2023-2024学年苏科版数学八年级上册4.3 实数 课件(共51张PPT)

(共51张PPT)
4 . 3
实 数
回顾旧知
什么是有理数？有理数怎样分类？
有理数
整 数
分 数
有理数
正有理数
负有理数
0
第1课时
实数及其分类
尝 试
1. 如图 4－3，OB＝BA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4 ＝A4A5＝··· ＝1，∠A1BO＝∠A2A1O＝∠A3A2O＝∠A4A3O＝∠A5A4O＝···＝90°.
试计算 a12、a22、a32、a42、a52，你能说出 a1、a2、a3、a4、a5 的值吗
a1＝，a2 ＝ ······
2. 你能画出长度分别为cm、 cm、 cm ······
的线段吗
3. 画半径为 1cm 的圆，计算这个圆的周长、面积.
周长为 2π cm，
面积为 π cm2.
像 、 、 、 、 、 、π、2π等，这些数都是无理数.
计算器操作
求的近似值，依次按以下各键：
·
3
＝
S<=>D
a
Y
<=>
知识点 1 无理数
定义：
无限不循环小数叫做无理数．
小数位数无限，小数形式为不循环．
判断标准
(1) 开方开不尽的数，如 ， ，···；
(2) 含有π的一类数： π， π，π＋1，···；
(3) 以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 0.101 001 000 1…(每相邻两个1之间依次多一个0)
三种常见形式：
(1) 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数；
(2) 带根号的数不一定都是无理数，不带根号的数也不一定就是有理数.
易错提醒：
知识点 2 实 数
有理数和无理数统称为实数.
实数的概念
实数可以分类如下：
实数
有理数
无理数
正有理数
负有理数
0
正无理数
负无理数
有限小数或循环小数
无限不循环小数
练 1
把下列各数填入相应的集合内：
－， －，， ， － ，0， －π， －，
－4.0，3.1010010001···(每相邻两个1之间0的个数逐次加1)
有理数集合：{ … } ；
无理数集合：{ … } ；
整数集合：{ … } ；
分数集合：{ … } ；
正实数集合：{ … } ；
负实数集合：{ … }
－，，－，0，－，－4.0
－，，－π，－，3.1010010001···
－ ，0，
－， ， －，－4.0
， ，－ ，3.1010010001···
－，－，－，－π，－，－4.0
无理数可以用数轴上的点来表示，例如，在图 4－4 中，点 A 表示，点 B 表示.
知识点 3 实 数与数轴
探 索
试在图 4－4 中画出表示、 的点.
如图所示，点 C 表示 ，点 D 表示 .
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应.
实数与数轴间的关系：
可用两点所表示的实数来表示，即点A、点B 在数轴上表示的实数分别为x1、x2，
则 AB＝ |x1－x2| .
数轴上两点间的距离
练 2
请在如图所示的数轴上分别作出表示 － 和 的点.
解： 如图， 表示－ 和 的点分别是A、B.
练 2
点 A 在数轴上表示的数为 3 ，点B 在数轴上表示的数为－5，则A、B两点之间的距离为 .
解：由题意得︱ 3－(－ 5 )︱ ＝ 3 ＋ 5 .
练 习
把下列各数填入相应的括号内：
4 ，－，0.，，，， ， －，0.010 010 001 000 01···.
(1) 有理数：{ ···}；
(2) 无理数：{ ···}；
(3) 正实数：{ ···}；
(4) 负实数：{ ···}；
4 ，0.，，，－，
－，， ， 0.010 010 001 000 01···
4 ，0.，，， ，0.010 010 001 000 01···
－，，－，
本课小结
实数及其分类
1、无限不循环的小数 叫做无理数.
有理数和无理数统称实数.
2、实数与数轴上的点是一一对应的.
3、同样的，平面直角坐标系中的点与有序实数对是
一一对应的.
第2课时
实数的性质
有理数的绝对值、相反数、倒数的意义，有理数大小比较的方法有理数的运算性质、运算律，在实数范围内都仍然适用.
在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且可以进行开立方运算以及非负实数的开平方运算.
知识点 4 实数的性质
思考
(1) 的相反数是________，－π的相反数是______，
0的相反数是______；
(2) | | ＝ _______， |－π|＝______， |0|＝ ______.
π
0
π
0
－
(1) 相反数：实数a 的相反数为－a，若a、b 互为相反数，则a＋b＝0；
(2) 倒数：非零实数 a 的倒数为 ， 若a、b 互为倒数，则 ab＝1；
相关概念
|a|＝
a (a≥0),
a (a＜0),
在有理数范围内的一些基本概念(如相反数、倒数、绝对值)在实数范围内依然适用.
