北师大版数学九年级上册同步练习——第四章《图形的相似》综合练习（A）
一、选择题
1．（2023·武威）若，则（ ）
A．6 B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解： ∵，
∴ab=2×3=6；
故答案为：A.
【分析】利用比例的性质，两内项之积等于两外项之积，据此解答即可.
2．（2023·重庆）若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形周长的比为，
∴两个三角形对应边的比，
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的性质即可求解。
3．（2022·宁夏）如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（ ）
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似
【答案】D
【知识点】轴对称的性质；平移的性质；位似变换；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据位似的定义可知：三角尺与影子之间属于位似．
故答案为：D．
【分析】在手电筒光线的照射下，三角尺的影子与原三角形相比形状不变，但变大了；由于旋转、轴对称及平移都不会改变图形的大小及形状，据此即可得出答案.
4．（2023·重庆）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（ ）
A．4 B．9 C．12 D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵的长度为6，
∴DE=9，
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的性质即可求解。
5．（2022·兰州）已知 ， ，若 ，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，即 ，
解得 ．
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例可得，代入求解可得EF的值.
6．（2022·百色）已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（ ）
A．1 ：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，
∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9.
故答案为：C.
【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方进行解答.
7．（2020·营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且 ＝ ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE//AB，
∴
∴ 的值为 .
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答.
8．（2020·天水）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆 测量建筑物的高度，已知标杆 高 ，测得 ， ，则建筑物 的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴AC=1.2m+12.8m=14m
∵标杆 和建筑物CD均垂直于地面
∴BE//CD
∴△ABE∽△ACD
∴ ，即 ，解得CD=17.5m.
故答案为：A.
【分析】先求得AC，再说明△ABE∽△ACD，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可.
9．（2023·东营）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠BDA=∠CAD+∠C=∠EDB+∠EDA，
∴∠CAD=∠EDB，
∴△BED∽△CDA，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据等边三角形的性质即可得到∠B=∠C=60°，进而结合题意即可得到∠CAD=∠EDB，再根据相似三角形的判定与性质证明△BED∽△CDA即可得到，再结合题意代入数值即可求解。
10．（2023·潜江）如图，在中，，点在边上，且平分的周长，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∴△ABC的周长为3+4+5=12.
∵BD平分△ABC的周长，
∴AB+AD=BC+CD=6，
∴AD=3，CD=2.
作DE⊥BC于点E，
∴AB∥DE，
∴△CDE∽△CAB，
∴，
∴，
∴DE=，CE=，
∴BE=，
∴BD==.
故答案为：C.
【分析】由勾股定理可得AC=5，则△ABC的周长为3+4+5=12，根据BD平分△ABC的周长可得AB+AD=BC+CD=6，据此可得AD、CD的值，作DE⊥BC于点E，则AB∥DE，根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得△CDE∽△CAB，利用相似三角形的性质可得DE、CE，然后求出BE，再利用勾股定理计算即可.
11．（2023·陕西）如图，是的中位线，点在上，连接并延长，与的延长线相交于点若，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：， 是的中位线，
，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质和中位线的性质，通过线段之比求线段长度.
12．（2023·威海）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：由折叠得AD=DH，GC=CB，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CB=DA=1，
∴DH=GC=1，
设DC=a，则GH=2-a，
∵矩形与原矩形相似，
∴，
∵四边形为矩形，
∴EH=1，
∴解得a=，
∴的长为，
故答案为：C
【分析】先根据折叠即可得到AD=DH，GC=CB，再根据矩形的性质即可得到CB=DA=1，EH=1，进而得到DH=GC=1，设DC=a，则GH=2-a，根据相似多边形的性质结合题意即可求出a，进而即可求解。
二、填空题
13．（2020·吉林）如图， ．若 ， ，则 ．
【答案】10
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：10．
【分析】根据平行线分线段成比例得到 ，由条件即可算出DF的值．
14．（2023·本溪）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：由题意可得，∵四边形OA'B'C'∽四边形OABC，S四边形OA'B'C'：S四边形OABC=4：1，
∴位似比为2：1.
