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第5章 几何证明初步
5.6 几何证明举例（5）
学习目标
1.根据三角形全等推导“HL”定理；
2.熟练应用“斜边、直角边”定理。
现在你有几种判定直角三角形全等的方法？
1.边角边 简称 “SAS”
2.角边角 简称 “ASA”
3.边边边 简称 “SSS”
4.角角边 简称 “AAS”
如图，在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，∠C=∠C’=90°， AB＝A’B’，AC＝A’C’。
能证明Rt ABC ≌ Rt A’B’C’吗？
A’
B’
C’
A
C
B
方法1 根据AC=A’C’, ∠C=∠C’将两个三角形的直角边AC和A’C’和对应顶点分别重合，B和B’分别在AC所在直线的两侧(如图)。由于∠ACB=∠A’C’B’=90°，所以B,C,B’三点共线，又由于AB=A’B’，于是组成等腰三角形ABB’。所以∠B=∠B’，所以△ACB≌△A’C’B’（AAS）.
A’
B’
C’
A
C
B
( )
( )
C’
A(A’)
B(B’)
C
方法2 将两个直角三角形的斜边重合在一起，
你能证明这两个直角三角形全等吗？
4
3
1
2
方法3 在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，
∵AB＝A’B’，AC＝A’C’.
∴BC=B’C’(勾股定理).
∴Rt△ABC≌Rt△A’B’C’(SSS).
A’
B’
C’
A
C
B
于是得到直角三角形全等的判定定理：
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等。(简记为“斜边，直角边”或“HL”)
“斜边、直角边”或“HL” 定理的符号语言
在Rt ABC和Rt DEF中，
如果AB=DE，AC=DF.
则 Rt ABC ≌ Rt DEF（HL）
由于HL定理的存在，在直角三角形中，两边及一角分别相等的两个三角形，当其中较大一边的对角是直角时，它们全等。
典例精析
例3.如图，在 △ABC 中，D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，E、F为垂足，DE＝DF.
求证：△ABC是等腰三角形.
证明 ∵DE⊥AC， DF⊥AB，
∵△DEC和△DFB都是直角三角形。
∵DC=DB，DE=DF,
∴Rt△DEC ≌ Rt△DFB (HL)。
∴∠C=∠B.
∴△ABC是等腰三角形。 (有两个角相等的三角形是等腰三角形 ).
例4 已知一直角边和斜边作直角三角形。
已知：线段l，m(l求作：Rt ABC，使直角边AC=l，斜边AB=m.
l
m
先利用基本作图“过一点作已知直线的垂线”，作出三角形的直角顶点C。再根据直角边AC的长确定顶点A，最后根据斜边长作出另一个顶点B.
已知：线段l，m(l求作Rt ABC，使直角边AC=l，斜边AB=m.
l
m
作法：
(1)任取一点C，作射线CD;
(2)过点C作射线CE⊥CD；
(4)以点A为圆心，m为半径作弧，交CD于点B;
(5)连接AB.
(3)在CE上截取CA=l；
△ABC就是所求作的直角三角形.
B
当堂小练
如图：已知AC＝BD，∠C=∠D=90°.
求证：Rt ABC ≌ Rt BAD.
A
B
D
C
O
课堂小结
1.应用斜边直角边（HL）定理判定两个三角形全等，要按照定理的条件，准确地找出“对应相等”的边；
2.寻找使结论成立所需要的条件时，要注意充分利用图形中的隐含条件，如“公共边、公共角、对顶角等等”。
课后作业
完成习题5.6
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第5章 几何证明初步
5.6 几何证明举例（1）
学习目标
1.证明角角边定理；
2.根据判定两个三角形是否全等，进而推证有关线段或角相等。
已知：如图，在△ABC和△A’B’C’中，AB=A’B’，∠B=∠B’， ∠C=∠C’.
