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北师大版数学九年级上册同步练习—— 第四章 《图形的相似》7.相似三角形的性质
一、选择题
1．（2023·义乌模拟）如果两个相似三角形的周长之比为1：2，那么这两个三角形的面积之比为（ ）
A．1： B．1：2 C．1：4 D．1：8
2．（2023·红河模拟）如图，，，，则为（ ）
A．8 B． C． D．10
3．（2023·柯桥模拟）如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB=3，BC=4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1、S2、S3、S4，以下判断，其中不正确的是（ ）
A．PA+PB+PC+PD的最小值为10
B．若△PAB≌△PCD，则△PAD≌△PBC
C．若△PAB △PDA，则PA=2
D．若S1=S2，则S3=S4
4．（2023·成都模拟）若，且，若的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·大渡口模拟）如图，，在边上取点P，使得与相似，则满足条件的点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
6．（2023九上·三明模拟）如图，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2023·成都）如图，在中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点；③以点为圆心，以MN长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交BC于点E. 若与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为 .
8．如图，中，，点在上，且，点在上，连接．若，则 ．
9．（2023九上·新邵期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周长为12cm，则△A′B′C′的周长为 .
10．（2023九上·慈溪期末）如图，正方形的边长为6，点F为的中点，点E在上，且，在边上找一点P，使以E，D，P为顶点的三角形与相似，则的长为 .
11．（2023九上·温州期末）如图，点在等边三角形的边上，连接，线段的垂直平分线分别交边，于点，当时，的值为 ．
12．（2022九上·杨浦期中）如图，已知四边形中，平分，，，如果与相似，那么 ．
三、解答题
13．（2023九上·礼泉期末）如图所示，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，△ADE∽△ABC，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，求四边形DBCE的面积.
14．（2022九上·路南期中）如图，分别是、上的点，，，，，，求的长和的度数．
15．（2022九上·温州期中）如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，，，，，，求的长.
16．（2021九上·济阳期中）如图，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．
17．（2020九上·澧县期中）如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以4cm/s的速度移动.如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟△PBQ与△ABC相似？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 两个相似三角形的周长之比为1：2，
∴这两个三角形的面积之比为1∶4.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方可得答案.
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，DE=5，
那么：
∴DE：BC=3：5
∴
故答案为C。
【分析】相似三角形，对应边成比例；相似三角形面积之比的平方根即为对应边的比例。
3．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：A、当点P是矩形ABCD的对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理可得PA+PB+PC+PD的值最小为AC+BD=10，故此选项正确；
B、若△PAB≌△PCD，则PA=PC，PB=PD，∴点P是对角线的交点，容易判断出△PAD≌△PBC，故此选项正确；
C、若△PAB∽△PDA，由相似三角形的性质得∠PAB=∠PDA，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°，利用三角形内角和定理得∠APD=180°-（∠PDA+∠PAD）=90°，同理可得∠APB=90°，那么∠BPD=180°，即B、P、D三点共线，根据三角形的面积公式可得PA=2.4，故此选项错误；
D、易得S1+S3=S2+S4=S矩形ABCD，所以若S1=S2，则S3=S4，故此选项正确.
故答案为：C.
【分析】首先根据矩形的性质及勾股定理算出算出矩形的对角线AC=BD=5，根据两点之间线段最短可得当点P是矩形ABCD的对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，据此可判断A选项；由三角形全等的性质得PA=PC，PB=PD，则点P是对角线的交点，进而用SSS判断出△PAD≌△PBC，据此可判断B选项；由相似三角形的对应角相等得∠PAB=∠PDA，推出∠APD=180°-=90°，同理可得∠APB=90°，则B、P、D三点共线，根据三角形的面积公式可得PA的长，据此可判断C选项；根据矩形的性质、三角形的面积计算公式及平行线间的距离易得S1+S3=S2+S4=S矩形ABCD，据此可判断D选项.
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：，且，相似三角形周长的比等于相似比，
，
的周长=，
故答案为：C.
【分析】相似三角形的周长比等于相似比，据此求解.
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：，
若与相似，可分两种情况：
①若，
则，
；
解得.
②若，
则，
，
解得或6.
则满足条件的长为2.8或1或6.
故答案为：C.
【分析】分△APD∽△BPC，△APD∽△BCP，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴或（不符合题意，舍去）
∵，
∴.
故答案为：B.
