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第5章 几何证明初步
5.5 三角形内角和定理（1）
学习目标
1.证明“三角形内角和定理”，体会证明中辅助线的作用，
尝试用多种方法证明三角形内角和定理。
2.证明三角形内角和定理的两个推论，知道什么叫推论。
交流与发现
已知: ∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角。
求证: ∠A +∠B+∠C=180°
我们曾用把三角形纸片的三个内角撕下来，拼成一个平角的方法，验证了三角形的三个内角之和等于180°。这一实验过程对于证明上述命题有什么启发
证明：如图，作BC的延长线 CD，在△ABC的外部，以CA为一边，作∠ACE =∠A.
∴CE//AB(
)
∴∠B = ∠ECD( )
∵∠ACB，∠ACE、∠ECD组成一个平角，
∴∠ACB +∠ACE +∠ECD =180°( ),
∴∠ACB +∠A+∠B=180°( )
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等
平角的定义
等量代换
通过证明，我们得到
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180°
为了证明的需要，在原来图形上添加的线叫做辅助线，辅助线通常画成虚线。
观察图，∠ACD 是三角形的一个外角，∠A与∠B是与∠ACD不相邻的两个内角，由三角形内角和定理能推出∠ACD与∠A，∠B之间有怎样的数量关系
∵∠A +∠B + ∠ACB= 180°(三角形内角和定理),
∴∠A +∠B =180°－ ∠ACB (等式的基本性质 )，
∵∠ACD+∠ACB =180°(平角的定义),
∴∠ACD =180°－ ∠ACB (等式的基本性质)
∴∠ACD = ∠A +∠B(等量代换)
∴∠ACD >∠A ， ∠ACD >∠B
由此得出:
推论 1 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论 2 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.
由三角形内角和定理，直接推出了三角形的一个外角与它不相邻的两个内角之间的数量关系的两个命题，并且用推理的方法给予证实。像这样，由基本事实或定理直接推出的真命题叫做推论。推论可以作为定理使用。
利用推理不仅可以证实一个命题是正确的，并且还可以由证实的命题推出一些新的真命题。
当堂小练
△ABC中，∠B=45°，∠C=72°，那么与∠A相邻的一个外角等于＿＿＿。
117°
课后作业
完成练习
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第5章 几何证明初步
5.5 三角形内角和定理（2）
学习目标
1.掌握直角三角形的性质定理和它的判定定理；
2.会用直角三角形的性质定理和它的判定定理进行推理。
观察思考
1.任取一副三角尺，每个三角尺中的两个锐角度数分别是多少？
2.任画一个Rt△ABC，两个锐角之间有什么数量关系？
∠A+∠B=90°
总结：直角三角形的性质定理
直角三角形两个锐角互余。
在Rt△ABC中，
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A+∠B=180°－∠C.
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°.
已知：Rt△ABC.
求证：∠A+∠B=90°.
A
B
C
两锐角互余的三角形是直角三角形吗？
直角三角形性质定理的逆命题是什么？
真or假
已知：在△ABC中， ∠A＋∠B ＝ 90゜.
求证：△ABC是直角三角形.
在△ABC中，
∵∠A+∠C+∠B=180°
∴∠B+∠A=180°－∠C.
∴180°－∠C=90°，
∵∠B+∠A=90°，
∴∠C=90°.
直角三角形的判定定理
两个锐角互余的三角形是直角三角形。
A
B
C
典例精析
例1. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D。
求证：∠1=∠B
证明：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°( ),
∴∠B+∠A=90°( ).
在△ADC中，
∵CD⊥AB( ),
∴∠ADC=90°( ).
已知
直角三角形两个锐角互余
垂直的定义
已知
∴∠1+∠A=90°( ).
∴∠1=∠B ( ).
∴△ADC是直角三角形( ).
直角三角形的定义
直角三角形两个锐角互余
同角的余角相等
直角三角形性质定理：
直角三角形两锐角互余;
直角三角形判定定理：
有两个锐角互余的三角形是直角三角形。
当堂小练
1.如图，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC边的一点。过D作DF⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为点F，E。求证：∠FDE=∠C。
2.如图，已知△ABC中，已知∠B＝65°，∠C＝45°, AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数。
A
B D E C
课后作业
完成习题5.5
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