2.4 线段、角的轴对称性（1）课件（共36张PPT）苏科版数学八年级上册

(共36张PPT)
2 . 4
线段、角的轴对称性
回顾旧知
线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
什么叫线段的垂直平分线？
知识点 1
线段的垂直平分线的性质
如图 2－17，直线 l 是线段AB 的垂直平分线，l 交 AB 于点 O. 把 OA 沿直线 l 翻折，因为∠1＝∠2＝90°，OA＝OB，所以 OA与OB重合.
线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
思 考
如图2－18，线段 AB 的垂直平分线 l 交 AB 于点O，点P在上 PA 与 PB 相等吗
我们可以运用图形运动的方法，利用线段的轴对称性，证明 PA＝PB .
把△PAO沿直线 l 翻折(如图)，因为 ∠POA＝ ∠POB，所以OA 落在射线OB 上，因为 OA ＝OB，所以点A与点B 重合.依据基本事实“两点确定一条直线”，可知 PA 与PB 重合，所以PA＝PB.
于是，我们得到如下定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
如图，
∵点A 在线段BC 的垂直平分线上，
∴ AB＝AC.
几何语言
线段有两条对称轴，线段的垂直平分线是它的对称轴，线段自身所在的直线也是它的对称轴.
易错提醒
特别解读
1. 线段的垂直平分线的性质中的“距离”是“该点与这条线段两个端点的距离”.
2. 用线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，因此它为证明线段相等提供了新方法.
线段的垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相等吗 为什么
讨 论
如图 2－20，点P在线段AB 的垂直平分线 l 外，PA交 l 于点Q，连接 QB. 因为点Q在AB的垂直平分线上，所以 QA＝QB，于是 PA＝PQ＋QA＝PQ＋QB ＞ PB.
练1
如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线分别交 AB、BC 于点D、E，连接AE. 若 AE＝4，EC＝2，则BC 的长是
(　　)
A. 2　　　　B. 4　　　　
C. 6　　　　D. 8
C
方法点拨
利用线段垂直平分线的性质进行线段间的转化，是一种常用的解题方法. 本题中解题的关键是利用线段垂直平分线的性质将BC 的长转化为线段
AE＋EC 的长，即可求解.
解：∵直线DE 是AB 的垂直平分线，
∴ BE＝AE.
∴ BC＝BE＋EC
＝AE＋EC
＝4＋2
＝6.
练 习
1. 利用网格画线段 PQ 的垂直平分线 ：
l
解：如图所示.
2. 如图，要在公路旁设一个公共汽车站，车站应设在什
么地方，才能使 A、B 两村到车站的距离相等
解：如图所示，连接 AB，作线段 AB 的垂直平分线l，直线l交公路于点 C，则点C就是汽车站的位置，此时 A，B 两村到车站的距离相等.
知识点 2
线段的垂直平分线的判定
思 考
如果一个点在一条线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两端的距离相等.反过来，如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上吗
若点Q在线段 AB 上，且 QA ＝QB，则Q是线段 AB 的中点，点Q在线段AB的垂直平分线上(如图 2－21(1)).
若点Q在线段 AB 外，且 QA＝QB，则作 QM⊥AB，垂足为 M (如图 2－21(2)).
由∠QMA＝∠QMB＝90°，QA＝QB，QM＝QM，可证 Rt△QAM ≌ Rt△QBM (HL).
由此可知AM＝BM，即点Q在线
段AB的垂直平分线上.
于是，我们得到如下定理：
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.
几何语言
如图，
∵ AB＝AC，
∴点A 在线段BC 的垂直平分线上.
按下列作法，用直尺和圆规作线段 AB 的垂直平分线：
操 作
作 法 图 形
1.分别以点 A、B 为圆心，大于 AB 的长 为半径画弧，两弧相交于点 C、D. 2.过 C、D 两点作直线. 直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线.
交 流
在△ABC 中，用直尺和圆规分别作AB、AC的垂直平分线l1、l2，l1、l2 相交于点 O，再作 BC 的垂直平分线， 你有什么发现
BC 的垂直平分线过点O.
特别提醒
证明一个点在一条线段的垂直平分线上，还可以利用线段垂直平分线的定义进行推理，思路有两种：
一是作垂直，证平分；
二是取中点，证垂直.
例1 已知：如图2－22，在三△ABC中，AB、AC 的垂直
平分线 l1、l2 相交于点 O.
求证：点 O 在 BC 的垂直平分线上.
证明：连接 OA、OB、OC.
∵点O在AB 的垂直平分线l1 上，
∴ OA＝OB
(线段垂直平分线上的点
到线段两端的距离相等).
同理 OA＝OC.
∴OB＝OC.
∴点 O 在 BC 的垂直平分线上
(到线段两端距离相等的点
在线段的垂直平分线上).
练2
如图，AD 为∠BAC 的平分线，交BC 于点D，AE＝AF. 请判断线段AD 所在的直线是否为线段EF 的垂直平分线，若是，请给予证明；若不是，请说明理由.
教你一招
判断线段垂直平分线的两种方法：
一是定义法，二是判定定理.
一般习惯用定义法进行判断，而利用判定定理判断更简单. 用判定定理判定一条直线是线段的垂直平分线时，一定要证明直线上有两个不同的点到线段两个端点的距离相等.
解：线段AD 所在的直线是线段EF 的垂直平分线.
证明如下：连接DE、DF.
∵ AD 为∠BAC 的平分线，
∴∠EAD＝∠FAD.
在△AED 和△ AFD 中，
AE＝AF，
∠EAD＝∠FAD，
AD＝AD，
∴△ AED ≌△ AFD.
∴ DE＝DF.
∴点D 在线段EF 的垂直平分线上.
∵ AE＝AF，
∴点A 在线段EF 的垂直平分线上.
∴线段AD 所在的直线是线段EF 的垂直平分线.
切忌只证明一个点在直线上，就说过该点的直线是线段的垂直平分线.
练 习
1. 利用网格在图中找一点 O，使OA＝OB＝OC.
O
2. 直线l 外有点 A、B，若要在 l 上找一点，使这点与点
A、B 的距离相等，这样的点一定能找到吗 请你画图
表示各种可能的情况.
解：不一定能找到，各种可能情况如图所示.