(2) 对实数的有关概念进行辨析时，错误的说法只需举一个反例即可.
特别提醒：
比较实数的大小
(1) 定义法：正数大于0，负数小于0，
正数大于一切负数；
(2) 性质法：两个正数, 绝对值大的数大；
两个负数，绝对值大的数反而小.
练 3
求下列各数的相反数、倒数和绝对值.
(1) ， (2) － ，(3) ， (4) 2－ .
相反数：
倒数：
绝对值：
－
－
－
－2
2－
知识点 5 实数的运算
1. 在实数范围内，进行加、减、乘、除、乘方和开方运算时，有理数的运算法则和运算律仍然适用；实数混合运算的运算顺序与有理数的混合运算顺序一样，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号的先算括号里面的．
2. 实数的运算律
加法交换律：a＋b＝b＋a；
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
乘法交换律：ab＝ba；
乘法结合律：(ab)c＝a(bc)；
乘法分配律：(a＋b)c＝ac＋bc.
练 4
计算：
(1) ＋|－6| －22； (2) ()－1 ＋( －1)0 － ；
(3) －(－1)2 －(π －1)0＋2－1.
解：(1)原式＝2＋6 － 4＝4．
(2) 原式＝3＋1 － 2＝2．
(3) 原式＝2 －1－1＋ ＝ ．
例1 用计算器比较－与－ 的大小.
解：依次按以下各键： ，
计算器显示的结果为－ 2.080 083 823.
依次按以下各键：
，
计算器显示的结果为－ 2.080 024 038.
因为－ 2.080083 823 ＜ － 2.080 024 038，
所以－＜ － .
例2 用计算器计算：
(1) ＋π； (2) 3×－ ；
(3) ＋3－(＋ ).
解：(1) 依次按以下各键：
计算器显示的结果为 5.377 660 631，
即 ＋ π ≈5.377 660 631；
解：(2)依次按以下各键：
，
计算器显示的结果为 2.982 719 637，
即3×－ ≈2.982 719 637；
(2) 3×－ ；
(3) ＋3－(＋ ).
解：＋3－(＋ ) ＝ ＋3－－
＝ 3－.
依次按以下各键：
计算器显示的结果为 0.763 932 022 5，
即＋3－(＋ ) ≈ 0.763 932 0225.
交 流
先通过估算比较下列各组数的大小，再用计算器验证：
(1) －与－1.5；
| － | ＝ ，| －1.5 | ＝ 1.5，
∵()2＝3 ＞ 1.52 ＝2.25，
∴ | － | ＞ | －1.5 | ，
∴ －＜ － 1.5.
(2) 与0.5.
∵5 ＞4，
∴ ＞ 2，
∴ ＞ 1，
∴ ＞ ，即 ＞0.5.
练 习
1. 估算(精确到个位)：
(1) ； (2) .
解：(1)∵64＜68＜72.25，
∴8＜＜8.5，
∴ ≈8.
解：(2)∵91.125＜120＜125，
∴4.5＜＜5，
∴≈5.
2. 用计算器比较下列各组数的大小：
(1) 与； (2) 与；
(3) 与.
＜
＞
＜
3. 用计算器计算：
(1) 3×－2π； (2) －2×＋5× ；
(3) －(＋ ).
≈ － 2.040 544 62.
≈ 1.827 469 294.
≈ － 1.555 683 434.
阅 读
证明 是无理数
我们可以用下面的方法证明 是无理数：
假设是有理数，那么可以写成 (m、n是正整数，且没有大于1的公约数)，即＝ .
根据平方根的意义，() ＝ 2，即 ＝2，2n2＝m2.
由于上式左边是偶数，所以右边也是偶数，从而可知 m 是偶数.
设 m＝2p(p是正整数)，
把 m＝2p 代入 2n2＝m2，得2n2＝4p2，即 n2＝2p2.
因此，n也是偶数.
于是，m、n 都是 2的倍数，这与 m、n 没有大于1的公约数相矛盾.
因此，＝ 是不可能的，也就是说不是有理数，它是无理数.
本课小结
实数的性质
1. 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.
3. 在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性
质同样适用.
2. 实数的大小比较方法有：利用数轴比较、利用绝对
值比较、求平方比较、求差比较、求商比较和计
算近似值比较等方法.