∵点B'和点B是一对对应点，且点B'在第一象限，
∴xB'=xB×2=2×2=4，yB'=yB×2=3×2=6
故本题答案为：（4，6）.
【分析】根据图形位似的性质，四边形的面积比是位似比的平方，因此两个四边形的面积比为4：1，则其位似比为2：1.再根据点B的坐标，可求出其对应点B'的坐标.
15．（2023·长春）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为 ．
【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，，
∴，
∴和的周长之比为，
故答案为：
【分析】先根据题意得到，进而根据位似图形的性质即可求解。
16．（2023·包头）如图，在Rt中，，将绕点逆时针方向旋转，得到.连接，交AC于点，则的值为 .
【答案】5
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，作DE⊥AB于点E，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=1，
∴，
∵△ABC绕点A逆时针方向旋转90°，
∴，∠BAB'=90°，
∴∠ABB'=45°，
∵DE⊥AB，∠DEB=45°，
∴△DFB是等腰直角三角形，
∴DE=BE，
∵∠EAD=∠CAB，∠DEA=∠BCA=90°，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴AE=3DE=3BE，
∴AB=4DE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：5.
【分析】作DE⊥AB于点E，利用旋转的性质得出△DEB是等腰直角三角形，再证明△ADE∽△ABC，进而得出AE=3DE，AB=4DE，求出DE的长，结合勾股定理得出AD，从而得到.
17．（2023·山西）如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，分别延长BC、AD交于一点H，过点A作AH⊥BC，
∵AB=AC=5，BC=6
∴BH=CH=3，
∴AH===4，
∵∠ADB=∠E+∠CBD=2∠CBD，
∴∠E=∠CBD，
∴BD=DE，
∵∠BCD=90°，BC=6，
∴CE=BC=6，
∴EH=CE+CH=6+3=9，
∴AE==，
∵AH⊥BC，∠BCD=90°，
∴CD∥AH，
∴，
∴AD=AE= ；
故答案为：.
【分析】分别延长BC、AD交于一点H，过点A作AH⊥BC，由等腰三角形的性质可得BH=CH=3，由勾股定理求出AH=4，利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可推出CE=BC=6，EH=9，根据勾股定理再求AE=，利用平行线分线段成比例可得，即得AD=AE，据此即得结论.
18．（2023·武汉）如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=∠A=60°，
∵ 折叠△BDE得到△FDE，
∴△BDE≌△FDE，
∴S△BDE=S△FDE，∠F=∠B=60°，
∵DE平分△ABC的面积，
∴S△FGH=S△ADG+S△EHC，
∵∠AGD=∠FGH，∠CHE=∠FHG，
∴△ADG∽△CHE∽△FGH，
∴，
∴，
∴GH2=m2+n2，
∴.
故答案为：
【分析】利用等边三角形的性质可证得∠B=∠C=∠A=60°，利用折叠的性质可推出S△BDE=S△FDE，∠F=∠B=60°；再利用DE平分△ABC的面积，可推出S△FGH=S△ADG+S△EHC，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ADG∽△CHE∽△FGH，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可推出GH2=m2+n2，然后求出GH的长.
三、解答题
19．（2022·盐城）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若 ▲ ，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．
【答案】解：若选①；
证明：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴．
选择②；，不能证明．
若选③；，
证明：∵，
∴，∴，
又∵，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】若选择①，根据相似三角形的性质可得∠ADC=∠A′D′C′，，结合邻补角的性质可得∠ADB=∠A′D′B′，根据条件①得，则，然后结合相似三角形的判定定理进行证明；若选择③，根据相似三角形的性质得∠ADC=∠A′D′C′，结合邻补角的性质得∠ADB=∠A′D′B′，然后结合条件③即可证明.