【分析】由已知条件可得S△ABC：S△ADE=1：4，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
7．【答案】
【知识点】平行线的判定；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由作法可得：∠MAN=∠M'DN'，
∴DE//AC，
∵与四边形ACED的面积比为4：21，
∴与△BAC的面积比为4：25，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据作法求出∠MAN=∠M'DN'，再求出与△BAC的面积比为4：25，最后求解即可。
8．【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△AEF∽△ACB，
∴，
∴，
∴AF=.
故答案为：.
【分析】直接根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
9．【答案】16cm
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且，即相似三角形的相似比为，
∵△ABC的周长为12cm
∴△A′B′C′的周长为12÷=16cm.
故答案为：16cm.
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比进行计算.
10．【答案】6或
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：依题意， ，
若 ，则 ，即 ，解得： ；
若 ，则 ，即 ，解得： ，
故答案为：6或 .
【分析】由题意可得AE=2，DE=4，AF=3，然后分△AEF∽△DEP、△AEF∽△DPE，结合相似三角形的对应边成比例进行计算.
11．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；相似三角形的性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：如图，连接DE、DF，设BE＝x，BD＝2a，
∵2CD＝3BD，
∴CD＝BD＝3a，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝5a，∠B＝∠C＝∠EAF＝60°，
∵EF垂直平分AD，
∴DE＝AE＝5a x，FD＝AF，
∵EF＝EF，
∴△DEF≌△AEF（SSS），
∴∠EDF＝∠EAF＝60°，
∴∠BED＝180° ∠B ∠BDE＝120° ∠BDE，∠CDF＝180° ∠EDF ∠BDE＝120° ∠BDE，
∴∠BED＝∠CDF，
∴△BED∽△CDF，
∴
∴
∴FD＝AF＝
∴解得，
∴.
故答案为：.
【分析】连接DE、DF，设BE＝x，BD＝2a，则CD＝3a，所以AB＝AC＝BC＝5a，由线段垂直平分线的性质得DE＝AE＝5a x，FD＝AF，再证明△DEF≌△AEF，则∠EDF＝∠EAF＝60°，即可证明△BED∽△CDF，根据相似三角形的对应边成比例求出用含a的代数式表示x的式子，再求出用含a的代数式表示AE、AF的式子，即可求出AEAF的值．
12．【答案】6
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABD∽△DBC，
∴，
∴BD2=AB·BC=4×9=36，
∴BD=6.
故答案为：6.
【分析】根据相似三角形的性质得出，代入数值进行计算，即可得出答案.
13．【答案】解：∵△ADE和△ABC的相似比是1：2，
又∵△ADE的面积是1，
∴S四边形
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，利用△ADE的面积，可求出△ABC的面积，再利用四边形DBCE的面积等于△ABC的面积减去△ADE的面积，代入计算可求出结果.
14．【答案】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】利用相似三角形的性质计算求解即可。
15．【答案】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴.
即的长度为5.
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】根据相似三角形对应边成比例得 ，代入数值计算即可得出DF的长，再根据矩形的对边相等得DC的长，最后根据FC=DC-DF即可算出答案.
16．【答案】解：设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似，则有，，，
当时，，
即，
解得秒；
当时，，
即，
解得秒．
∴经过2.5秒或1秒时，△PBQ与△ABC相似．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】分两种情况：①当时，，②当时，，再将数据代入求解即可。
17．【答案】解：设在开始运动后第x秒，△BPQ与△BAC相似，
由题意得：AP＝2xcm，PB＝（8﹣2x）cm，BQ＝4x，
分两种情况考虑：
当∠BPQ＝∠C，∠B＝∠B时，△PBQ∽△CBA，
∴ ，
即
解得：x＝0.8，
当x＝0.8秒时，△BPQ与△BAC相似；
当∠BPQ＝∠A，∠B＝∠B时，△BPQ∽△BAC，
∴ ，即 ，
解得：x＝2，
当x＝2秒时，△BPQ与△BAC相似.
综上，当x＝0.8秒或2秒时，△BPQ与△BAC相似.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】设在开始运动后第x秒，△BPQ与△BAC相似，由题意得：AP＝2xcm，PB＝(8-2x)cm，BQ＝4x，然后分①∠BPQ＝∠C，∠B＝∠B时，△PBQ∽△CBA；②∠BPQ＝∠A，∠B＝∠B时，△BPQ∽△BAC，利用相似三角形对应边成比例就可求出x的值.
