2023-2024学年苏科版数学八年级上册6.2 一次函数 课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
6 . 2
一次函数
回顾旧知
什么叫函数
在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.
函数有图象、表格、关系式三种表达方式.
给汽车加油的加油枪流量为 25 L/min. 如果加油前油箱里没有油，那么在加油过程中，油箱里的油量与加油时间之间有怎样的函数关系
如果加油前油箱里有 6 L油呢
用y(L)表示油箱中的油量，x(min)表示加油的时间，如果加油前油箱里没有油，那么y与 x 之间的函数表达式为y＝25x.
如果加油前油箱里有 6L油，那么y与x之间的函数表达式为 y＝25x＋6.
讨 论
函数表达式y＝25x、y＝25x＋6、Q＝40－、y＝100t、g＝h－105 有什么共同特征
这些函数表达式的共同特征是等号右边的代数式都是关于自变量的整式的形式，而且自变量的次数都是 1，一次项系数都不为 0.
知识点 1 一次函数与正比例函数的定义
定 义
一般地，形如 y ＝ kx ＋ b (k、b为常数，且 k ≠0) 的函数叫做一次函数，其中x 是自变量，y是x的函数.
特别地，当 b＝0 时，y＝kx ( k 为常数，k≠0)，y叫做x的正比例函数.
(1) 一次函数y＝kx＋b (k≠0)的结构特征：
① k ≠ 0；
②自变量x 的次数是1；
③常数项 b 可以是任意实数.
所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
(2) 函数是一次函数，则函数表达式为y＝kx＋b(k、b 是常数，k ≠ 0)；
(3) 正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
练 1
下列函数中，哪些是一次函数？
(1) y＝3x2－x(3x－2)； (2) x2＋y＝1； (3) y＝－ .
解：(1)因为y＝3x2－x(3x－2) ＝2x，
所以y＝3x2－x(3x－2)是一次函数；
(3) 因为y＝－ 中－ 不是整式，不符合y＝ kx＋b 的形式，
所以 y＝－ 不是一次函数
(2) x2＋y＝1，即y＝1－x2. 因为x的次数是2，
所以 x2＋y＝1不是一次函数；
练 2
已知关于x 的函数 y＝ (m＋1)x2－|m|＋n＋4．
(1) 当m，n 为何值时，此函数是一次函数？
(2) 当m，n 为何值时，此函数是正比例函数？
解：(1)根据题意，得 2－|m|＝1， ①
m＋1≠0， ②
由①，得m＝±1，由②，得m≠－1．
∴当m＝1，n 为任意实数时，这个函数是一次函数.
(2) 由题意，得 2－|m|＝1，
m＋1≠0，
n＋4＝0.
解得 m＝1，n＝－4.
∴ 当m＝1，n＝－4 时，这个函数是正比例函数．
交 流
用函数表达式表示下列变化过程中两个变量之间的关系，并指出其中的一次函数、正比例函数.
(1)正方形面积S随边长变化而变化；
S＝x2，S 既不是变量 x 的一次函数，也不是正比例函数.
(2) 正方形周长l随边长x 变化而变化；
(3) 长方形的长为常量 a 时，面积 S 随宽x变化而变化；
l＝4x，l是变量 x 的一次函数，也是正比例函数.
S＝ax( a 是常量)，S 是变量 的一次丽数，是正比例函数.
(4) 高速列车以 300 km/h 的速度驶离 A 站，列车行驶的路程y(km)随行驶时间 t (h)变化而变化；
y＝300t，y 是变量t的一次函数，也是正比例函数.
(5) 如图6－6，A、B两站相距 200 km，一列火车从 B 站出发以120 km/h 的速度驶向 C站，火车离 A 站的路程 y (m)随行驶时间 t (h)变化而变化.
y＝120t＋200，y 是变量t的一次函数，但不是正比例函数.
练 习
1. 水池中有水 465 m，每小时排水 15 m，排水 t h后，水
池中还有水 y m. 试写出 y与t 之间的函数表达式.
解：y＝465－15t (0＜t＜31).
2. 一个长方形的长为15 cm，宽为 10 cm. 如果将长方形
的长减少x cm，宽不变，那么长方形的面积 y(cm2)与
x (cm)之间有怎样的函数表达式
解：y＝(15－x)×10＝150－10x，
即 y＝150－10x (0≤x＜15).
例1 一盘蚊香长 105 cm，点燃后，每小时缩短 10 cm.