20．（2022·菏泽）如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：．
【答案】证明：∵
∴∠C=∠BEC，
∵∠BEC=∠AED，
∴∠AED=∠C，
∵AD⊥BD，
∴∠D=90°，
∵，
∴∠D=∠ABC，
∴．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先求出 ∠C=∠BEC， 再求出 ∠D=∠ABC， 最后证明求解即可。
21．（2020·凉山州）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
【答案】解：设正方形的边长为x mm，
则AI＝AD﹣x＝80﹣x，
∵EFHG是正方形，
∴EF∥GH，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ，
即 ，
解得x＝48 mm，
∴这个正方形零件的边长是48mm．
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
22．（2023·潜江）如图，将边长为3的正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上（点不与点重合），点落在点处，与交于点，折痕分别与边，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：由翻折和正方形的性质可得，．
∴．
∴，即，
∵四边形是正方形，
∴．
∴．
∴．
（2）解：如图，延长交于点．
∵，
∴．
又∵，正方形边长为3，
∴
∴，
∴，，
设，则，
∴．
∵，即，
∴．
∴．
在中，，
∴．
解得：（舍），．
∴．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由翻折和正方形的性质可得∠EMP=∠EBC=90°，EM=EB，则∠EMB=∠EBM，结合等角的余角相等可得∠BMP=∠MBC，根据正方形以及平行线的性质可得∠AMB=∠MBC，据此证明；
（2）延长MN、BC交于点Q，根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得△DMP∽△CQP，由相似三角形的性质可得QC=2MD，QP=2MP，设MD=x，则QC=2x，BQ=3+2x，易得MQ=BQ=3+2x，则MP=MQ=，然后在Rt△DMP中，利用勾股定理计算即可.
23．（2023·邵阳）如图，，点是线段上的一点，且．已知．
（1）证明：．
（2）求线段的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
【知识点】垂线；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据垂线的定义即可得到，，进而得到，再根据相似三角形的判定即可求解；
（2）根据相似三角形的性质即可得到，进而代入数值即可求解。
24．（2019·巴中）△ABC在边长为l的正方形网格中如图所示．
①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1：2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．
②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．
③在②的条件下求出点B经过的路径长．
【答案】解：①如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；
②如图，△A2B2C为所作；
③ ，
点B经过的路径长
【知识点】作图﹣位似变换；旋转的性质
【解析】【分析】 ①、延长AC到A1，使得A1C=2AC，延长BC到B1，使得B1C=2BC，Z则作出图形，从而可表示出A得坐标
②、利用网格特点和旋转的性质画出A、B对应的A2、B2从而得到图形
③、先计算出OB的长度，然后根据弧长公式计算出B经过得路径长
25．（2022·自贡）如图，用四根木条钉成矩形框 ，把边 固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）.
（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段 由 旋转得到，所以 .我们还可以得到 = ， = ；
（2）进一步观察，我们还会发现 ∥ ，请证明这一结论；
（3）已知 ，若 恰好经过原矩形 边的中点 ，求 与 之间的距离.
【答案】（1）CD；AD
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，
∴BE＝CF，EF＝BC，
∴四边形BEFC是平行四边形，
∴EF∥BC，
∴EF∥AD.
（3）解：过点E作EG⊥BC于点G，
∵DC＝AB＝BE＝80，点H是CD的中点，
∴ CH＝DH＝40，
在Rt△BHC中，∠BCH＝90°，
∴；
∵CH∥EG，
∴△BHC∽△BGE，
∴即
解之：EG=64.
答：EF与BC之间的距离为64cm.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵矩形ABCD的边BC固定，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变，
∴矩形ABCD的各边的长度没有改变，
∴DC=AB=FC=EB，AD=BC=EF.
故答案为：CD，AD.
【分析】（1）利用矩形的性质及旋转的性质可知矩形ABCD的各边的长度没有改变，由此可证得FC=CD，EF=AD.
（2）利用矩形的性质可证得AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，再根据AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，可推出BE=CF，EF=BC，利用有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可得到四边形BEFC是平行四边形，利用平行四边形的对边平行，可证得结论.
（3）过点E作EG⊥BC于点G，利用线段中点的定义可求出CH的长，利用勾股定理求出BH的长；由CH∥EG，可得到△BHC∽△BGE，利用相似三角形的对应边成比例，可求出EG的长.
