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浙江省杭州市2022-2023学年高二下学期数学期末试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．
1．（2021高二上·肥城期中）直线 的一个方向向量是（ ）
A． B． C． D．
2． 若是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（ ）
A． B．，，
C．，， D．
3． “巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制．“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．而早在16世纪，明代朱载最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．若第一个单音的频率为，则第四个单音的频率为（ ）
A． B． C． D．
4． “点在圆外”是“直线与圆相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5． 第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（ ）
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种
6．，两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息．小组根据表中数据，直接对作线性回归分析，得到：回归方程，决定系数．小组先将数据按照变换，进行整理，再对，作线性回归分析，得到：回归方程，决定系数．根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是（ ）
A． B．
C． D．
7．设，，，是半径为1的球的球面上的四个点．设，则不可能等于（ ）
A．3 B． C．4 D．
8．设椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上不与顶点重合的一点，记为的内心．直线交轴于点，，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9． 若函数导函数的部分图像如图所示，则（ ）
A．是的一个极大值点 B．是的一个极小值点
C．是的一个极大值点 D．是的一个极小值点
10．抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是、、、、、），抛掷两次．设事件“两次向上的点数之和大于”，事件“两次向上的点数之积大于”，事件“两次向上的点数之和小于”，则（ ）
A．事件与事件互斥 B．
C． D．事件与事件相互独立
11．设双曲线，直线与双曲线的右支交于点，，则下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线离心率的最小值为4
B．离心率最小时双曲线的渐近线方程为
C．若直线同时与两条渐近线交于点，，则
D．若，点处的切线与两条渐近线交于点，，则为定值
12．已知曲线，，及直线，下列说法中正确的是（ ）
A．曲线在处的切线与曲线在处的切线平行
B．若直线与曲线仅有一个公共点，则
C．曲线与有且仅有一个公共点
D．若直线与曲线交于点，，与曲线交于点，，则
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．的展开式中的系数为 ．
14． 曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．已知，则曲线在点处的曲率为 ．
15．已知数列满足，，数列的前项和为，且，则满足的正整数的最小值为 ．
16． 设函数，则使得成立的的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，在四面体中，，，，，．
（1）求证：、、、四点共面．
（2）若，设是和的交点，是空间任意一点，用、、、表示．
18． 已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式.
（2）若中的部分项组成的数列是以为首项，2为公比的等比数列，求数列的前项和.
19．（2023高二下·杭州）如图，在三棱柱中，所有棱长均为，，．
（1）证明：平面平面．
（2）求平面与平面的夹角的正弦值．
20． 第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设．至2023年地铁运行的里程数达到516公里，排位全国第六．同时，一张总长464公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾．现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求．
附：，．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
（1）一个兴趣小组发现，来自不同城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究．请完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？（精确到0.001）
单位：人
出行方式 国际大都市 中小型城市 合计
偏好地铁 20 100
偏好其他 60
合计 60
（2）国际友人David来杭游玩，每日的行程分成段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的．已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第段行程上David坐地铁的概率为，易知，
①试证明为等比数列；
②设第次David选择共享单车的概率为，比较与的大小．
21．（2023高二下·杭州）设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点，当直线垂直于轴时，．
（1）求抛物线的标准方程．
（2）已知点，直线，分别与抛物线交于点，．
①求证：直线过定点
②求与面积之和的最小值．
22． 设函数，若曲线在处的切线方程为．
（1）求实数的值．
（2）证明：函数有两个零点．
（3）记是函数的导数，，为的两个零点，证明：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直线的方向向量
【解析】【解答】因为直线 的斜率为 ，所以直线的一个方向向量为 ，
又因为 与 共线，所以 的一个方向向量可以是 ，
故答案为：A.
【分析】 先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量.
2．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
3．【答案】B
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式
4．【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
5．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
6．【答案】C
【知识点】最小二乘法；线性回归方程
7．【答案】A
【知识点】向量加减混合运算
8．【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
9．【答案】A,B
【知识点】导数的几何意义；导数的概念
10．【答案】A,C
【知识点】条件概率与独立事件
11．【答案】B,C,D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；双曲线的应用
12．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
13．【答案】-28
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式定理的应用
14．【答案】0
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；简单复合函数求导法则
15．【答案】63
【知识点】数列的应用
16．【答案】
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
17．【答案】（1）证明：因为，
，
所以，则，因此、、、四点共面．
（2）解：当时，，即，可得，
因为，即，可得，
由（1）知，，，因此，
又因为、不在同一条直线上，所以，，
则，则，即，
所以，
.
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；共面向量定理
18．【答案】（1）解：设差数列的公差为，则由，
可得，解得，因此.
（2）解：由，得，
又由是以为首项，2为公比的等比数列，得，因此，
所以，所以.
【知识点】数列的应用
【解析】【分析】 (1)利用等差数列的前n项和及通项公式基本量计算即可；
(2)利用等比数列概念及通项公式求出{bn}的通项公式，再利用等比数列求和公式求解即可.
