AD= AE，AB= +1代入得， = ，解得：CF=2．
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用平行四边形的性质，去证∠CBF=∠AEB，∠BCF=∠BAE，BC=AD，就可证得△BCF∽△EAB，利用相似三角形的性质，可得出对应边成比例，再将AD、AB的值代入，就可求出CF的长。
13．（2016九上·龙海期中）如图，点C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果满足 ，那么我们称点C是线段 AB的黄金分割点，若AB=1，求AC的长．
【答案】解：设AC=x，则BC=1﹣x，
由 得， ，
化简得：x2+x﹣1=0，
解得： （负值舍去），
答：AC的长为
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】设AC=x，根据黄金分割的概念列出比例式，计算即可．
14．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．
【答案】（1）证明：∵AB=AC=1，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴DA=DB，BD=BC，
∴AD=BD=BC，
易得△BDC∽△ABC，
∴BC：AC=CD：BC，即BC2=CD AC，
∴AD2=CD AC，
∴点D是线段AC的黄金分割点；
（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，
∵AD2=CD AC，
∴x2=1﹣x，解得x1=，x2=，
即AD的长为．
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABC=∠C=72°，∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°，则可得 到AD=BD=BC，然后根据相似三角形的判定方法易得△BDC∽△ABC，利用相似比得到BC2=CD AC，于是有AD2=CD AC，则可根据线段黄金分割点的定义得到结论；
（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，由（1）的结论得到x2=1﹣x，然后解方程即可得到AD的长．
15．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC．求证：=．
【答案】解∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣36°）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，
∴DA=DB，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BC，
∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴BC：DC=AC：BC，
∴AD：DC=AC：AD，
∴点D为AC的黄金分割点，
∴=，
∴=．
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证明△ABC∽△BDC，根据黄金分割的概念计算即可．
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