求证：△ABC≌△A’B’C’
证明：在△ABC和△A’B’C’中
∵ ∠B=∠B’， ∠C=∠C’( ),
∴ ∠A=180°－∠B－∠C,
∠A’=180°－∠B’ －∠C’( ),
∴∠A=∠A’ ( )
∵AB =AB’( )
∴△ABC≌△A’B’C’ (ASA)
已知
三角形内角和定理
等量代换
已知
今后，我们把全等三角形的判定方法3作为全等三角形的判定定理:
两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等.
从基本事实 SAS，ASA，SSS 以及定理 AAS 出发可以判定两个三角形全等，利用全等三角形对应边和对应角的定义，可以进一步推证两个全等三角形的有关线段或角的相等。
典例精析
分析：要证∠A=∠C，只要证明它们所在的两个三角形全等即可，但是图中没有两个全等三角形时，应通过尝试添加辅助线构造全等三角形，使待证的角或线段是这两个全等三角形的对应角或对应边。
例1：已知：如图，AB=CB，AD=CD.
求证：∠A=∠C.
证明：连接BD.
在△ABD和△CBD中，
∵AB=CB，AD=CD（已知），
BD=BD(公共边)
∴△ABD≌△CBD（SSS）.
∴∠A=∠C（全等三角形对应角相等）.
A
B
D
C
C
B
D
A
两个三角形全等，它们对应边上的高线、对应边上的中线、对应角的平分线有什么性质呢？
全等三角形对应边上的中线、对应角的角平分线、对应边上的高都相等。
当堂小练
1.已知，如图AB=CD，AD=BC，求证：∠A=∠C.
思考：
怎样添加辅助线才能使∠A与∠C存在于两个全等三角形中而且是两个三角形的对应角呢？
2.如图：已知，AB∥CD,∠1=∠2，∠3=∠4.
求证：BC=AB+CD
课堂小结
1、判定两个三角形全等的基本事实有：
SAS，ASA，SSS.
2、证明两个角或两条线段相等时，可以考察它们是否在给出的两个全等三角形中。如果不在，可尝试通过添加辅助线构造两个全等三角形，使待证的角或线段分别是两个全等三角形的对应角或对应边。
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第5章 几何证明初步
5.6 几何证明举例（3）
学习目标
1.掌握并证明线段垂直平分线的性质定理与判定定理；
2.掌握基本的证明方法，会通过分析的方法探索证明的思路。
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
“对折”得线段垂直平分线的性质：
已知：CD是线段AB的垂直平分线，垂足为点M，P是直线 CD上的任意一点。
求证：PA=PB.
分析：要证明边相等，可构造全等三角形，利用全等三角形的性质可得结论：但是当P与M重合时，构不成三角形，需分类讨论。
证明：①当点P不与点M重合时。
∵PM⊥PB（已知）
∴∠PMA= ∠PMB =90°(垂直平分线的定义)
∵ PM= PM（公共边）
MA=MB（垂直平分线的定义）
∴ △PMA≌△PMB (SAS)
∴ PA = PB (全等三角形对应边的定义)
证明：②当点P与点M重合时，
∵MA=MB（垂直平分线的定义）
∴ PA = PB (等量代换)
由①②可知，该命题成立。
通过证明，我们得到
线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
线段垂直平分线性质定理的逆命题是什么呢？它是真命题吗？应如何证明它的真实性
已知：线段AB，P为平面内一点，且PA=PB.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上。
要证明这个命题成立，只要证明经过点P的线段AB的垂线，平分线段AB就可以了。
P
A
B
C
证明：(1) 当点P不在线段AB所在的直线上时，如图.
∵PA=PB.
∴△PAB是等腰三角形.
过点P作PC⊥AB，垂足为点C.
∴AC=CB(等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合 )
∴点P在线段AB的垂直平分线上(垂直平分线的定义 ).
