北师大版数学九年级上册同步练习—— 第四章 《图形的相似》8.图形的位似（1）
一、选择题
1．（2023·张家口模拟）如图，在正方形网格中，与位似，则下列说法正确的是（ ）
A．位似中心是点 B．位似中心是点
C．位似比为 D．位似比为
2．（2023·锦江模拟）如图，在方格纸上，以点O为位似中心，把线段缩小到原来的，则点A的对应点为（ ）
A．点D或点G B．点E或点F C．点D或点F D．点E或点G
3．（2023·高明模拟）如图，与位似，位似中心为点.若的周长与的周长比为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九下·江津期中）如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为1，则的面积是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．16
5．（2023·青海模拟）每年秋季开学，学校组织同学们进行视力测试，如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“”之间的变换是（ ）
A．平移 B．对称 C．位似 D．旋转
6．（2023·昭通模拟）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
7．（2023·泉州模拟）如图，以点O为位似中心，将放大后得到，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·呈贡模拟）如图，与位似，点为位似中心，相似比为2：3．若的周长为4，则的周长是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．16
二、填空题
9．（2023·长春）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为 ．
10．（2023·扶风模拟）如图所示△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，已知点C'是OC的三等分点，则△A'B'C'与△ABC的面积之比为 ．
11．（2022九上·黄埔期末）如图，以点О为位似中心，将缩小得到，若，的周长为2，则的周长为 ．
12．（2022·成都模拟）如图，以点O为位似中心，将ΔOAB放大后得到ΔOCD，若OA=2，，则AC= .
三、解答题
13．（2022九上·农安期中）如图，作出与四边形的相似的新四边形，使新图形与原图形的相似比为2：1．
14．（2022·凤县模拟）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是AC边上一定点.请用尺规作图法在BC上求作一点P，使得△ABC∽△PCD.（保留作图痕迹，不写作法）
15．（2019·中山模拟）如图，每个正方形都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC与△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）请在方格中确定位似中心O的位置，并以O为坐标原点，以网格线所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系．
（2）△ABC与△A1B1C1的位似比 ．
（3）在图中作出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2．
16．（2018九上·义乌期中）如图（1），格点△ABC（顶点在小正方形的顶点处的三角形称为格点三角形） ，请在图（2）、（3）、（4）中的6×6的网格中各画一个互不全等的格点三角形，使它们都和△ABC相似。要求：①其中有一个相似比为 ；②其中有一个面积为5.
17．（2023九下·丹徒月考）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上.
（1）在图①中， .
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法.
①如图②，在上找一点P，使.
②如图③，在上找一点P，使.
18．（2023·瓯海模拟）如图，在8×8的正方形网格中，已知的顶点都在格点上，请在所给网格中按要求画出图形.
（1）在图1中，将绕着点C顺时针方向旋转得到（点A，B的对应点分别为，），并画出.
（2）在图2中，以点C为位似中心，作的位似图形，并使边长放大到原来的2倍，请画出的位似图形.
19．（2021九上·吉林期末）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，，，在点A，E处分别装上画笔．
画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．
原理：
连接，，可证得以下结论：
①和为等腰三角形，则，（180°-∠ ▲ ）；
②四边形为平行四边形（理由是 ▲ ）；
③，于是可得O，A，E三点在一条直线上；
④当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的 ▲ 倍得到的．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】
如下图所示，作出与的位似中心为H，位似比为4：2=2：1，
∴选项ABD都不符合题意，选项C符合题意，
故答案为：C。
【分析】此题考察位似图形的基础知识，难度很低。
2．【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：作射线AO，
，
射线AO经过点D和点G，且，，
∴点A的对应点为点D或点G，
故答案为：A.
【分析】作射线AO，根据位似中心的概念、线段的位似比解答即可.
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，∴△ABC∽△DEF，AB：DE=OA：DO，△ABC的周长与△DEF的周长比为，∴AB：DE=4：9，∴AO：DO=4：9.
故选：D.
【分析】由位似的性质可得△ABC∽△DEF，AB：DE=OA：DO，然后根据相似三角形的性质可求解.
4．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵与位似，
∴与相似，
∵，
∴，
又∵的面积为1，
∴.
故答案为：C.
【分析】由题意可得△ABC∽△DEF，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行计算.
5．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：、平移的特点是不改变大小，故平移不符合题意；
、对称的特点是不改变大小，故对称不符合题意；
、位似的特点是根据位似比进行缩小或放大，故位似符合题意；
、旋转的特点是不改变大小，故旋转不符合题意；
故答案为：．
【分析】根据平移，对称，位似和旋转的特点，结合题意，判断求解即可。
6．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵以点O为位似中心，作四边形的位似图形，，
∴，
则四边形面积为18．
故答案为：D．
【分析】根据位似，及面积比与相似比的关系求解即可。
7．【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：由已知得：，，
∴，
故答案为：A.