19．【答案】（1）证明：取中点，连接，，则．
，，为等边三角形，
，，，
，，
，，平面，
平面，
平面，平面平面．
（2）解：如图，以，，，
所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
，，
平面的的法向量，
平面的的法向量，
，，故平面与平面的夹角的正弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取中点，连接，，则，再根据勾股定理证得，推出平面，即可证得平面平面；
（2） 以，，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的的法向量和平面的的法向量，利用向量法可求出平面与平面的夹角的正弦值．
20．【答案】（1）解：列联表如下：
出行方式 国际大都市 中小型城市 合计
首选地铁 80 20 100
首选其他 60 40 100
合计 140 60 200
零假设为：城市规模与出行偏好地铁无关，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为城市规模与出行偏好地铁有关，此推断犯错误的概率不大于0.010；
（2）解：①证明：第段行程上David坐地铁的概率为，
则当时，第段行程上David坐地铁的概率为，不坐地铁的概率为，
则，
从而，
又，所以是首项为，公比为的等比数列；
②由①可知，
则，又，故．
【知识点】数列的应用；独立性检验的应用
21．【答案】（1）解：由题意，当直线垂直于轴时，代入抛物线方程得，
则，所以，抛物线．
（2）解：①设，，直线，与抛物线联立，
得：，因此，．
设直线，与抛物线联立，得：，
因此，，则同理可得：．
当轴时，，，则直线
当斜率存在时，即，
所以
．
因此直线，
令得
综上：直线过定点．
②因为，
，
所以，
当且仅当时取到最小值．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)利用弦长求解出p，即可求解出抛物线的标准方程；
(2)①设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出直线过定点；
②利用面积分割法求出两个三角形面积表达式，然后利用二次函数求最值，即可求出 与面积之和的最小值．
22．【答案】（1）解：由题意可得，
由切线方程可知其斜率为，
所以，解得．
（2）证明：由可得，所以；
函数有两个零点即函数有两个零点．
，
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
又，，，
所以，，
由零点存在定理可得使得，
使得，
所以函数有两个零点．
（3）解：由（1）（2）知，
可得且．
要证明，即证明，
即证明．
令，则
，
因此单调递减，则．因此，
即，又，所以；
即，又，，且在上单调递增，
因此，即．命题得证．
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)利用导数的几何意义代入f' (0) = -2即可得a， b的值；
(2)根据导函数判断出函数单调性，由零点存在性定理即可证明结论；
(3)利用(1) (2)中的结论，结合f (x )单调性.并构造函数并求其单调性，即可实现不等式证明.
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浙江省杭州市2022-2023学年高二下学期数学期末试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．
1．（2021高二上·肥城期中）直线 的一个方向向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的方向向量
【解析】【解答】因为直线 的斜率为 ，所以直线的一个方向向量为 ，
又因为 与 共线，所以 的一个方向向量可以是 ，
故答案为：A.
【分析】 先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量.
2． 若是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（ ）
A． B．，，
C．，， D．
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
3． “巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制．“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．而早在16世纪，明代朱载最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．若第一个单音的频率为，则第四个单音的频率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式
4． “点在圆外”是“直线与圆相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
5． 第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（ ）
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
6．，两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息．小组根据表中数据，直接对作线性回归分析，得到：回归方程，决定系数．小组先将数据按照变换，进行整理，再对，作线性回归分析，得到：回归方程，决定系数．根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】最小二乘法；线性回归方程
7．设，，，是半径为1的球的球面上的四个点．设，则不可能等于（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】A
【知识点】向量加减混合运算
8．设椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上不与顶点重合的一点，记为的内心．直线交轴于点，，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9． 若函数导函数的部分图像如图所示，则（ ）
A．是的一个极大值点 B．是的一个极小值点
C．是的一个极大值点 D．是的一个极小值点
【答案】A,B
【知识点】导数的几何意义；导数的概念
10．抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是、、、、、），抛掷两次．设事件“两次向上的点数之和大于”，事件“两次向上的点数之积大于”，事件“两次向上的点数之和小于”，则（ ）
A．事件与事件互斥 B．
C． D．事件与事件相互独立
【答案】A,C
【知识点】条件概率与独立事件
11．设双曲线，直线与双曲线的右支交于点，，则下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线离心率的最小值为4
B．离心率最小时双曲线的渐近线方程为
C．若直线同时与两条渐近线交于点，，则
D．若，点处的切线与两条渐近线交于点，，则为定值
【答案】B,C,D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；双曲线的应用
12．已知曲线，，及直线，下列说法中正确的是（ ）
A．曲线在处的切线与曲线在处的切线平行
B．若直线与曲线仅有一个公共点，则
C．曲线与有且仅有一个公共点
D．若直线与曲线交于点，，与曲线交于点，，则
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．的展开式中的系数为 ．
【答案】-28
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式定理的应用
14． 曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．已知，则曲线在点处的曲率为 ．
【答案】0
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；简单复合函数求导法则
15．已知数列满足，，数列的前项和为，且，则满足的正整数的最小值为 ．
【答案】63
【知识点】数列的应用
16． 设函数，则使得成立的的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，在四面体中，，，，，．
（1）求证：、、、四点共面．
（2）若，设是和的交点，是空间任意一点，用、、、表示．
【答案】（1）证明：因为，
，
所以，则，因此、、、四点共面．
（2）解：当时，，即，可得，
因为，即，可得，
由（1）知，，，因此，
又因为、不在同一条直线上，所以，，
则，则，即，
所以，
.