1 / 1北师大版数学九年级上册同步练习——第四章《图形的相似》综合练习（A）
一、选择题
1．（2023·武威）若，则（ ）
A．6 B． C．1 D．
2．（2023·重庆）若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·宁夏）如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（ ）
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似
4．（2023·重庆）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（ ）
A．4 B．9 C．12 D．
5．（2022·兰州）已知 ， ，若 ，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
6．（2022·百色）已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（ ）
A．1 ：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1
7．（2020·营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且 ＝ ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·天水）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆 测量建筑物的高度，已知标杆 高 ，测得 ， ，则建筑物 的高是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·东营）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·潜江）如图，在中，，点在边上，且平分的周长，则的长是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·陕西）如图，是的中位线，点在上，连接并延长，与的延长线相交于点若，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·威海）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2020·吉林）如图， ．若 ， ，则 ．
14．（2023·本溪）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为 ．
15．（2023·长春）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为 ．
16．（2023·包头）如图，在Rt中，，将绕点逆时针方向旋转，得到.连接，交AC于点，则的值为 .
17．（2023·山西）如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为 ．
18．（2023·武汉）如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是 ．
三、解答题
19．（2022·盐城）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若 ▲ ，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．
20．（2022·菏泽）如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：．
21．（2020·凉山州）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
22．（2023·潜江）如图，将边长为3的正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上（点不与点重合），点落在点处，与交于点，折痕分别与边，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
23．（2023·邵阳）如图，，点是线段上的一点，且．已知．
（1）证明：．
（2）求线段的长．
24．（2019·巴中）△ABC在边长为l的正方形网格中如图所示．
①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1：2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．
②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．
③在②的条件下求出点B经过的路径长．
25．（2022·自贡）如图，用四根木条钉成矩形框 ，把边 固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）.
（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段 由 旋转得到，所以 .我们还可以得到 = ， = ；
（2）进一步观察，我们还会发现 ∥ ，请证明这一结论；
（3）已知 ，若 恰好经过原矩形 边的中点 ，求 与 之间的距离.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解： ∵，
∴ab=2×3=6；
故答案为：A.
【分析】利用比例的性质，两内项之积等于两外项之积，据此解答即可.
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形周长的比为，
∴两个三角形对应边的比，
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的性质即可求解。
3．【答案】D
【知识点】轴对称的性质；平移的性质；位似变换；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据位似的定义可知：三角尺与影子之间属于位似．
故答案为：D．
【分析】在手电筒光线的照射下，三角尺的影子与原三角形相比形状不变，但变大了；由于旋转、轴对称及平移都不会改变图形的大小及形状，据此即可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵的长度为6，
∴DE=9，
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的性质即可求解。
5．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，即 ，
解得 ．
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例可得，代入求解可得EF的值.
6．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，
∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9.
故答案为：C.
【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方进行解答.
7．【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE//AB，
∴
∴ 的值为 .
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答.
8．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴AC=1.2m+12.8m=14m
∵标杆 和建筑物CD均垂直于地面
∴BE//CD
∴△ABE∽△ACD
∴ ，即 ，解得CD=17.5m.
故答案为：A.
【分析】先求得AC，再说明△ABE∽△ACD，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可.
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠BDA=∠CAD+∠C=∠EDB+∠EDA，
∴∠CAD=∠EDB，
∴△BED∽△CDA，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据等边三角形的性质即可得到∠B=∠C=60°，进而结合题意即可得到∠CAD=∠EDB，再根据相似三角形的判定与性质证明△BED∽△CDA即可得到，再结合题意代入数值即可求解。
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∴△ABC的周长为3+4+5=12.
∵BD平分△ABC的周长，
∴AB+AD=BC+CD=6，
∴AD=3，CD=2.
作DE⊥BC于点E，
∴AB∥DE，
∴△CDE∽△CAB，
∴，
∴，
∴DE=，CE=，
∴BE=，
∴BD==.
故答案为：C.
【分析】由勾股定理可得AC=5，则△ABC的周长为3+4+5=12，根据BD平分△ABC的周长可得AB+AD=BC+CD=6，据此可得AD、CD的值，作DE⊥BC于点E，则AB∥DE，根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得△CDE∽△CAB，利用相似三角形的性质可得DE、CE，然后求出BE，再利用勾股定理计算即可.