【分析】由题意可得△OAB∽△OCD，OC=OA+AC=7，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
8．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】设的周长是x，
∵与位似，相似比为，的周长为4，
∴4：x=2：3，
解得：x=6，
故答案为：B．
【分析】设的周长是x，利用相似三角形的性质可得4：x=2：3，再求出x的值即可。
9．【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，，
∴，
∴和的周长之比为，
故答案为：
【分析】先根据题意得到，进而根据位似图形的性质即可求解。
10．【答案】1：9
【知识点】相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵点C′是OC的三等分点，
∴
∴△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△A'B'C′， A'C ||AC，
∴△AOC∽△A′OC′，
∴，
∴.
故答案为：1：9
【分析】利用点C′是OC的三等分点，可求出OC′与OC的比值，再利用位似图形的性质，可得到△ABC∽△A'B'C′， A'C′ ||AC，由此可得到△AOC∽△A′OC′，利用相似三角形的性质可求出A′C′与AC的比值，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出结果.
11．【答案】6
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解： 由题意可知，
∵，
∴，
∴，
∵的周长为2，
∴的周长为6．
故答案为：6．
【分析】根据位似图象的性质可得，再结合的周长为2，可得的周长为6。
12．【答案】3
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，
∴△OAB∽△OCD，
∴，
解得：AC=3，
故答案为：3.
【分析】根据位似图形的性质可得△OAB∽△OCD，利用相似三角形的对应边成比例即可求解.
13．【答案】解：如图，四边形EFGH即为所求，
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【分析】根据位似图形的性质作出图象即可。
14．【答案】解：∵△ABC∽△PCD，
∴ ，
∴△PCD是以P为顶点的等腰三角形，及P在线段CD的中垂线上，
如图，点P即为所求.
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【分析】根据相似三角形的性质可得△PCD是以P为顶点的等腰三角形，且P在线段CD的中垂线上，作线段CD的垂直平分线，与BC的交点即为点P.
15．【答案】（1）解：如图所示，点O即为所求；
（2）△ABC与△A1B1C1的位似比＝ ＝2：1， 故答案为：2：1
（3）如图所示，△A2B2C2即为所求
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）分别连接BB1、CC1，并延长交于点O，即为位似中心,然后建立平面直角坐标系即可.
（2）由于OA=12，OA'=6,从而求出位似比.
（3）分别找出点A、B、C关于原点对称点A2、B2、C2，然后顺次连接即可.
16．【答案】解：如图所示：
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【分析】利用相似三角形的性质和格点四边形的定义分析即可得出答案.
17．【答案】（1）
（2）解：①在网格图②中，，
如图2所示，连接CD，交AB于点P，
∵，
∴△PBC∽△PAD，
∴，
解得：，
∴点P即为所要找的点；
②如图3所示，作点A的对称点A'，
连接A'C，交BD于点P，
∵，
∴△A'PB∽△CPD，
∵△ABP≌△A'BP，
∴△APB∽△CPD，
∴点P即为所要找的点.
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：（1）解：图1中，
∵，
∴△PCD∽△PBA，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△PCD∽△PBA，由相似三角形对应边成比例即可得出结论；
（2）①连接点A右边三个单位长度处的格点D与B点左边两个单位长度处的格点C，CD与AB的交点就是所求的点P，理由如下：首先利用网格纸的特点及勾股定理算出AB的长，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△PBC∽△PAD，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AP=3；
②作点A的对称点A'，连接A'C，交BD于点P，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△A'PB∽△CPD，格努轴对称的性质得△ABP≌△A'BP，从而得出△APB∽△CPD，故点P即为所要找的点.
18．【答案】（1）解：如图1所示，即为所求作，
（2）解：△CA'B'或△CA2B2就是所求的三角形.
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点，将点A、B绕着点C顺时针方向旋转90°得到其对应点A1、B1，再连接A1B1、A1C、B1C即可；
（2）延长CA至点A'，使CA'=2AC，延长CB至点B'，使CB'=2BC，再连接A'B'，△A'B'C就是所求的三角形；或延长AC至点A2，使CA2=2AC，延长BC至点B2，使CB2=2BC，再连接A2B2，△A2B2C就是所求的三角形.
