3.4函数的应用（一）教学设计——2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.4 函数的应用一
一 内容和内容解析
1 内容
函数在问题中的应用。
2 内容解析
本节课选定的主题是用给定的数学模型探究纳税问题。使用的教材是人民教育出版社（A版）高中数学必修第一册。3.1.2 函数的表示法中例8是纳税问题的初探，3.4 函数的应用（一）中例1是纳税问题的延续。数学来源于生活，它与现实世界有着紧密的联系，为了能够更深刻的体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法，本节课将两节中的纳税问题合二为一，呈现一节完整的纳税问题。
前面已经学习了函数的概念，研究了函数的基本性质。本节课将研究实际生活中的纳税问题。这个问题是给定数学模型的应用，教科书将在后续内容中安排更加复杂的、需要根据实际背景建立数学模型的应用问题。教学中要求教师引导学生体会应用函数知识解决实际问题的过程和方法。
本节课主要探究应缴纳个税与应纳税所得额之间的函数关系，利用中间量应纳税所得额，研究应缴纳个税与综合所得收入额之间的函数关系。主要利用函数的概念及其蕴含的数学思想方法解决纳税问题，包括利用图形计算器研究图像的函数性质，以及简单的建模问题。图形计算器辅助教学，不仅避免繁琐的计算，而且能够直观的帮助发现函数的某些性质，这样可以使学生螺旋上升地认识已有函数，同时巩固函数概念。本节涉及的函数都是分段函数，实际上是用一次函数建立简单的函数模型。
二 目标设置
1 通过图表信息和给出的计算公式，建立函数模型。
2 利用图形计算器绘制函数的图象，借助图象探究函数的性质，以及在实际纳税中的意义。
3 经历建立函数模型解决纳税问题的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用。三次建立函数模型，加强了数学建模核心素养的培养，着力发展学生养成用数学的眼光观察现实世界的习惯，用数学的思维分析实际问题的能力，用数学的语言表达实际问题的能力。
4 税收取之于民，用之于民。国家的兴旺发达、繁荣富强与每个公民息息相关。依法纳税是每个公民应尽的义务。从学生时代，学习纳税知识，形成纳税意识，厚植学生的爱国主义情怀，强化学生的使命担当，引导学生成长成才。
三 教学重难点
重点：利用给定的函数模型，解决纳税问题。
难点：建立函数模型的过程、探究函数的性质以及在实际纳税中的意义。
四 教学方法
数学问题链教学是利用问题驱动数学的一种具体形式，它试图让学生获得较为深入的数学的同时，让学生经历数学思考的全过程。通过数学问题链教学落实核心素养，发展学生的高阶思维能力。
五 教学过程设计
引导语
在我国，税收取之于民，用之于民。国家利益，集体利益，个人利益在根本上是一致的。国家的兴旺发达，繁荣富强与每个公民息息相关，而国家职能的实现，必须从社会各界缴纳的税收为物质基础。根据权利与义务相统一的原理，公民在享有国家提供服务的同时，必须承担义务，自觉诚信纳税。人民是国家的主人，税收的征管和使用关系到国家的发展和纳税人的利益。
同学们目前不仅不需要缴纳个税，还享受着国家的优惠政策帮助父母降低个税。但是同学们在不久的将来会和老师、父母一样成为纳税公民。如何纳税？是每个公民拥有的知晓权。我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数等都为现实世界有紧密联系。本节课主要利用一次函数模型探究纳税的过程。
开门见山，聚焦主题
例 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）。2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额，税率和速算扣除数确定，计算公式为：
个税税额=应纳税所得额税率—速算扣除数
应纳税所得额的计算公式为：
应纳税所得额=综合所得收入额—基本减除费用—专项扣除—
专项附加扣除—依法确定的其他扣除
其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元，税率与速算扣除数见表
设全年应纳税所得额为，应缴纳个税税额为，求，并画出图象。
小王全年综合所得收入额为189 600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别为8%，2%，1%，9%，专项扣除是52 800元，依法确定其他扣除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