(1)写出蚊香点燃后的长度 y (cm)与蚊香燃烧时间 t (h)
之间的函数表达式；
解：蚊香点燃后，每小时缩短 10 cm，t h将缩短 10t cm，所以y(cm)与 t(h)之间的函数表达式为：
y＝105－10t.
(2) 该盘蚊香可燃烧多长时间
解：蚊香燃尽，即 y＝0.
由 105－10t ＝0，得
t＝＝10.5.
该盘蚊香可燃烧 10.5 h.
例 2 在弹性限度内，弹簧长度 y(cm)是所挂物体质量 x (g)的一次函数. 已知一根弹簧挂 10 g 物体时的长度为 11 m，挂 30 g 物体时的长度为15 cm，试求y与x的函数表达式.
解：根据题意，设y与x的函数表达式为 y＝ kx＋b.
由 x＝10时，y＝11，得
11＝10k＋b.
由 x＝30时，y＝15，得
15＝30k＋b.
10k＋b＝11，
解方程组 得
30k＋b＝15，
所求函数表达式为 y＝0.2x＋9.
k＝0.2.
b＝9.
像例 2，先写出含有未知系数的函数表达式，再根据条件求出这些未知系数的值，从而确定函数表达式，这样的方法叫做待定系数法.
知识点 2 用待定系数法求一次函数表达式
像例 2，先写出含有未知系数的函数表达式，再根据条件求出这些未知系数的值，从而确定函数表达式，这样的方法叫做待定系数法.
定 义
(1)设：设出含有待定系数的函数表达式；
(2)代： 把已知条件中的自变量与函数的对应值代入函
数表达式中，列出关于待定系数的方程(组)；
(3)解：解方程(组)，求出待定系数；
(4)回代：将求得的待定系数的值代入所设的函数表达式.
一般步骤
上面的步骤可表示如下：
得k，b 的值
关于k，b
的方程组
设函数表达式y＝kx＋b
满足条件的两定点(x1，y1) 与(x2，y2)
④代入
③得到
①选取
②代入
练 3
已知 y－3 与 2－x 成正比例，且 x＝1 时y＝6．
(1) 试求 y 与 x 之间的函数表达式；
(2) 当y＝15 时，求 x 的值．
解：(1)∵ y－3 与2－x 成正比例，
∴可设y－3＝k(2－x)(k 为常数，k≠0)．
把x＝1，y＝6 代入，可得 6－3＝k(2－1)，
解得k＝3，
∴ y－3＝3(2－x)，整理得y＝－3x＋9．
∴ y 与 x 的函数表达式为y＝－3x＋9；
(2) 把y＝15 代入函数表达式 y＝－3x＋9，
可得15＝－3x＋9，
解得 x＝－2．
练 4
已知 y 是关于x 的一次函数，下表列出了部分对应值：
x … －2 －1 0 1 b …
y … －8 a －2 1 4 …
(1) 求此一次函数的表达式；
(2) 求a，b 的值．
解：(1)设此一次函数的表达式为 y＝kx＋b．
由表格可知，当x＝1 时，y＝1；
当x＝0 时，y＝－2．
将这两组对应值代入表达式，
得 k＋b＝1，解得 k＝3，
b＝－2， b＝－2.
∴ 一次函数的表达式为 y＝3x－2；
(2) 把 x＝－1 代入y＝3x－2，得
y＝－5，
∴ a＝－5．
把 y＝4 代入 y＝3x － 2，得
x＝2，
∴ b＝2．
练 习
1. 填空：
(1)已知函数 y＝4x＋5. 当x＝－3 时，y＝________；
当y＝5时，x＝_________.
(2) 已知函数 y＝－3x＋1. 当x＝2 时，y＝________；
当y＝0时，x＝__________.
－7
0
－5
2.甲、乙两地相距 520 km，一辆汽车以80 km/h 的速度从甲地开往乙地，行驶了t h. 求剩余路程 s (km)与行驶时间 t (h)之间的函数表达式，并根据问题的实际意义确定 t 的取值范围.
解：s＝520－80t.
当s＝0时，520 － 80t ＝ 0，解得 t＝6.5.
所以自变量的取值范围是 0≤ t ≤ 6.5.
即剩余路程s(km)与行驶时间t(h)之间的函数表达式是 s＝520－80t(0≤ t ≤ 6.5)
本课小结
正比例函数
一次函数
正比例函数
定义
函数表达式