19．【答案】解：连接，，如图，
①∵，
∴
∴△OAD和△OEC是等腰三角形，
∴∠，∠
∴∠，∠
②∵，
∴四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
③∵
∴，，三点在一条直线上；
④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，
∴其倍数比为三角形的边长比即：，
又，且
∴
即：当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的倍得到的．
故答案为：；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
【知识点】平行四边形的性质；位似变换
【解析】【分析】 ①由等腰三角形的性质即可求解；②平行四边形的判定即可求解；③ 由图形即可直接得出答案；④ 根据图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，求解即可。
1 / 1北师大版数学九年级上册同步练习—— 第四章 《图形的相似》8.图形的位似（1）
一、选择题
1．（2023·张家口模拟）如图，在正方形网格中，与位似，则下列说法正确的是（ ）
A．位似中心是点 B．位似中心是点
C．位似比为 D．位似比为
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】
如下图所示，作出与的位似中心为H，位似比为4：2=2：1，
∴选项ABD都不符合题意，选项C符合题意，
故答案为：C。
【分析】此题考察位似图形的基础知识，难度很低。
2．（2023·锦江模拟）如图，在方格纸上，以点O为位似中心，把线段缩小到原来的，则点A的对应点为（ ）
A．点D或点G B．点E或点F C．点D或点F D．点E或点G
【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：作射线AO，
，
射线AO经过点D和点G，且，，
∴点A的对应点为点D或点G，
故答案为：A.
【分析】作射线AO，根据位似中心的概念、线段的位似比解答即可.
3．（2023·高明模拟）如图，与位似，位似中心为点.若的周长与的周长比为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，∴△ABC∽△DEF，AB：DE=OA：DO，△ABC的周长与△DEF的周长比为，∴AB：DE=4：9，∴AO：DO=4：9.
故选：D.
【分析】由位似的性质可得△ABC∽△DEF，AB：DE=OA：DO，然后根据相似三角形的性质可求解.
4．（2023九下·江津期中）如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为1，则的面积是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．16
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵与位似，
∴与相似，
∵，
∴，
又∵的面积为1，
∴.
故答案为：C.
【分析】由题意可得△ABC∽△DEF，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行计算.
5．（2023·青海模拟）每年秋季开学，学校组织同学们进行视力测试，如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“”之间的变换是（ ）
A．平移 B．对称 C．位似 D．旋转
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：、平移的特点是不改变大小，故平移不符合题意；
、对称的特点是不改变大小，故对称不符合题意；
、位似的特点是根据位似比进行缩小或放大，故位似符合题意；
、旋转的特点是不改变大小，故旋转不符合题意；
故答案为：．
【分析】根据平移，对称，位似和旋转的特点，结合题意，判断求解即可。
6．（2023·昭通模拟）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵以点O为位似中心，作四边形的位似图形，，
∴，
则四边形面积为18．
故答案为：D．
【分析】根据位似，及面积比与相似比的关系求解即可。
7．（2023·泉州模拟）如图，以点O为位似中心，将放大后得到，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：由已知得：，，
∴，
故答案为：A.
【分析】由题意可得△OAB∽△OCD，OC=OA+AC=7，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
8．（2023·呈贡模拟）如图，与位似，点为位似中心，相似比为2：3．若的周长为4，则的周长是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．16
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】设的周长是x，
∵与位似，相似比为，的周长为4，
∴4：x=2：3，
解得：x=6，
故答案为：B．
【分析】设的周长是x，利用相似三角形的性质可得4：x=2：3，再求出x的值即可。
二、填空题
9．（2023·长春）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为 ．
【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，，
∴，
∴和的周长之比为，
故答案为：
【分析】先根据题意得到，进而根据位似图形的性质即可求解。
10．（2023·扶风模拟）如图所示△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，已知点C'是OC的三等分点，则△A'B'C'与△ABC的面积之比为 ．
【答案】1：9
【知识点】相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵点C′是OC的三等分点，
∴
∴△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△A'B'C′， A'C ||AC，
∴△AOC∽△A′OC′，
∴，
∴.
故答案为：1：9
【分析】利用点C′是OC的三等分点，可求出OC′与OC的比值，再利用位似图形的性质，可得到△ABC∽△A'B'C′， A'C′ ||AC，由此可得到△AOC∽△A′OC′，利用相似三角形的性质可求出A′C′与AC的比值，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出结果.
11．（2022九上·黄埔期末）如图，以点О为位似中心，将缩小得到，若，的周长为2，则的周长为 ．
【答案】6
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解： 由题意可知，
∵，
∴，
∴，
∵的周长为2，
∴的周长为6．
故答案为：6．
【分析】根据位似图象的性质可得，再结合的周长为2，可得的周长为6。
12．（2022·成都模拟）如图，以点O为位似中心，将ΔOAB放大后得到ΔOCD，若OA=2，，则AC= .
【答案】3
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，
∴△OAB∽△OCD，
∴，
解得：AC=3，
故答案为：3.
【分析】根据位似图形的性质可得△OAB∽△OCD，利用相似三角形的对应边成比例即可求解.
