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第2章 圆形的轴对称
2.4 线段的垂直平分线（2）
回顾与整理
我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线
性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
性质2：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
实验与探究
利用基本作图“作一条线段的垂直平分线”可以作出过已知线段中点的这条线段的垂线，能把作图的范围再推广到“过一个点作已知直线的垂线”吗
由于一个点与一条直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外，所以应分两种情况进行讨论。
(1)已知直线l和l上一点P。怎样过点P作直线l的垂线
先在直线l上作出以点P为中点的一条线段AB，再利用上面学过的基本作图，作线段AB的垂直平分线，那么这条直线既经过点P，又与直线l垂直。
作 法
①以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线l相交于点A和点B;
②作线段AB的垂直平分线CD（如图）
直线CD就是过点P的直线l的垂线
·
A
B
P
C
D
l
(2)已知直线l和l外一点P。怎样经过点P，作直线l的垂线
也要设法先在直线l上作出一条线段AB，并且使点P到线段AB两端的距离相等。再利用基本作图“作线段AB的垂直平分线”，那么这条直线既经过点P，又与直线l垂直。
作 法
①任意取一点K，使点K和点P分别在直线l的两侧:
②以点P为圆心，PK的长为半径作弧，与直线l相交于点A和点B;
③作线段AB的垂直平分线CD。（如图）
直线 CD就是过点P的直线l的垂线.
·
A
B
K
C
D
l
·
P
海伦(Heron，活跃于公元62年左右) 是古希腊的一位数学家、测量学家。相传，有一天一位将军专程拜访海伦求教一个令他百思不得其解的问题:“我每天策马往返于两个边防站A与B之间，途中都要到小河l边让坐骑饮水。怎样走路程最近呢 ”你能帮将军解答这个问题吗？说出你的作法，在图中作出最近的路线，并说明作图的道理。
例1
作 法
(1) 过点B作直线l的垂线BC，垂足为 C;
(2)在BC上截取点B'，使B，B'分别在l的两侧，且CB'= CB;
(3) 连接AB'，与直线l交于点P(如图)
点P就是所求作的直线l上使AP+BP的值最小的点。
理由是:因为点B，B'关于直线l对称，根据轴对称的基本性质， l是 BB'的垂直平分线，所以 PB = PB'。根据“两点之间线段最短”，如果点 P'是l上的一个动点，当A，P' ，B'在一条直线上(即P'与P重合)时，AP'+P'B的值最小。也就是AP+PB的值最小。
实际上，点B'是点B关于直线l的对称点.
课后作业
完成习题2.4
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第2章 圆形的轴对称
2.4 线段的垂直平分线（1）
实验与探究
(1)在纸上作一条线段AB(图①)，通过对折使端点 A 与端点 B 重合。将纸展开后铺平，记折痕所在的直线为MN，直线 MN与线段AB的交点为 O (图②) 。你有什么发现
MN⊥AB，垂足为点O。AO=OB.
线段是轴对称图形。它的一条对称轴垂直平分这条线段。
垂直平分线
垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线
(2)如图②，MN是线段AB的垂直平分线，在MN上任意取一点P，则点P可能有两种情况：当P恰是MN与线段AB的交点时，由MN平分AB可知PA=PB；当P不在线段AB上时，连接PA与PB(图③)。把这张纸再沿直线MN对折，PA与PB重合吗？为什么？由此你能得到什么结论
③
M
N
O
P
A
B
·
将线段AB沿直线MN对折，因为MN是线段AB的对称轴，A，B是对应点。故对折后点A与点B重合。由于点P在对称轴MN上，对折后点P与它自身重合，于是PA与PB重合，所以PA= PB.
线段垂直平分线的性质:
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
(3)反过来，到线段两端距离相等的点是否都在线段的垂直平分线上 当点P在线段AB上时，由PA=PB，可知P是AB的中点，此时点P在线段AB的垂直平分线上。当点P在线段AB外时，如果PA = PB，你能说明点P在线段AB的垂直平分线上吗
设线段AB的中点为O，连接PO，由SSS可知△POA≌△POB，因为∠AOP +∠BOP =180°，∠AOP=∠BOP，所以∠AOP =90°，即PO⊥AB，所以PO就是线段AB的垂直平分线，这就是说，点P在线段AB的垂直平分线上。
由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理:
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
(4)已知线段AB
你能根据(3)中的结论，用尺规作出线段AB的垂直平分线吗 与同学交流。
(1)分别以点A与点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧,
两弧分别交于M，N两点;
(2)过M，N两点作直线MN。
直线MN就是线段AB的垂直平分线①
①用尺规作一条线段的垂直平分线，属于基本作图。
1.已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，
连接OA，OB，OC.
求证：点O在AC的垂直平分线上.
证明 ∵点O在线段AB的垂直平分线上，
∴ OA=OB.
同理OB=OC.
∴ OA=OC.
∴ 点O在AC的垂直平分线上.
当堂练习
2.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC =BC,
AD=BD，AB与CD相交于点O。
求证：AO=BO.
证明： ∵ AC =BC，AD=BD，
∴点C和点D在线段AB的垂直平分线上，
∴ CD为线段AB的垂直平分线.
又 AB与CD相交于点O
∴AO=BO.
3.如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（ ）.
A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm
C
解析:
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等).
又∵在△BCE中，
BE+CE+BC=18cm，BC=8cm，
∴BE+CE=10cm.
∴AC=AE+CE=BE+CE=10cm.
故应选择C.
课后作业
完成练习T1、2
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