若专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与（2）中假定的相同，请回答下面问题:
设全年综合所得收入额为（单位：元），应缴纳综合所得个税税额为（单位：元），求关于的函数解析式；
如果小王全年的综合所得由189 600元增加到249 600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
名词解释：
综合所得：包括工资、薪金、劳务报酬、稿酬、特许使用费。其中，特权使用费是指人们因使用权利或如信息、服务等无形财产而支付的任何款项。如个人提供专利权、商标权、著作权、非专利技术以及其他特许权的使用权而取得的所得。
基本减除费：每月5000元的标准免征。
专项扣除：包括居民个人按照国家规定的范围和标准缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业险等社会保险费用和住房公积金等。
专项附加扣除：包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等支出。
其他扣除：是指除上述基本减除费用、专项扣除、专项附加扣除之外，由国务院决定的扣除方式减少纳税的优惠政策规定的费用。
问题引导，合作探究
问题1 从表3.1-5中你能读出哪些信息？
提供了个税税额公式中三个重要量（应纳税所得额、税率、速算扣除数）的信息；
全年应纳税所得额划分了7个区间，每个区间对应的税率不同，速算扣除数也不同；
师生活动：引导学生熟悉3.1-5表中的信息。结合计算公式求解个税税额。
设计意图：引导学生注意到表中应纳税所得额、税率、速算扣除额的不同。为全年应纳税所得额，进行分段讨论做铺垫。
问题2 如果全年应纳税所得额为38000元，应选择哪个级数进行计算应缴纳个税税额？如何计算？如果全年应纳税所得额为，应该如何计算应缴纳个税税额，写出的函数模型？
选择第2级数，元；
需要对进行讨论，函数的解析式为：
问题3 请同学们运用计算器画出的函数的图象，并回答如下的问题：
这个函数是单调递增的吗？在实际问题中，为什么要设计一个单调递增的函数？
根据图象说明为什么要设置速算扣除数？速算扣除数是如何得到的？
每一段的斜率为什么要逐渐增大？
解析：函数的图象为：
是增函数，符合客观规律，应纳税所得额越多，应缴纳个税税额越多，即随着自变量增大，函数值在增大，所以需要设计一个单调递增函数。
若不设置速算扣除数，则图象就不是连续不断地了，这就造成了当应纳说所得额有很小的跨界变化时，会使得缴纳的个人所得税有很大的变化，使收入高的人的税后所得不如收入低的人，造成不合理的现象。
速算扣除数就是为了使得图象连续不断而计算出来的，也就是每一段的速算扣除数=应纳税所得额税率—上一段的最高应纳税所得额。
函数图象的每一段斜率都逐渐增大，表示对高应纳税所得额的人群的纳税比较越高。
师生活动
学生利用图形计算器绘制函数图象，思考，小组讨论完成。
设计意图
通过这个问题进一步复习函数的单调性，并体会其在实际问题中的应用。
体会设置速算扣除数的由来和目的，若不设置速算扣除数，则图象就不是连续不断的了，这就造成了当应纳说所得额有很小的跨界变化时，会使得缴纳的个人所得税有很大的变化，使收入高的人的税后所得不如收入低的人，造成不合理的现象。速算扣除数就是为了使得图象连续不断而计算出来的，也就是每一段的速算扣除数=应纳税所得额税率—上一段的最高应纳税所得额。
体会函数解决实际问题的应用，函数图象的每一段斜率都逐渐增大，表示对高应纳税所得额的人群的纳税比较越高。
让学生体会将实际问题用数学语言表达，是用数学的方法研究实际问题的重要途径，通过对建立数学模型的研究，可以得到实际问题的一些理性的解释。
问题4 综合所得收入额与应纳税所得额有怎样的关系表达式？如果知道了综合所得收入额，能否计算应缴纳个税税额？
应纳税所得额的计算公式为：
应纳税所得额=综合所得收入额—基本减除费用—专项扣除—
专项附加扣除—依法确定的其他扣除
个税税额计算公式：
个税税额=应纳税所得额税率—速算扣除数
问题5 小王全年综合所得收入额为189 600元，请同学们帮助小王算一下他全年应缴纳多少综合所得个税？
小王全年应纳税所得额为：
所以，
小王应缴纳综合所得个税税额为1029.6元。
师生活动：唤起学生再次注意到问题中的另一计算公式，模拟实际情况，计算小王的个税税额。
设计意图：前面探究了应纳税所得额与个税税额的关系，再次挖掘材料信息和实际情况中纳税公民能够获得的收入，模拟实际情况计算个税收入，为探究综合所得收入和个税税额关系做铺垫。
问题6 由上述问题，我们得知给出综合所得收入额，就可以求出缴纳的个税税额。若设综合所得收入为，应缴纳个税税额为，能否构建函数模型？这个问题中又涉及了几个变量，分别是什么，之间具有怎样的关系？
