2023-2024学年苏科版数学八年级上册4.1 平方根 课件(共38张PPT)

(共38张PPT)
4 . 1
平方根
课时导入
在图 4－1中，小方格的边长为 1. 你能算出图中 AB、AB的长吗
AB2＝32＋42＝25.
AB＝5.
A′B′2＝42＋52＝41.
A′B′＝
要解决小丽的问题，就要研究当 x2＝a 时， x是什么数
当 x2＝4 时，因为 22＝4，(－2)2＝4，所以 x＝±2；
当 x2＝100 时，因为 102＝100，(－10)2＝100，所以 x＝±10；
当 x2＝169 时，因为132＝169，(－13)2＝169，所以 x＝±13.
可以看出，使 x2＝a (a＞0) 成立的数有两个，它们互为相反数.
如果 x2＝a (a ＞0) 那么叫做 a 的平方根，也称为二次方根.
知识点 1 平方根
定 义
正数 a 的两个平方根记作± ，读作正、负根号a.
正数a 的正的平方根记作，
正数a 的负的平方根记作－.
表示方法
例如，2 的平方根记作± .
1. 求一个正数的平方根，先找出平方等于这个正数的数，这样的数有两个，它们互为相反数，因而这两个数均为这个正数的平方根.
2. (a≥0)实际上是省略了 2 中的2，2 叫做
根指数.
特别解读
图中，A′B′2＝41，A′B′是41的正的平方根，记作 .
我们曾将两个边长为 1 的正方形剪拼成一个边长为 a 的正方形，它的面积为 2，即 a2 ＝ 2，a是2的正的平方根，记作 .
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交 流
下列各数有平方根吗 如果有，请写出来；如果没有，请说明理由.
9，5，，0， －， －8，－36.
9，5，，0， －， －8，－36.
∵9＞0，∴9有平方根，平方根是±.
∵5＞0，∴5有平方根，平方根是±.
∵＞0，∴ 有平方根，平方根是±.
0有平方根，0的平方根是0.
9，5，，0， －， －8，－36.
∵＞0，∴－ 没有平方根.
∵ －8＜0，∴－8 没有平方根.
∵－36＜0，∴－36 没有平方根.
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
0的平方根是0；
负数没有平方根.
求一个数的平方根的运算叫做开平方.
例1 求下列各数的平方根：
(1) 25； (2) ； (3) 15； (4) 0.09.
解：(1) 25 的平方根是±，即±5；
(2) 的平方根是±，即±；
(3) 15 的平方根是± ；
(4) 0.09 的平方根是± ，即±0.3.
(1) 一个正数的平方根是2a－1 和a－5，则这个正数是多少？
练1
解：根据题意，得(2a－1) ＋(a－5)＝0，
解得 a＝2，
∴这个正数为(2a－1)2＝ (2×2－1)2＝9.
(2) 已知2a－1 与－a+2 是 m 的平方根，求 m 的值.
解：根据题意，分以下两种情况：
① 当2a－1＝－a＋2 时，a＝1，
∴ m＝ (2a－1)2＝ (2×1－1)2＝1.
② 当(2a－1) ＋(－a＋2) ＝0 时，a＝－1，
∴ m＝ (2a－1)2＝[2×(－1)－1]2＝ (－3)2＝9.
故m 的值为1 或9.
练 习
写出下列各数的平方根：
81，289，0，2，2.56，0.81.
解：81的平方根是±，即±9；
289 的平方根是±，即±17；
0的平方根是0；
2＝ ， 2的平方根是± ，即±；
2.56的平方根是±，即±1.6；
0.81的平方根是±，即±0.9.
知识点 2 算术平方根
定 义
我们知道，正数a有两个平方根±，我们把正数 a 的正的平方根，叫做 a 的算术平方根.
0 的平方根也叫做 0 的算术平方根，即 ＝0.
表示方法
正数a 的算术平方根表示为， 读作根号a，a 叫做被开方数.
例如，4 的平方根是±，即±2，其中2叫做4的算术平方根；
2 的平方根是±，其中叫做 2 的算术平方根.
(1) 算术平方根 具有双重非负性：
① 被开方数a 是非负数，即a ≥ 0；
② 算术平方根是非负数，即 ≥0.
(2) 算术平方根是它本身的数只有0 和1.
特别解读：
1. 区分清楚算术平方根是平方根中的一个；
2. 求一个正数的平方根时，不能遗漏负的平方根.
易错警示
例2 求下列各数的算术平方根：
(1) 625； (2) 0.008 1； (3) 7.
解：(1) 625 的算术平方根是，即 25；
(2) 0.0081的算术平方根是，即 0.09；
(3) 7 的算术平方根是 .
练2
求下列各数的算术平方根：
(1) 2 ； (2) (－5)2； (3) ； (4)7.
解：(1)因为 ()2 ＝＝2，
所以 2 的算术平方根是 ，即 ＝ .
(2) 因为(－5)2 ＝ 52，
所以(－5)2 的算术平方根是5，即 (－5)2 ＝ 5.
(3) 因为 ＝ 9，9 的算术平方根是3，
所以 的算术平方根是3.
(4) 7 的算术平方根是 .
求一个数的算术平方根必须明确两点：
1. 这个数是非负数；
2 .求出的算术平方根(结果)必须是非负数.
知识储备
例3 ()2、()2、 有意义吗 如果有，求它的值.
解： ()2表示“3 的算术平方根的平方”，根据算术平方根的意义，得()2 ＝ 3.
没有意义， ()2 也就没有意义.
表示－5 的平方 (即 25) 的算术平方根， ＝5.
例 4 “欲穷千里目，更上一层楼”. 说的是登得高看得远。如图，若观测点的高度为h，观测者视线能达到的最远距离为d，则 d≈，其中 R 是地球半径，约等于6400 km.
小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为 20 m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时d的值.
解：由 R＝6400 km，h＝0.02 km，
得 d≈
＝＝16(km).
练3
已知直角三角形的两边长分别为3 和4，求第三边的长.
解：当两条直角边的长分别为3 和4 时，第三边的长为 ＝ ＝5；
当斜边的长为4，一条直角边的长为3 时，第三边的长为 ＝ .
思 考
1. ()2 等于多少 ()2 呢
()2＝(0.1)2 ＝ 0.01.
()2＝5.
2. 等于多少 等于多少
＝16.
＝16.
练 习
1. 写出下列各数的算术平方根：
0.01， ，0，10， (－)2.
解：0.01的算术平方根是，即0.1；
的算术平方根是，即.
0 的算术平方根是0；
10 的算术平方根是；
(－)2的算术平方根是.
2. ()2、()2、、 有意义吗 如果有，
求它的值.
解： ()2、、 有意义，
()2 ＝4， ＝ ， ＝2.
()2无意义.
本课小结
平方根
1. 定义：
若x2＝a，则x叫做a的平方根.
2. 性质：
一个正数有两个平方根，它们互为相反数，
0的平方根是0，负数没有平方根.
3. 平方根与开平方间的关系：
(1)开平方是求平方根的运算；
(2)平方根是开平方运算的结果.
4. 求一个非负数的平方根的方法：
① 求一个非负数a的平方根，就是要把平方后等于a的
数找出来，从而求出a的所有平方根；
② 求带分数的平方根时，应先将带分数化为假分数，
这也是常出错的地方.
注意：正数的平方根有两个，前面必定有“±”号.