1.3 探索三角形全等的条件 第2课时 课件(共48张PPT) 2023-2024学年苏科版数学八年级上册

(共48张PPT)
1 . 3
探索三角形全等的条件
第2课时
利用两角一边判定三角形全等
讨 论
1. 用纸板挡住了两个三角形的一部分，你能画出这两个三角形吗 如果能，你画的三角形与其他同学画的三角形能完全重合吗
第一个不能，因为第一个图中的三角形只确定了一个角，其他边与角大小不确定；
第二个能，因为第二个三角形确定了两角及其夹边的大小，所以这个三角形的形状与大小就确定了，即只需往下延长左右两边的线段就得到第三个顶点.
画的二角形能完全重合.
2. 在图1－10 中，△ABC与△PQR、△DEF 能完全重合吗
△ABC与△PQR不能完全重合，△ABC与△DEF 能完全重合.
操 作
按下列作法，用直尺和圆规作△ABC，使 AB＝a，∠A＝ ∠α，∠B＝∠β.
作 法 图 形
1.作AB＝α. 2. 在AB的同一侧分别作∠MAB＝ ∠α，∠NBA＝∠β，AM、BN 相交于点C. △ABC 就是所求作的三角形.
你作的三角形与其他同学作的三角形能完全重合吗
实践告诉我们判定两个三角形全等的又一个基本事实：
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 (可以简写成“角边角”或“ASA”).
证明书写格式：
在△ABC和△A′B′C′中，
∠A＝∠A′,
AB＝A′B′，
∠B＝∠B′ ，∴△ABC≌△A′B′C′.
例4 已知：如图1－11，在△ABC中，D是BC 的中点，点 EF分别在AB、AC上，且 DE∥AC，DF∥AB.
求证：BE＝DF，DE＝CF.
分析：要证 BE＝DF，DE ＝CF，只要证△EBD≌△FDC.由于在△EBD和△FDC中，已知 BD＝DC，所以只要证∠B＝∠FDC，∠EDB＝∠C.
证明：∵DE//AC，DF// AB(已知)，
∴∠EDB＝∠C，∠B＝∠FDC
(两直线平行，同位角相等).
∵D 是 BC 的中点(已知)，
∴BD＝DC(线段中点的定义).
在△EBD 和△FDC 中，
∠EDB＝∠C (已证).
BD＝DC (已证)，
∠B＝∠FDC (已证)，
∴△EBD ≌△FDC (ASA).
∴ BE＝DF，DE＝CF
(全等三角形的对应边相等).
练2
已知：如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE.
分析：证明△ACD≌△ABE中，就可以得出 AD＝AE.
AC＝AB ，
∠C＝∠B ，
∴△ACD≌△ABE (ASA).
∴AD＝AE.
∠A＝∠A (公共角)，
证明：在△ACD和△ABE中，
练 习
1. 找出图中的全等三角形，并说明理由.
解：图中全等二角形共有三组：
(1) ①与⑥全等.
理由如下：在△ABC 和△MNG 中，
∠A＝∠M，
AB＝MN，
∠B＝∠N，
∴△ABC ≌ △MNG(ASA).
(2) ②与④全等.
理由如下：
在△TSW中，∠S＝180°－70°－50°＝60°，
∴∠S＝∠Y.
在△XYZ 和△TSW中，
∴△ XYZ ≌ △TSW (ASA).
∠Y＝∠S，
ZY＝WS，
∠Z＝∠W，
(3) ③与⑤全等.
理由如下：
在△RQP 和△DEF 中，
∠R＝∠D，
PR＝FD，
∠P＝∠F，
∴△RQP ≌ △DEF (ASA).
2. 已知：如图，AB、CD相交于点 O，O是AB的中点，
AC//BD.
求证：O是CD的中点.
证明：∵O是AB的中点(已知)，
∴OA＝OB(线段中点的定义).
∵AC∥BD (已知)，
∴∠A＝∠B (两直线平行，内错角相等).
在△AOC 和△BOD中，
∠A＝∠B(已证)，
OA＝OB(已证)，
∠AOC＝∠BOD (对顶角相等)，
∴ △AOC ≌ △BOD (ASA).
∴ OC＝OD (全等三角形的对应边相等)，
即O是CD的中点.
讨 论
如图1－12，在△ABC 和△MNP 中，∠A＝∠M，∠B ＝∠N，BC＝NP. △ABC与△MNP 全等吗 为什么
由三角形内角和定理可知∠C＝∠P.