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；共面向量定理
18． 已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式.
（2）若中的部分项组成的数列是以为首项，2为公比的等比数列，求数列的前项和.
【答案】（1）解：设差数列的公差为，则由，
可得，解得，因此.
（2）解：由，得，
又由是以为首项，2为公比的等比数列，得，因此，
所以，所以.
【知识点】数列的应用
【解析】【分析】 (1)利用等差数列的前n项和及通项公式基本量计算即可；
(2)利用等比数列概念及通项公式求出{bn}的通项公式，再利用等比数列求和公式求解即可.
19．（2023高二下·杭州）如图，在三棱柱中，所有棱长均为，，．
（1）证明：平面平面．
（2）求平面与平面的夹角的正弦值．
【答案】（1）证明：取中点，连接，，则．
，，为等边三角形，
，，，
，，
，，平面，
平面，
平面，平面平面．
（2）解：如图，以，，，
所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
，，
平面的的法向量，
平面的的法向量，
，，故平面与平面的夹角的正弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取中点，连接，，则，再根据勾股定理证得，推出平面，即可证得平面平面；
（2） 以，，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的的法向量和平面的的法向量，利用向量法可求出平面与平面的夹角的正弦值．
20． 第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设．至2023年地铁运行的里程数达到516公里，排位全国第六．同时，一张总长464公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾．现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求．
附：，．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
（1）一个兴趣小组发现，来自不同城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究．请完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？（精确到0.001）
单位：人
出行方式 国际大都市 中小型城市 合计
偏好地铁 20 100
偏好其他 60
合计 60
（2）国际友人David来杭游玩，每日的行程分成段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的．已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第段行程上David坐地铁的概率为，易知，
①试证明为等比数列；
②设第次David选择共享单车的概率为，比较与的大小．
【答案】（1）解：列联表如下：
出行方式 国际大都市 中小型城市 合计
首选地铁 80 20 100
首选其他 60 40 100
合计 140 60 200
零假设为：城市规模与出行偏好地铁无关，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为城市规模与出行偏好地铁有关，此推断犯错误的概率不大于0.010；
（2）解：①证明：第段行程上David坐地铁的概率为，
则当时，第段行程上David坐地铁的概率为，不坐地铁的概率为，
则，
从而，
又，所以是首项为，公比为的等比数列；
②由①可知，
则，又，故．
【知识点】数列的应用；独立性检验的应用
21．（2023高二下·杭州）设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点，当直线垂直于轴时，．
（1）求抛物线的标准方程．
（2）已知点，直线，分别与抛物线交于点，．
①求证：直线过定点
②求与面积之和的最小值．
【答案】（1）解：由题意，当直线垂直于轴时，代入抛物线方程得，
则，所以，抛物线．
（2）解：①设，，直线，与抛物线联立，
得：，因此，．
设直线，与抛物线联立，得：，
因此，，则同理可得：．
当轴时，，，则直线
当斜率存在时，即，
所以
．
因此直线，
令得
综上：直线过定点．
②因为，
，
所以，
当且仅当时取到最小值．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)利用弦长求解出p，即可求解出抛物线的标准方程；
(2)①设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出直线过定点；
②利用面积分割法求出两个三角形面积表达式，然后利用二次函数求最值，即可求出 与面积之和的最小值．
22． 设函数，若曲线在处的切线方程为．
（1）求实数的值．
（2）证明：函数有两个零点．
（3）记是函数的导数，，为的两个零点，证明：．
【答案】（1）解：由题意可得，
由切线方程可知其斜率为，
所以，解得．
（2）证明：由可得，所以；
函数有两个零点即函数有两个零点．
，
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
又，，，
所以，，
由零点存在定理可得使得，
使得，
所以函数有两个零点．
（3）解：由（1）（2）知，
可得且．
要证明，即证明，
即证明．
令，则
，
因此单调递减，则．因此，
即，又，所以；
即，又，，且在上单调递增，
因此，即．命题得证．
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)利用导数的几何意义代入f' (0) = -2即可得a， b的值；
(2)根据导函数判断出函数单调性，由零点存在性定理即可证明结论；
(3)利用(1) (2)中的结论，结合f (x )单调性.并构造函数并求其单调性，即可实现不等式证明.
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