11．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：， 是的中位线，
，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质和中位线的性质，通过线段之比求线段长度.
12．【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：由折叠得AD=DH，GC=CB，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CB=DA=1，
∴DH=GC=1，
设DC=a，则GH=2-a，
∵矩形与原矩形相似，
∴，
∵四边形为矩形，
∴EH=1，
∴解得a=，
∴的长为，
故答案为：C
【分析】先根据折叠即可得到AD=DH，GC=CB，再根据矩形的性质即可得到CB=DA=1，EH=1，进而得到DH=GC=1，设DC=a，则GH=2-a，根据相似多边形的性质结合题意即可求出a，进而即可求解。
13．【答案】10
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：10．
【分析】根据平行线分线段成比例得到 ，由条件即可算出DF的值．
14．【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：由题意可得，∵四边形OA'B'C'∽四边形OABC，S四边形OA'B'C'：S四边形OABC=4：1，
∴位似比为2：1.
∵点B'和点B是一对对应点，且点B'在第一象限，
∴xB'=xB×2=2×2=4，yB'=yB×2=3×2=6
故本题答案为：（4，6）.
【分析】根据图形位似的性质，四边形的面积比是位似比的平方，因此两个四边形的面积比为4：1，则其位似比为2：1.再根据点B的坐标，可求出其对应点B'的坐标.
15．【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，，
∴，
∴和的周长之比为，
故答案为：
【分析】先根据题意得到，进而根据位似图形的性质即可求解。
16．【答案】5
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，作DE⊥AB于点E，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=1，
∴，
∵△ABC绕点A逆时针方向旋转90°，
∴，∠BAB'=90°，
∴∠ABB'=45°，
∵DE⊥AB，∠DEB=45°，
∴△DFB是等腰直角三角形，
∴DE=BE，
∵∠EAD=∠CAB，∠DEA=∠BCA=90°，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴AE=3DE=3BE，
∴AB=4DE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：5.
【分析】作DE⊥AB于点E，利用旋转的性质得出△DEB是等腰直角三角形，再证明△ADE∽△ABC，进而得出AE=3DE，AB=4DE，求出DE的长，结合勾股定理得出AD，从而得到.
17．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，分别延长BC、AD交于一点H，过点A作AH⊥BC，
∵AB=AC=5，BC=6
∴BH=CH=3，
∴AH===4，
∵∠ADB=∠E+∠CBD=2∠CBD，
∴∠E=∠CBD，
∴BD=DE，
∵∠BCD=90°，BC=6，
∴CE=BC=6，
∴EH=CE+CH=6+3=9，
∴AE==，
∵AH⊥BC，∠BCD=90°，
∴CD∥AH，
∴，
∴AD=AE= ；
故答案为：.
【分析】分别延长BC、AD交于一点H，过点A作AH⊥BC，由等腰三角形的性质可得BH=CH=3，由勾股定理求出AH=4，利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可推出CE=BC=6，EH=9，根据勾股定理再求AE=，利用平行线分线段成比例可得，即得AD=AE，据此即得结论.
18．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=∠A=60°，
∵ 折叠△BDE得到△FDE，
∴△BDE≌△FDE，
∴S△BDE=S△FDE，∠F=∠B=60°，
∵DE平分△ABC的面积，
∴S△FGH=S△ADG+S△EHC，
∵∠AGD=∠FGH，∠CHE=∠FHG，
∴△ADG∽△CHE∽△FGH，
∴，
∴，
∴GH2=m2+n2，
∴.
故答案为：
【分析】利用等边三角形的性质可证得∠B=∠C=∠A=60°，利用折叠的性质可推出S△BDE=S△FDE，∠F=∠B=60°；再利用DE平分△ABC的面积，可推出S△FGH=S△ADG+S△EHC，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ADG∽△CHE∽△FGH，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可推出GH2=m2+n2，然后求出GH的长.
