2023-2024学年苏科版数学八年级上册3.2 勾股定理的逆定理 课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
3 . 2
勾股定理的逆定理
回顾旧知
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2＋b2＝c2
我们知道直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
反过来，如果一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形吗
如图 3－7(1)，在△ABC中，a2＋b2＝c2，△ABC 是否为直角三角形
可以用如下方法证明△ABC 是直角三角形：
画Rt△A′B′C′，使∠C ＝90，BC′＝a，AC′＝b (如图3－7(2)).
根据勾股定理，可得AB2 ＝a2＋b2
因为 AB2＝a2＋b2，
所以 A′B′2 ＝AB2，A′B′＝ AB.
根据“SSS”，可证△ABC≌△A′B′C′.
于是，∠C＝∠C′＝90°，
△ABC 是直角三角形.
勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为 a、b、c，且 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形.
满足关系 a2＋b2＝c2 的3个正整数 a、b、c 称为勾股数.
练 1
判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形：
(1) 在△ABC 中，∠A＝25°，∠C＝65°；
(2) 在△ABC 中，AC＝12，AB＝20，BC＝16；
(3) 一个三角形的三边长 a、b、c 满足 a∶b∶c ＝ 3∶4∶5 .
判断一个三角形是不是直角三角形有两种方法：
1. 如果已知条件与角度有关，那么可借助三角形的内角和定理判断是否有一个内角是直角；
2. 如果已知条件与边有关，一般利用勾股定理的逆定理，通过计算得出三边的数量关系，判断三角形的形状.
解法提醒:
(1) 在△ABC 中，∠A＝25°，∠C＝65°；
解：在△ABC 中，
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∠A＝25°，∠C＝65°，
∴∠B＝180°－25°－65°＝90°，
∴ △ABC 是直角三角形.
(2) 在△ABC 中，AC＝12，AB＝20，BC＝16；
解：在△ABC 中，
∵ AC2＋BC2＝122＋162
＝202＝AB2，
∴ △ ABC 是直角三角形.
(3) 一个三角形的三边长 a、b、c 满足 a∶b∶c ＝ 3∶4∶5 .
解：设a＝3x，则b＝4x，c＝5x.
∵ (3x)2＋ (4x)2＝ (5x)2，
即 a2＋b2＝c2，
∴ △ABC 是直角三角形.
利用边的关系判定直角三角形的步骤
(1)“找”：找出三角形三边中的最长边；
(2)“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方；
(3) “判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角
形，否则不是.
练 2
已知 a、b、c 为△ABC 的三边长，且满足：
a2c2－b2c2＝a4－b4，
试判断△ABC 的形状.
解：∵ a2c2－b2c2=a4－b4，
∴ c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2+b2),
即(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0.
易错提醒：
两个因式的积为0，则有一个因式为0 和两个因式都为0两种情况；判断三角形形状时，不仅要考虑是否为直角三角形，还要考虑是否为等腰三角形. 本题易丢掉情况(2)，在化简过程中没有考虑到a2－b2＝0的情况就直接在等式两边除以一个可能为0 的数，从而导致了错误.
(1) 当a2－b2 ≠ 0 时，则有c2＝a2＋b2.
∴△ABC 是直角三角形.
(2)当a2－b2＝0，即a＝b 时，若a2＋b2－c2≠0，则△ABC
是等腰三角形；若a2＋b2－c2＝0，则△ABC是等腰直
角三角形.
综上所述，△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.
美国哥伦比亚大学图书馆收藏着一块编号为“普林顿 322”(plimpton322)的古巴比伦泥板.
“普林顿322”泥板
泥板摹真图
泥板上的一些神秘符号揭示了什么奥秘呢
经过专家的潜心研究，发现这块泥板文书实际是一张表格，表格里是些整数，计算考证表明，表格中的两列数字恰好分别是直角三角形的斜边和一条直角边的长，运用勾股定理算得另一条直角边的长(图中左边的一列)，竟然也是整数!图中的数组都是勾股数.
现在，人们通过研究发现：勾股数有无数多组.
勾股数必须同时满足两个条件：
(1) 三个数都是正整数；
(2) 两个较小数的平方和等于最大数的平方.
判断一组数是否为勾股数的一般步骤
(1)“看”：看是不是三个正整数；
(2)“找”：找最大数；
(3)“算”：计算最大数的平方与两个较小数的平方和；
(4) “判”： 若两者相等， 则这三个数是一组勾股数；
否则，不是一组勾股数.
1. 勾股数有无数组；
2. 如果 a，b，c 是一组勾股数， 那么 na，nb，nc (n 为正整数)也是一组勾股数.
特别提醒
练 3
下列四组数据，不是勾股数的是(　　)
A. 3，4，5 　
B. 5，6，7 　
C. 6，8，10 　
D. 9，40，41
B
练 习
1. 如图，把 12 段同样长的绳子连成环状，拉直点 B 到
点C 之间的 5 段绳子，然后在点 A 处将绳子拉紧，
则∠BAC 为直角. 你能说明其中的道理吗
解：∵AC2＋AB2＝32＋42
＝52＝BC2.
∴△ABC 为直角三角形，且∠BAC＝90°.
2. 如果3条线段的长分别为a、b、c，且满足c2＝a2－b2，
那么由这 3 条线段组成的三角形是直角三角形吗
为什么
解：是直角三角形.
由c2＝a2－b2，移项，得 b2＋c2＝a2，
所以这3条线段组成的三角形是以 a为斜边的直角三角形.
3. 下列各组数是勾股数吗 为什么
(1) 12，15，18；
(2) 11，60，61；
解：不是勾股数.
因为 122＋152≠182，所以12，15，18不是勾股数.
解：是勾股数.
因为 112＋602＝612，所以11，60，61是勾股数.
(3) 15，36，39；
(4) 12，35，36.
解：是勾股数.
因为 152＋362＝392，所以15，36，39是勾股数.
解：不是勾股数.
因为 122＋352≠362，所以12，35，36不是勾股数.
本课小结
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
勾股数
勾股定理
数形结合
本课结束
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