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北师大版数学九年级上册同步练习—— 第四章 《图形的相似》7.相似三角形的性质
一、选择题
1．（2023·义乌模拟）如果两个相似三角形的周长之比为1：2，那么这两个三角形的面积之比为（ ）
A．1： B．1：2 C．1：4 D．1：8
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 两个相似三角形的周长之比为1：2，
∴这两个三角形的面积之比为1∶4.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方可得答案.
2．（2023·红河模拟）如图，，，，则为（ ）
A．8 B． C． D．10
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，DE=5，
那么：
∴DE：BC=3：5
∴
故答案为C。
【分析】相似三角形，对应边成比例；相似三角形面积之比的平方根即为对应边的比例。
3．（2023·柯桥模拟）如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB=3，BC=4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1、S2、S3、S4，以下判断，其中不正确的是（ ）
A．PA+PB+PC+PD的最小值为10
B．若△PAB≌△PCD，则△PAD≌△PBC
C．若△PAB △PDA，则PA=2
D．若S1=S2，则S3=S4
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：A、当点P是矩形ABCD的对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理可得PA+PB+PC+PD的值最小为AC+BD=10，故此选项正确；
B、若△PAB≌△PCD，则PA=PC，PB=PD，∴点P是对角线的交点，容易判断出△PAD≌△PBC，故此选项正确；
C、若△PAB∽△PDA，由相似三角形的性质得∠PAB=∠PDA，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°，利用三角形内角和定理得∠APD=180°-（∠PDA+∠PAD）=90°，同理可得∠APB=90°，那么∠BPD=180°，即B、P、D三点共线，根据三角形的面积公式可得PA=2.4，故此选项错误；
D、易得S1+S3=S2+S4=S矩形ABCD，所以若S1=S2，则S3=S4，故此选项正确.
故答案为：C.
【分析】首先根据矩形的性质及勾股定理算出算出矩形的对角线AC=BD=5，根据两点之间线段最短可得当点P是矩形ABCD的对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，据此可判断A选项；由三角形全等的性质得PA=PC，PB=PD，则点P是对角线的交点，进而用SSS判断出△PAD≌△PBC，据此可判断B选项；由相似三角形的对应角相等得∠PAB=∠PDA，推出∠APD=180°-=90°，同理可得∠APB=90°，则B、P、D三点共线，根据三角形的面积公式可得PA的长，据此可判断C选项；根据矩形的性质、三角形的面积计算公式及平行线间的距离易得S1+S3=S2+S4=S矩形ABCD，据此可判断D选项.
4．（2023·成都模拟）若，且，若的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：，且，相似三角形周长的比等于相似比，
，
的周长=，
故答案为：C.
【分析】相似三角形的周长比等于相似比，据此求解.
5．（2023·大渡口模拟）如图，，在边上取点P，使得与相似，则满足条件的点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：，
若与相似，可分两种情况：
①若，
则，
；
解得.
②若，
则，
，
解得或6.
则满足条件的长为2.8或1或6.
故答案为：C.
【分析】分△APD∽△BPC，△APD∽△BCP，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
6．（2023九上·三明模拟）如图，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴或（不符合题意，舍去）
∵，
∴.
故答案为：B.
【分析】由已知条件可得S△ABC：S△ADE=1：4，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
二、填空题
7．（2023·成都）如图，在中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点；③以点为圆心，以MN长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交BC于点E. 若与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为 .
【答案】
【知识点】平行线的判定；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由作法可得：∠MAN=∠M'DN'，
∴DE//AC，
∵与四边形ACED的面积比为4：21，
∴与△BAC的面积比为4：25，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据作法求出∠MAN=∠M'DN'，再求出与△BAC的面积比为4：25，最后求解即可。
8．如图，中，，点在上，且，点在上，连接．若，则 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△AEF∽△ACB，
∴，
∴，
∴AF=.
故答案为：.
【分析】直接根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
9．（2023九上·新邵期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周长为12cm，则△A′B′C′的周长为 .
【答案】16cm
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且，即相似三角形的相似比为，
∵△ABC的周长为12cm
∴△A′B′C′的周长为12÷=16cm.
故答案为：16cm.
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比进行计算.
10．（2023九上·慈溪期末）如图，正方形的边长为6，点F为的中点，点E在上，且，在边上找一点P，使以E，D，P为顶点的三角形与相似，则的长为 .
