2.5角平分线的性质 课件(共25张PPT) 2023-2024学年数学青岛版八年级上册

(共25张PPT)
第2章 圆形的轴对称
2.5 角平分线的性质
知识回顾
1、角平分线的概念
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
O
B
C
A
1
2
符号语言：
∵射线OC是∠AOB的角平分线
∴ ∠1= ∠2
2、点到直线距离:
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离。
O
P
A
B
垂线段PO的长度
（1）圆可以看做是 的集合.
3.学过的集合定义：
（2）线段垂直平分线可以看做是
的集合.
到定点距离等于定长的所有点
到线段两端点的距离相等的所有点
实验与探究
在纸上任意画一个∠BAC，把它沿经过点 A 的某条直线对折，使角的两边 AB 与 AC 重合，然后把纸展开后铺平，记折痕为 AD。你发现∠BAC 是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
B
A
D
活动一：探究角的轴对称性
角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。
请同学们在刚才折出的角平分线AD上，任意取一点 P，通过尺规作图，过点 P 作 PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分别是点 M，N，用圆规比较 PM 与 PN 的大小，你有什么发现？说明你的理由。
结论：角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.
活动二：探索角平分线的第一个性质
C
B
M
A
P
N
D
已知：AD是∠BAC的角平分线，点P是AD上任意一点，
PM⊥AB，PN⊥AC。求证：PM=PN
C
B
M
A
P
N
D
1
2
证明：∵AD平分∠BAC ∴ ∠1= ∠2
∵PM⊥AB PN⊥AC
∴ ∠ AMP=∠ANP=90
在△AMP与△ANP中
∴ △AMP ≌ △ANP（AAS）
∴PM=PN
角平分线的性质1
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
C
B
M
A
P
N
D
应用所具备的条件：
（1）AD为角的平分线；
（2）点P在该平分线上；
（3）PM⊥AB PN⊥AC
作用：判断线段相等的依据.
符号语言：
∵AD平分∠BAC，PM⊥AB ，PN⊥AC
∴PM=PN
练习一
判断正误，并说明理由：
1.如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，D、E分别在OA、OB上，则PD=PE . ( )
2.如图，P在射线OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，PE=PF. ( )
（1题）
（2题）
×
×
3.如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA 的距离为3cm，
则P到OB的距离边为3cm.( )
（3题）
√
活动三：探索角平分线的第二个性质
如图，已知∠BAC，经过∠BAC内部任意作直线l1//AB，作直线l2//AC，使l2与AC之间的距离等于l1与AB之间的距离，记l1 , l2的交点为P.则P是∠BAC内部一个到∠BAC的两边AB，AC距离相等的点.作直线AP.如果将∠BAC沿AP对折.你发现∠BAP与∠CAP重合吗 由此你能得到什么结论
角平分线的性质2
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
∠BAP =∠CAP点.
P在∠BAC的平分线上。
练习二
解：相等
证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB,
PE=PF
∴ OP为∠AOB的平分线,（角平分线的性质2）
∵ QM⊥OA，QN⊥OB
∴ QM=QN（角平分线的性质1)
练习二：如图，P是∠AOB 内部的一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为点 E，F，且PE =PF . Q是OP 上的任意一点，QM⊥OA， QN⊥OB，垂足分别为点 M 和N . QM与QN相等吗？为什么？
已知：∠BAC
求作：∠BAC 的平分线。
活动四: 用尺规作角的平分线
A
B
C
要作出∠BAC的平分线，只要设法确定角平分线上的一点P的位置就可以。为此，可以用圆规在角的两边分别截出以A为公共端点的两条相等的线段，然后再分别以这两条线段的另一个端点为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧的交点便是所要确定的点P。
作法:
①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交这个角的两边于E，F两点；
③作射线AP
射线AP就是所求作的∠BAC的平分线.
②分别以点E，F为圆心，以大于EF一半的长为半径作弧，两弧交于点P；
A
B
C
F
E
P
A
B
C
F
E
P
你能说明图中所作出的射线AP是∠BAC的平分线吗
连接PE，PF，因为AE =AF，EP=FP，AP = AP，
由SSS，△APE≌△APF.
所以∠BAP=∠CAP.
练习三
练习三：用直尺和圆规作一个角的平分线，如上图所示，
则能说明∠BAP=∠CAP的依据（ ）
A. SSS
B. ASA
C. AAS
D. 角平分线上的点到角的两边相等
A
达标测试
1.∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5cm，
则 M到OB的距离为　 cm。
2. 如图，在△ABC中，∠C=90°， DE⊥AB，∠1=∠2，
且 AC=6cm，那么线段BE是∠ABC 的　　 　 ，
AE+DE=　　　。
1.5
角平分线
6 cm
3. 如图，OP 平分∠MON，PA⊥ON， 垂足为 A，PA = 2.
Q是边 OM 上的 一个动点,则线段 PQ的最小值（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
4.如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（ 　 ）
A、PD＝PE　　
B、OD＝OE　
C、∠DPO＝∠EPO　　
D、PD＝OD
D
课堂小结
1. 角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。
2. 角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等。
3. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
4. 如何用尺规作一个角的平分线。
课后作业
完成习题2.5
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