2023-2024学年苏科版数学八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性 第1课时 课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
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看到下边三角形了吗，它有何特点呢？
我们今天来探讨一下等腰三角形的性质.
腰
腰
顶角
底角
底角
底边
2 . 5
等腰三角形的轴对称性
第1课时
等腰三角形的性质
把等腰三角形纸片沿顶角平分线折叠，你有什么发现
如图(1)，在△ABC 中，AB ＝AC沿∠BAC 的平分线AD 把△ABD 翻折.
探 索
因为∠BAD＝∠CAD，
所以AB 落在射线 AC 上.
因为AB＝AC，
所以点 B 与点 C 重合，
从而△ABD 与△ACD 重合(2).
等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴.
由 △ABD 与△ACD 重合，可知∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC＝90°，BD＝CD.
于是，我们得到如下定理：
等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).
等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.
讨 论
你还可用什么方法证明上述定理
作顶角的平分线，用“SAS”证明.
作底边上的中线，用“SSS”证明.
也可以作底边上的高，用“HL”证明.
几何语言：
如图，在△ ABC 中，
∵ AB＝AC，
∴∠B ＝∠ C.
性质1
等腰三角形的两底角相等 (简称“等边对等角”).
作用：是证明角相等的常用方法，应用它证角相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便.
特别提醒
性质2
等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合
(简称“三线合一”).
(1) ∵ AB＝AC，AD⊥BC，
∴ AD 平分∠ BAC，BD＝DC.
(2)∵ AB＝AC，BD＝DC，
∴ AD⊥BC，AD 平分∠BAC.
(3)∵ AB＝AC，AD 平分∠BAC，
∴ BD＝DC，AD ⊥ BC．
几何语言：
练习
如图， 在△ABC 中，AB＝AC，AD 平分∠BAC.
(1) 求∠ADB 的度数；
(2) 若∠BAC＝100°，求∠B、∠C 的度数；
(3) 若BC＝3 cm，求BD 的长.
(1) 在等腰三角形中，运用“三线合一”时，已知其中“一线”，就可以得到另外“两线”. 根据等腰三角形的“三线合一”的性质可以得到等线段、等角以及两条线段互相垂直．
(2) “等边对等角”的前提是在同一个三角形中.
特别提醒
(1) 求∠ADB 的度数；
解：∵ AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴ AD ⊥ BC，
∴∠ ADB＝90° .
(2) 若∠BAC＝100°，求∠B、∠C 的度数；
解：在△ABC 中，
∵ AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴ ∠B ＝∠C＝×(180 °－ ∠BAC)
＝ ×(180 °－100°)
＝ 40°.
(3) 若BC＝3 cm，求BD 的长.
解：∵ AB＝AC，AD 平分∠BAC，
∴ AD 是BC 边上的中线，
∴ BD＝ BC＝ ×3＝1.5(cm)，
即BD 的长是1.5 cm.
操 作
按下列作法，用直尺和圆规作等腰三角形 ABC，使底边 BC＝a，高AD＝h.
作 法 图 形
1. 作线段 BC＝a. 2. 作线段 BC的垂直平分线MN，MN交BC 于点 D. 3. 在 MN 上截取线段 DA，使 DA＝h. 4. 连接 AB、AC. △ABC 就是所求作的等腰三角形.
例 1 已知：如图2－30，在△ABC 中，AB＝AC，点D
在BC 上，目AD＝BD.
求证：∠ADB＝∠BAC.
思考与表述
要证 ∠ADB＝∠BAC，
由于 ∠BAC＝∠1＋∠2，
∠ADB＝∠C＋∠2.
只要证 ∠1＝∠C.
只要找与∠1相等且与∠C也相等的角.
怎么想 怎么写
证明：
∵AB＝AC，AD＝BD，
∴∠B＝∠C，∠B＝∠1(等边对等角)
∴∠C＝∠1.
∵∠ADB 是△ADC 的外角，
∴∠ADB＝∠C＋∠2.
∴∠ADB＝∠1＋∠2＝∠BAC.
练 习
1. 在 △ABC 中，AB＝AC，点D在 BC 上.
如果∠BAD ＝∠CAD，那么AD⊥BC，BD＝CD；
如果 BD＝CD，那么∠_______＝∠_______，________⊥________；
如果 AD⊥BC，那么________________，________.
BAD
CAD
AD
BC
∠BAD＝∠CAD
BD＝CD
2. 在 △ABC 中，AB＝AC.
(1) 如果∠B＝70°，那么∠C＝_______°，
∠A＝_______°；
(2) 如果∠A＝70°，那么∠B＝ _______°，
∠C＝_______°；
(3) 如果有一个角等于120°，那么∠A＝ _______°，
∠B ＝_______°，∠C ＝ _______°.
70
40
55
55
120
30
30
(4) 如果有一个角等于 50°，那么另两个角等于多少度
解：当顶角为 50°，即∠A ＝ 50°时，另两个角∠B＝∠C ＝(180° － 50°) ÷2 ＝ 65°；
当底角为 50°，如∠B＝50°时，则另两个角∠C＝50°，∠A＝180° － 50° × 2 ＝ 80°.
3. 在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，∠BAC ＝ 110°，
AD⊥BC.
求∠B、∠C、∠BAD、∠CAD 的度数.
解：∵AB ＝ AC，∠BAC ＝ 110°，
∴ ∠B＝∠C ＝＝35°(等边对等角).
又∵AD⊥BC，
∴AD 平分∠BAC(等腰三角形底边上的高线、顶角平分线重合)，
即∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝55°.
本课结束
This lesson is over
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