三、解答题
13．（2022九上·农安期中）如图，作出与四边形的相似的新四边形，使新图形与原图形的相似比为2：1．
【答案】解：如图，四边形EFGH即为所求，
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【分析】根据位似图形的性质作出图象即可。
14．（2022·凤县模拟）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是AC边上一定点.请用尺规作图法在BC上求作一点P，使得△ABC∽△PCD.（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：∵△ABC∽△PCD，
∴ ，
∴△PCD是以P为顶点的等腰三角形，及P在线段CD的中垂线上，
如图，点P即为所求.
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【分析】根据相似三角形的性质可得△PCD是以P为顶点的等腰三角形，且P在线段CD的中垂线上，作线段CD的垂直平分线，与BC的交点即为点P.
15．（2019·中山模拟）如图，每个正方形都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC与△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）请在方格中确定位似中心O的位置，并以O为坐标原点，以网格线所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系．
（2）△ABC与△A1B1C1的位似比 ．
（3）在图中作出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2．
【答案】（1）解：如图所示，点O即为所求；
（2）△ABC与△A1B1C1的位似比＝ ＝2：1， 故答案为：2：1
（3）如图所示，△A2B2C2即为所求
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）分别连接BB1、CC1，并延长交于点O，即为位似中心,然后建立平面直角坐标系即可.
（2）由于OA=12，OA'=6,从而求出位似比.
（3）分别找出点A、B、C关于原点对称点A2、B2、C2，然后顺次连接即可.
16．（2018九上·义乌期中）如图（1），格点△ABC（顶点在小正方形的顶点处的三角形称为格点三角形） ，请在图（2）、（3）、（4）中的6×6的网格中各画一个互不全等的格点三角形，使它们都和△ABC相似。要求：①其中有一个相似比为 ；②其中有一个面积为5.
【答案】解：如图所示：
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【分析】利用相似三角形的性质和格点四边形的定义分析即可得出答案.
17．（2023九下·丹徒月考）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上.
（1）在图①中， .
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法.
①如图②，在上找一点P，使.
②如图③，在上找一点P，使.
【答案】（1）
（2）解：①在网格图②中，，
如图2所示，连接CD，交AB于点P，
∵，
∴△PBC∽△PAD，
∴，
解得：，
∴点P即为所要找的点；
②如图3所示，作点A的对称点A'，
连接A'C，交BD于点P，
∵，
∴△A'PB∽△CPD，
∵△ABP≌△A'BP，
∴△APB∽△CPD，
∴点P即为所要找的点.
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：（1）解：图1中，
∵，
∴△PCD∽△PBA，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△PCD∽△PBA，由相似三角形对应边成比例即可得出结论；
（2）①连接点A右边三个单位长度处的格点D与B点左边两个单位长度处的格点C，CD与AB的交点就是所求的点P，理由如下：首先利用网格纸的特点及勾股定理算出AB的长，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△PBC∽△PAD，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AP=3；
②作点A的对称点A'，连接A'C，交BD于点P，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△A'PB∽△CPD，格努轴对称的性质得△ABP≌△A'BP，从而得出△APB∽△CPD，故点P即为所要找的点.
18．（2023·瓯海模拟）如图，在8×8的正方形网格中，已知的顶点都在格点上，请在所给网格中按要求画出图形.
（1）在图1中，将绕着点C顺时针方向旋转得到（点A，B的对应点分别为，），并画出.
（2）在图2中，以点C为位似中心，作的位似图形，并使边长放大到原来的2倍，请画出的位似图形.
【答案】（1）解：如图1所示，即为所求作，
（2）解：△CA'B'或△CA2B2就是所求的三角形.
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点，将点A、B绕着点C顺时针方向旋转90°得到其对应点A1、B1，再连接A1B1、A1C、B1C即可；
（2）延长CA至点A'，使CA'=2AC，延长CB至点B'，使CB'=2BC，再连接A'B'，△A'B'C就是所求的三角形；或延长AC至点A2，使CA2=2AC，延长BC至点B2，使CB2=2BC，再连接A2B2，△A2B2C就是所求的三角形.
19．（2021九上·吉林期末）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，，，在点A，E处分别装上画笔．
画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．
原理：
连接，，可证得以下结论：
①和为等腰三角形，则，（180°-∠ ▲ ）；
②四边形为平行四边形（理由是 ▲ ）；
③，于是可得O，A，E三点在一条直线上；
④当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的 ▲ 倍得到的．
【答案】解：连接，，如图，
①∵，
∴
∴△OAD和△OEC是等腰三角形，
∴∠，∠
∴∠，∠
②∵，
∴四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
③∵
∴，，三点在一条直线上；
④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，
∴其倍数比为三角形的边长比即：，
又，且
∴
即：当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的倍得到的．
故答案为：；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
【知识点】平行四边形的性质；位似变换
【解析】【分析】 ①由等腰三角形的性质即可求解；②平行四边形的判定即可求解；③ 由图形即可直接得出答案；④ 根据图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，求解即可。
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