P
A
B
C
证明：(2) 当点P在线段AB所在的直线上时，
∵PA=PB.（已知）
∴点P是线段AB的中点（线段中点的定义）
∴点P在线段AB的垂直平分线上(垂直平分线的定义 ).
由（1）（2）可知，该命题成立。
到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
证明得：
当堂小练
1.已知：AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上。
求证：AB=AC=CE。
2.已知：如图，AB=AD，BC=DC，E是AC上一点。
求证：BE=DE。
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第5章 几何证明初步
5.6 几何证明举例（2）
学习目标
1.进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。
2.能用“公理”和“已经证明的定理”为依据，
证明等腰三角形的性质定理和判定定理。
证明定理、命题的过程：
1.用数学语言描述定理，即写出“已知，求证”，画出图形；
2.写证明过程。
命题：等腰三角形的两个底角相等
（简称：等边对等角）
已知：如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
A
B
C
D
分析：常见辅助线做法
(1)作底边上的高；(2)作顶角的平分线；(3)作底边上的中线。通过添加辅助线把三角形ABC分成两个全等的三角形，只要证得被分成的两个三角形全等即可得∠B=∠C.
不同与课本的辅助线作法及证明方法。
已知：如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
A
B
C
D
证明：作底边BC上的高AD交BC于点D.
在Rt△ABD和Rt△ACD中,
∵AB=AC(已知)，AD=AD(公共边)，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)。
∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等).
∴∠ADB=∠ADC=90°(垂线的定义)
得等腰三角形的性质定理1:
等腰三角形的两个底角相等。
等腰三角形的性质定理2：
等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合(简称“三线合一”)。
通过Rt△ABD≌Rt△ACD，还可以推得BD=DC，∠BAD=∠CAD。因而AD不仅是底边的高线，还是底边的中线和顶角的平分线。
结合小莹的作法，都可得结论：
A
C
B
D
A
C
B
D
∥
∥
图（2）
图（3）
∟
1
2
∥
A
C
B
D
1
2
性质定理2符号语言的应用
∟
（1）∵AB=AC,
∴AD⊥BC,
BD=CD.
∠1=∠2,
∴AD⊥BC
BD=CD,
∠1=∠2.
（3）∵AB=AC,
AD⊥BC
∴BD=CD,
∠1=∠2.
图（1）
∟
∥
1
2
（2）∵AB=AC,
对于“等腰三角形的两个底角等”，有逆命题吗？逆命题是什么，怎样证明呢？
逆命题：有两个底角相等的三角形是等腰三角形。
A
B
C
D
1.作辅助线AD⊥BC.
2.根据∠ADB = ∠ADC=90°，AD=AD，可推出AB=AC.
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C.
求证： AB=AC
证明方法依然是做辅助线将原三角形分成两个全等的三角形。
A
B
C
D
等腰三角形的判定定理：有两个底角相等的三角形是等腰三角形。
△ABC中，
AC=BC，得∠A=∠B; AB=BC，得∠A=∠C；∴∠A=∠B=∠C. ∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠B=∠C=60°.
等边三角形的每个内角都等于60°吗？它的逆命题又是什么？这个逆命题是真命题吗？
等边三角形的性质定理：
等边三角形的每个内角都是60°.
△ABC中，
∠A=∠B，得AC=BC;
∠A=∠C，得AB=BC；
∴AC=BC=AB.
∴△ABC是等边三角形.
等边三角形的每个内角都等于60°吗？它的逆命题又是什么？这个逆命题是真命题吗？
三个角都相等的三角形是等边三角形。
此即等边三角形的判定定理.
△ABC中，
1)若∠A=60°, AB=AC.
∵∠A=60°，∴∠B+∠C=120°.
∵AB=AC，∴∠B=∠C=60°=∠A.
∴△ABC是等边三角形。
2)若∠B=60°，AB=AC.也可证得△ABC是等边三角形.
还有其他的方法判定等边三角形吗？
等边三角形的判定定理：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
例2：已知：在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，
DE⊥BC，交BC于点E，交CA的延长线于点F。
求证：AD=AF.