19．【答案】解：若选①；
证明：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴．
选择②；，不能证明．
若选③；，
证明：∵，
∴，∴，
又∵，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】若选择①，根据相似三角形的性质可得∠ADC=∠A′D′C′，，结合邻补角的性质可得∠ADB=∠A′D′B′，根据条件①得，则，然后结合相似三角形的判定定理进行证明；若选择③，根据相似三角形的性质得∠ADC=∠A′D′C′，结合邻补角的性质得∠ADB=∠A′D′B′，然后结合条件③即可证明.
20．【答案】证明：∵
∴∠C=∠BEC，
∵∠BEC=∠AED，
∴∠AED=∠C，
∵AD⊥BD，
∴∠D=90°，
∵，
∴∠D=∠ABC，
∴．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先求出 ∠C=∠BEC， 再求出 ∠D=∠ABC， 最后证明求解即可。
21．【答案】解：设正方形的边长为x mm，
则AI＝AD﹣x＝80﹣x，
∵EFHG是正方形，
∴EF∥GH，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ，
即 ，
解得x＝48 mm，
∴这个正方形零件的边长是48mm．
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
22．【答案】（1）证明：由翻折和正方形的性质可得，．
∴．
∴，即，
∵四边形是正方形，
∴．
∴．
∴．
（2）解：如图，延长交于点．
∵，
∴．
又∵，正方形边长为3，
∴
∴，
∴，，
设，则，
∴．
∵，即，
∴．
∴．
在中，，
∴．
解得：（舍），．
∴．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由翻折和正方形的性质可得∠EMP=∠EBC=90°，EM=EB，则∠EMB=∠EBM，结合等角的余角相等可得∠BMP=∠MBC，根据正方形以及平行线的性质可得∠AMB=∠MBC，据此证明；
（2）延长MN、BC交于点Q，根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得△DMP∽△CQP，由相似三角形的性质可得QC=2MD，QP=2MP，设MD=x，则QC=2x，BQ=3+2x，易得MQ=BQ=3+2x，则MP=MQ=，然后在Rt△DMP中，利用勾股定理计算即可.
23．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
【知识点】垂线；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据垂线的定义即可得到，，进而得到，再根据相似三角形的判定即可求解；
（2）根据相似三角形的性质即可得到，进而代入数值即可求解。
24．【答案】解：①如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；
②如图，△A2B2C为所作；
③ ，
点B经过的路径长
【知识点】作图﹣位似变换；旋转的性质
【解析】【分析】 ①、延长AC到A1，使得A1C=2AC，延长BC到B1，使得B1C=2BC，Z则作出图形，从而可表示出A得坐标
②、利用网格特点和旋转的性质画出A、B对应的A2、B2从而得到图形
③、先计算出OB的长度，然后根据弧长公式计算出B经过得路径长
25．【答案】（1）CD；AD
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，
∴BE＝CF，EF＝BC，
∴四边形BEFC是平行四边形，
∴EF∥BC，
∴EF∥AD.
（3）解：过点E作EG⊥BC于点G，
∵DC＝AB＝BE＝80，点H是CD的中点，
∴ CH＝DH＝40，
在Rt△BHC中，∠BCH＝90°，
∴；
∵CH∥EG，
∴△BHC∽△BGE，
∴即
解之：EG=64.
答：EF与BC之间的距离为64cm.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵矩形ABCD的边BC固定，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变，
∴矩形ABCD的各边的长度没有改变，
∴DC=AB=FC=EB，AD=BC=EF.
故答案为：CD，AD.
【分析】（1）利用矩形的性质及旋转的性质可知矩形ABCD的各边的长度没有改变，由此可证得FC=CD，EF=AD.
（2）利用矩形的性质可证得AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，再根据AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，可推出BE=CF，EF=BC，利用有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可得到四边形BEFC是平行四边形，利用平行四边形的对边平行，可证得结论.
（3）过点E作EG⊥BC于点G，利用线段中点的定义可求出CH的长，利用勾股定理求出BH的长；由CH∥EG，可得到△BHC∽△BGE，利用相似三角形的对应边成比例，可求出EG的长.
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