【答案】6或
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：依题意， ，
若 ，则 ，即 ，解得： ；
若 ，则 ，即 ，解得： ，
故答案为：6或 .
【分析】由题意可得AE=2，DE=4，AF=3，然后分△AEF∽△DEP、△AEF∽△DPE，结合相似三角形的对应边成比例进行计算.
11．（2023九上·温州期末）如图，点在等边三角形的边上，连接，线段的垂直平分线分别交边，于点，当时，的值为 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；相似三角形的性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：如图，连接DE、DF，设BE＝x，BD＝2a，
∵2CD＝3BD，
∴CD＝BD＝3a，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝5a，∠B＝∠C＝∠EAF＝60°，
∵EF垂直平分AD，
∴DE＝AE＝5a x，FD＝AF，
∵EF＝EF，
∴△DEF≌△AEF（SSS），
∴∠EDF＝∠EAF＝60°，
∴∠BED＝180° ∠B ∠BDE＝120° ∠BDE，∠CDF＝180° ∠EDF ∠BDE＝120° ∠BDE，
∴∠BED＝∠CDF，
∴△BED∽△CDF，
∴
∴
∴FD＝AF＝
∴解得，
∴.
故答案为：.
【分析】连接DE、DF，设BE＝x，BD＝2a，则CD＝3a，所以AB＝AC＝BC＝5a，由线段垂直平分线的性质得DE＝AE＝5a x，FD＝AF，再证明△DEF≌△AEF，则∠EDF＝∠EAF＝60°，即可证明△BED∽△CDF，根据相似三角形的对应边成比例求出用含a的代数式表示x的式子，再求出用含a的代数式表示AE、AF的式子，即可求出AEAF的值．
12．（2022九上·杨浦期中）如图，已知四边形中，平分，，，如果与相似，那么 ．
【答案】6
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABD∽△DBC，
∴，
∴BD2=AB·BC=4×9=36，
∴BD=6.
故答案为：6.
【分析】根据相似三角形的性质得出，代入数值进行计算，即可得出答案.
三、解答题
13．（2023九上·礼泉期末）如图所示，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，△ADE∽△ABC，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，求四边形DBCE的面积.
【答案】解：∵△ADE和△ABC的相似比是1：2，
又∵△ADE的面积是1，
∴S四边形
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，利用△ADE的面积，可求出△ABC的面积，再利用四边形DBCE的面积等于△ABC的面积减去△ADE的面积，代入计算可求出结果.
14．（2022九上·路南期中）如图，分别是、上的点，，，，，，求的长和的度数．
【答案】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】利用相似三角形的性质计算求解即可。
15．（2022九上·温州期中）如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，，，，，，求的长.
【答案】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴.
即的长度为5.
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】根据相似三角形对应边成比例得 ，代入数值计算即可得出DF的长，再根据矩形的对边相等得DC的长，最后根据FC=DC-DF即可算出答案.
16．（2021九上·济阳期中）如图，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．
【答案】解：设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似，则有，，，
当时，，
即，
解得秒；
当时，，
即，
解得秒．
∴经过2.5秒或1秒时，△PBQ与△ABC相似．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】分两种情况：①当时，，②当时，，再将数据代入求解即可。
17．（2020九上·澧县期中）如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以4cm/s的速度移动.如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟△PBQ与△ABC相似？
【答案】解：设在开始运动后第x秒，△BPQ与△BAC相似，
由题意得：AP＝2xcm，PB＝（8﹣2x）cm，BQ＝4x，
分两种情况考虑：
当∠BPQ＝∠C，∠B＝∠B时，△PBQ∽△CBA，
∴ ，
即
解得：x＝0.8，
当x＝0.8秒时，△BPQ与△BAC相似；
当∠BPQ＝∠A，∠B＝∠B时，△BPQ∽△BAC，
∴ ，即 ，
解得：x＝2，
当x＝2秒时，△BPQ与△BAC相似.
综上，当x＝0.8秒或2秒时，△BPQ与△BAC相似.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】设在开始运动后第x秒，△BPQ与△BAC相似，由题意得：AP＝2xcm，PB＝(8-2x)cm，BQ＝4x，然后分①∠BPQ＝∠C，∠B＝∠B时，△PBQ∽△CBA；②∠BPQ＝∠A，∠B＝∠B时，△BPQ∽△BAC，利用相似三角形对应边成比例就可求出x的值.
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