3个，；对于每一个综合所得收入和，都有唯一确定的应纳税所得额与之相对应，而每个应纳税所得额都有唯一确定的个税税额与之相对应，这样，对于任何一个综合收入所得额都有唯一确定的个税税额与之相对应，即：个税税额是综合所得收入额的函数。
师生活动：引导学生梳理之间的关系。
设计意图：梳理之间的关系，巩固函数概念，建立与的函数模型。
问题7 若专项扣除比例、专项附加扣除额、依法确定的其他金额与（2）中假定的相同，你能否写出应纳税所得额关于综合所得收入额的解析式，并画出函数的图象吗？
由个人应纳税所得额计算公式，得：
令，得
根据个人应纳税所得额的规定可知，当时，
所以，个人应纳税所得额关于综合所得收入额的解析式为：
师生活动：学生绘制图象，完善函数解析式。
设计意图：是关于的分段函数，但学生可能会丢掉的情况，通过绘制函数图象—观察图象的特点与实际情况比较，得出准确的关于的函数。
问题8 由，再结合，能否得出应缴纳个税税额关于全年综合所得收入额的函数解析式？
（1）由表格3.1-5知分为7级，由可将1级数分为：时，，此时，当时，如何求的取值范围？此时关于的解析式是什么？
所以，当时，，此时
（2）以此类推，你能利用剩下的6个级数，求出相应的的取值范围以及此时关于的解析式？
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时.
（3）根据以上计算，请写出关于的解析式？
师生活动：教师引导，学生完成运算求解过程。
设计意图：将个税税额写成综合所得收入额的函数需要分段表述，难点在于如何将自变量的取值进行分段，引导学生通过解相应的不等式求得工资的不同范围，从而得到个税税额关于综合所得收入额的分段函数，在教学中，引导学生体验数学抽象的过程。
问题9 类比的探究过程，从上述函数解析式中，你能读出哪些信息？
这是一个单调递增且连续的函数，随着收入越多，应缴纳的个税越多。
问题10 如果小王全年的综合所得由189600元增加到249600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
当时，根据关于的解析式，得：
所以，小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为5712元。
师生活动：学生独立思考完成，教师适时规范解答过程。
设计意图：体会利用函数概念及其蕴含的数学思想方法解决纳税问题。
课堂练习：一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v（单位：km/h）与时间t（单位：h）的关系如图所示，
求图3.41中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s（单位：km）与时间t的函数解析式，并画出相应的图象．
设计意图：问题的信息除了以文字形式表述外，也见于速率关于时间变化的图象中．通过学生全面的审题，有助于培养学生的读图能力，提高学生获得信息的能力．另外通过动态观察获得数学表示，进一步转化为直观图象，通过这一过程感受数学化的好处，提高直观想象和数学建模素养．
总结升华，交流心得
通过纳税实例，谈谈你对用函数解决实际问题的感受？
谈谈函数的性质在研究实际问题中的作用。
有了函数模型，就可以通过研究函数的性质而获得实际问题中的变化规律，通过绘制函数的图象，也可以直观地看到这种整体的变化规律。
师生活动
学生独立思考的基础上回答，教师在进行归纳。
设计意图
让学生初步体会用函数的方法解决实际问题的过程
能用数学的语言来描述实际问题
学以致用，作业验证
教科书第95页，习题3.4第1，2，3题．
（六）目标检测设计
（教材第95页练习3）．某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2 500元，每件产品的售价为3 500元．若该公司所生产的产品全部销售出去，则
（1）设总成本为（单位：万元），单位成本为（单位：万元），销售总收入为（单位：万元），总利润为（单位：万元），分别求出它们关于总产量x（单位：件）的函数解析式；
（2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析．
解析：（1）；；；．
（2）若分析盈利问题则考虑函数．
由图可知想要盈利则，即，
所以当件时，该公司亏损；
当件时，该公司不赔不赚；
当件时，该公司盈利．
设计意图：教师引导学生通过审题——找变量间的关系——列出解析式——解决实际问题的过程，回顾本节课函数应用的基本思路，并让学生能够在各环节中抓住关键点，如本题中的单位换算问题，从而体现数学的逻辑性和严谨性．