根据“ASA”可以证明△ABC ≌△MNP.
由此可以得到基本事实 (ASA) 的推论：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
例5 已知：如图1－13，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的高.
求证：AD＝A′D′.
分析：要证 AD＝A′D′，只要证 △ABD⊥△A′B′D′. 由于在△ABD和△A′B′D′中，∠ADB －∠A′D′B′＝90°，所以只要证 AB＝A′B′，∠B＝∠B′.
证明：∵△ABC≌△A′B′C′(已知)，
∴ AB＝A′B′，∠B＝∠B′
(全等三角形的对应边相等、
对应角相等).
∵ AD、A′D′分别是△ABC和
△A′B′C′的高(已知)，
∴ ∠ADB＝∠A′D′B′＝90°.
在△ABD 和△A′B′D′中，
∠B＝∠B′(已证)，
∠ADB ＝ ∠A′D′B′(已证)，
AB＝A′B′(已证)，
∴△ABD ≌ △A′B′D′(AAS).
∴AD＝AD
(全等三角形的对应边相等).
练3
如图，AD是△ABC的中线，过C，B分别作AD及AD的延长线的垂线CF，BE.
求证：BE＝CF.
导引：要证明BE＝CF，可根据中线及垂线的定义和对顶角的性质来证明△BDE和△CDF全等．
证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD.
∵CF⊥AD，BE⊥AE，
∴∠CFD＝∠BED＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∠BED＝∠CFD，
∠BDE＝∠CDF，
BD＝CD，
∴ △BDE≌△CDF(AAS)．
∴ BE＝CF.
讨 论
在图1－13中，如果 AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线(或中线)，那么AD与A′D′相等吗 试证明你的结论.
练 习
1. 已知： 如图，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DBC.
求证：AB＝DC.
证明：在△ABC 和△DCB 中，
∠A＝∠D(已知)，
∠ACB＝∠DBC(已知)，
BC＝CB(公共边)，
∴△ABC≌△DCB(AAS)
∴AB＝DC(全等三角形的对应边相等).
2. 已知：如图，CB⊥AD，AE⊥DC，垂足分别为 B、E，
AE、BC 相交于点F，且AB＝BC.
求证：△ABF≌△CBD.
证明：∵CB⊥AD，AE⊥DC(已知)，
∴∠ABF＝∠CBD
＝∠AED＝90°
(垂直的定义).
∴∠A＋∠D＝90°，∠C＋∠D＝90°
(直角三角形的两个锐角互余).
∴∠A＝∠C (同角的余角相等).
在△ABF 和△CBD 中，
∠A＝∠C(已证)
AB＝CB(已知)，
∠ABF＝∠CBD(已证)
∴△ABF≌△CBD(ASA)
讨 论
1. 如图1－14，∠A＝∠B，∠1＝∠2，EA＝EB. 你能证
明 AC＝BD 吗
能
2. 如图1－15，点C、F在AD上，且AF＝DC，∠B＝∠E，
∠A＝∠D. 你能证明AB＝DE 吗
能
例6 已知：如图1－16，点A、B、C、D 在一条直线上，EA ∥FB，EC∥FD，EA＝FB.
求证：AB＝CD.
分析：要证 AB＝CD，只要证 AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝BD，所以只要证 △EAC≌△FBD.
证明：∵EA∥FB，EC∥FD(已知)，
∴∠A＝∠FBD，∠ECA＝∠D
(两直线平行，同位角相等)
在△EAC和△FBD中，
∠A＝∠FBD(已证)，
∠ECA＝∠D(已证)，
EA＝FB(已知)，
∴△EAC≌△FBD(AAS).
∴ AC＝BD
(全等三角形的对应边相等)，
即 AB＋BC ＝CD＋BC.
∴ AB＝CD
(等式的性质).
上面的推理过程可以用符号“=>”简明地表述如下：
EA∥FB => ∠A ＝∠FBD
EC∥FD => ∠ECA＝∠D => △AEA≌△FBD
EA ＝ FB
=> AB＋BC ＝ CD＋BC => AB＝CD
=> AC＝BD
练 习
1. 已知：如图，AB＝AC，点 D、E分别在AB、AC 上，
∠1 ＝∠2 .
求证：DB＝EC.
2. 已知： 如图，∠ABC ＝∠DCB，∠1＝∠2.
求证：AB＝DC.
本课小结
全等三角形
利用两角一边判定，三角形全等
两角及其夹边
(ASA)
两角和其中一角的对边(AAS)