2023-2024学年苏科版数学八年级上册2.4 线段、角的轴对称性 第2课时 课件(共36张PPT)

(共36张PPT)
2 . 4
线段、角的轴对称性
知识点 3
角平分线的性质
如图2－23，OC是∠AOB 的平分线，如果把∠1沿 OC 翻折，因为 ∠1＝∠2，所以射线 OA 与射线OB 重合.
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
操 作
在∠AOB 的平分线上任意取一点 P，分别画点 P到OA 和OB 的垂线段PC和PD(如图2－24)，PC与PD 相等吗
我们可以运用图形运动的方法，利用角的轴对称性，证明 PC＝PD .
把图2－24 中的△POC 沿OP 翻折(如图 2－25)，因为∠AOP＝∠BOP，所以OA与OB 重合，因为 PC⊥OA，PD⊥OB，依据基本事实“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，可知 PC 与 PD 重合，所以 PC＝PD.
于是，我们得到如下定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等.
讨 论
如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等；
反过来，如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上吗
如图 2－26，点Q在∠AOB 内且QC⊥OA，QD⊥OB，垂足分别为 C、D，QC＝QD，作射线 OQ.
因为∠QCO＝∠QDO＝90°，QC ＝QD，OQ＝OQ，所以 Rt△QCO ≌ Rt△QDO.
于是∠AOQ＝∠BOQ，即
点Q在∠AOB 的平分线上.
于是，我们得到如下定理：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
几何语言
如图，
∵ OP 平分∠ AOB，
PD⊥OA 于点D，
PE⊥OB 于点E，
∴ PD＝PE.
线段垂直平分线的性质与角平分线的性质的比较
相同点：两者都可以直接得到两条线段相等；
不同点：前者指的是点到点的距离，后者指的是点
到线的距离.
1. 角平分线的性质是由两个条件(角平分线、垂线)得到一个结论(线段相等).
2. 利用角平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”而不是“垂直于角平分线的线段”.
特别提醒
练3
如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点D. 若CD＝6，则点D 到 AB 的距离为___________．
6
运用角平分线的性质解决问题时， 条件中必须有角平分线的性质的模型(即角平分线＋两垂直)， 若缺少某个部分， 则通过作辅助线补充完整，才能运用此性质解决问题.
方法点拨
解：如图，过点D 作DE ⊥ AB，垂足为E．
∵∠C＝90°，
∴ DC ⊥ BC.
又∵ BD 平分∠ ABC，
∴ DE＝CD＝6，
即点D 到AB 的距离为6．
练 习
利用网格画图：
(1) 在 BC 上找一点P，使点 P 到
AB 和 AC 的距离相等；
(2) 在射线 AP 上找一点Q，使
QB＝QC.
解：如图所示(1)画出∠BAC 的角平分线交线段 BC 于点P，即为所求.
(2) 画线段 BC的垂直平分线交射线AP于点Q即为所求.
知识点 4
角平分线的判定
交 流
在△ABC 中，用直尺和圆规分别作角平分线 AD、BE，AD、BE 相交于点P，再作∠C的平分线，你有什么发现
∠C的平分线过点P.
判 定
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
几何语言
如图，
∵ P 为∠AOB 内一点，PD ⊥ OA，
PE⊥OB，垂足分别为D、E，
且PD＝PE，
∴点P 在∠AOB 的平分线OC 上.
角平分线的判定定理与性质定理的关系
如图，都与距离有关，条件 PD⊥OA，PE⊥OB 都具备；
(2) 点在角的平分线上 (角的
内部的)点到角两边的距离相等.
三角形三个内角的平分线交于一点且这点到三边的距离相等.
拓 展
特别提醒
1. 使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部.
2. 角平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等)得到一个结论(角平分线).
3. 角平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据，它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷.
例2 已知：如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P .
求证：点P在∠C的平分线上.
证明：
过点 P作PF⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC，
垂足分别为 F、M、N.
∵AD平分∠BAC，点P在AD上.
∴ PF＝PN
(角平分线上的点到角两边的距离相等).
同理 PF＝PM.
∴ PM＝PN.
∴点P在∠C的平分线上
(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)
例3 已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别为 E、F.
求证：AD垂直平分EF.
思考与表述
要证 AD 垂直平分 EF，
只要证 DE＝DF，AE＝AF.
已知∠1＝∠2，
DE⊥AB，DF⊥AC，
只要证 ∠3＝∠4.
怎么想
怎么写
证明：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∠1＝∠2，
∴ ∠3＝∠4，
∴ DE＝DF，AE＝AF
(角平分线上的点到角两边的距离相等).
∴ 点 D、A在 EF 的垂直平分线上
(到线段两端距离相等的点在线
段的垂直平分线上).
∴ AD 垂直平分 EF.
如图，BE＝CF，BF ⊥ AC 于点F，CE ⊥ AB 于点E，BF 和CE 交于点D，连接AD.
求证：AD平分∠ BAC.
练4
证明角平分线的方法:
1. 从数量上证明被要证的线分成的两个角相等.
2. 从形上证明角的内部的点到角两边的距离相等，即只需从要证的线上的某一点向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等即可．这样把证“某线是角的平分线”的问题转化为证“垂线段相等”的问题，体现了转化思想.
方法点拨
证明：∵ BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠DEB＝∠DFC＝90° .
在△BDE 和△CDF 中，∠BDE＝∠CDF，
∠DEB＝∠DFC，BE＝CF，
∴△BDE ≌△CDF.
∴ DE＝DF.
又∵ DF⊥AC，DE⊥AB，
∴点D在∠BAC 的平分线上，即AD平分∠BAC.
练 习
在一张纸上画△ABC 及其两个外角(如图).
(1) 用折纸的方法分别折出∠BAD
和∠ABE 的平分线，设两条折痕的
交点为 O；
O
(2) 用直尺和圆规作∠ACB 的平分线CF. 点O在射线 CF 上吗 证明你的结论.
点O在射线CF上.
证明如下：分别过点O作OM⊥CD，
OP⊥AB，ON⊥CE，垂足分别为
M，P，N.
∵ AO是∠BAD的平分线，OM⊥CD，OP⊥AB，
∴ OM＝OP (角平分线上的点到角两边的距离相等)
同理，可得ON＝OP，
∴OM＝ON，
∴CO是∠DCE 的平分线
(角的内部到角两边距离相等
的点在角的平分线上).
又∵CF 是∠DCE 的平分线，
∴点O，C，F 共线，即点O在射线CF上.
本课小结
全等图形
线段的垂直平分线
线段的轴对称性
角的轴对称性
角平分线
判定
性质