分析：从已知出发先由已知AB=AC利用“等边对等角”推得∠B=∠C，再由等角的余角相等推得∠BDE=∠F，进而得到∠ADF=∠F，最后根据“等角对等边” 推出AD=AF。
典例精析
证明：∵AB=AC(已知)，
∴∠B=∠C(等腰三角形两个底角相等)，
∵DE⊥BC（已知），
∴△DEB和△FEC都是直角三角形
(直角三角形的定义)。
∵∠FDA=∠BDE (对顶角相等).
∴∠FDA=∠F(等量代换).
∴AD=AF
(有两个角相等的三角形是等腰三角形).
∴∠BDE=90°－∠B
∠F = 90°－∠C(直角三角形的两个锐角互余).
∴∠FDA = 90°－∠C(等量代换).
证明角或线段的相等的方法：
1）构造全等三角形，利用对应边和角相等证明；
2）找等腰或等边三角形；
3）对顶角相等；
4）等角的余角(或补角)相等；
还有什么其他的方法？
当堂小练
1.已知，如图D是⊿ABC内的一点，且DB=DC，BD平分∠ABC，
CD平分∠ACB.
求证：AB=AC。
C
B
A
D
2.在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请证明DE=BD+EC。
3.如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，
使CE=CD．连接DE．
（1）∠E等于多少度？
（2）△DBE是什么三角形？为什么？
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第5章 几何证明初步
5.6 几何证明举例（4）
学习目标
1.掌握并证明角平分线的性质定理及其逆定理；
2.会运用角平分线的性质定理及其逆定理解决有关实际问题。
角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等。
A
P
M
N
C
B
D
已知：如图，BD是∠ABC的平分线，点P在BD上，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别是点M和N。
求证：PM=PN。
利用角的轴对称性质，通过实验得角平分线的性质：
证明：∵BD是∠ABC的平分线，
∴△BMP=△BNP(AAS).
∴∠ABD=∠CBD(角平分线的性质).
∴∠BMP=∠BNP=90°(垂线的性质)，
∵PM⊥AB，PN⊥BC,
又∵BP=BP(公共边)，
∴PM=PN.
A
P
M
N
C
B
D
通过证明，我们得到
角平分线的性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
角平分线的性质定理的逆命题是什么呢？它是真命题吗？如何证明它的真实性
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
已知：如图，点P是∠ABC内的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别是M与N，且PM=PN。
求证：点P在∠ABC的平分线上。
温馨提示：证明的推理过程可以用文字语言，也可以用符号语言。
证明：连接MN，由PM=PN得等腰三角形PMN，从而∠PMN=∠PNM。由∠PMN与∠BMN互余，∠PNM与∠BNM互余，
可得∠BMN=∠BNM。所以△BMN也是等腰三角形，从而BN=BM。过点B，P作射线BD，由于BP是公共边，根据SSS，可得△PBM≌△PBN。从而∠PBM=∠PBN。因此点P在∠ABC的平分线上。
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
证明得角平分线的性质定理的逆定理：
已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线。
求证：AM，BN，CP交于一点。
要证明三角形的三条角平分线交于一点，只要证明两条角平分线的交点也在第三条角平分线上就可以了。
典例精析
证明：设AM，BN交于点O。过点O分别OD⊥BC，
OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为点 D，E，F.
∵O是∠BAC的平分线AM上一点(已知)，
∴OE=OF (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
同理OF = OD.
∴OD=OE (等量代换).
∵CP是∠ACB的平分线(已知).
∴O在CP上
(角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).
∴AM，BN，CP交于一点.
当堂小练
已知：如图，△ABC中，∠BAC =90°，AD⊥BC于D，AE平∠DAC，EF⊥BC交AC于F，连接BF。
求证：BF是∠ABC的平分线。
A
B
C
D
E
F
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