2023-2024学年苏科版数学八年级上册6.4 用一次函数解决问题 课件(共54张PPT)

(共54张PPT)
6 . 4
用一次函数解决问题
名闻遐迩的玉龙雪山，位于云南省丽江城北，由 12 座山峰组成主峰海拔 5596 m.远眺玉龙雪山，在海拔 4 500 m 处，有一条黑白分明的分界线一雪线，雪线以上是银光闪烁的冰雪世界，雪线以下是草木葱葱的原始森林.
由于气候变暖等原因，2002 ～ 2007 年间，玉龙雪山的雪线平均每年上升约 10 m.假设雪线的高度按此速度不断变化，几年后玉龙雪山的雪线将由现在的海拔 4500 m 退至山顶而消失
按照上面的假设，雪线海拔 y(m)是时间(年)的一次函数，函数表达式为 y＝4 500＋10x. 于是，我们可以用一次函数的相关知识解决上述问题.
分析实际问题中变量与变量之间的关系，如果这种关系可以用一次函数表达式表示，那么就可用一次函数的相关知识来解决实际问题.
问题1 某工厂生产某种产品，已知该工厂正常运转的固定成本为每天 12 000 元，该产品的原料及加工成本合计为每件 900 元.
(1) 写出每天的生产成本(包括固定成本和原料及加工成本)与产量之间的函数表达式；
解：(1) 每天的生产成本 (元)与产量 (件)之间的函数表达式是：
y1＝900x＋12 000；
(2) 如果每件产品的出厂价为 1 200 元，那么每天生产多少件产品，该工厂才有赢利
解：每天销售收入 y2(元)与产量 (件)之间的函数表达式是：y2＝1200x.
当销售收入 y2 大于生产成本 时，工厂有赢利，即
1200x＞900x－12 000.
解得 x ＞40.
每天生产的产品超过 40 件时，工厂才有赢利.
“精准扶贫，暖心助力”．驻村书记通过某平台直播带货，帮助当地百姓脱贫致富．苹果成本价为每千克5元，销售价为每千克8元；蜜橘成本价为每千克6元，销售价为每千克10元．通过直播，两种水果共销售5000千克，苹果的销售量不少于2000 千克；
(1) 若销售的苹果和蜜橘的总成本为27400 元，则销售苹果_______千克，销售蜜橘______ 千克；
练 1
2 600
2 400
(2) 当苹果的销量为多少时，两种水果的总利润最大？最大利润是多少？
解：设销售苹果a千克，总利润为w 元，则销售蜜橘
(5000－a)千克，
w＝(8－5)a＋ (10－6)(5000－a)
＝－a+20 000，
∵－ 1 ＜ 0，
∴ w 随a 的增大而减小．
又∵ a≥2 000，
∴当a＝2 000 时，总利润最大，
则最大利润为－ 2 000＋20 000＝18 000(元)．
答：当苹果的销量为2 000 千克时，两种水果的总利润最大，最大利润是18 000 元．
交 流
在人才招聘会上，某公司承诺：应聘者被录用后第 1年的月工资为2 000 元，在以后的一段时间内，每年的月工资比上一年的月工资增加300 元.
某人在该公司连续工作n年，写出他第n年的月工资y (元)与n的函数表达式.
他第5年的年收入能否超过 40 000 元
某人在该公司连续工作 n 年，第 n 年的月工资y(元)与n的函数表达式为y＝2 000＋300(n－1)，即
y＝300n＋1 700.
第5年他的年收入为(300×5＋1700)×12－3200×12＝38400(元)，
第5年的年收人不能超过40 000元.
练 习
1. 根据本节开头提供的有关数据和所作的假设，多少年
后玉龙雪山的雪线会消失
解：根据题意，得5596＝4 500＋10x，
解得 x＝109.6，
∴x≈110.
∴大约110年后玉龙雪山的雪线会消失.
2. 某市出租车的收费标准：不超过 3 千米计费为 7.0 元，
3 千米后按 2.4 元/千米计费.
(1) 写出车费 y (元)与路程x(千米)之间的函数表达式；
解：当0＜x＜3时，y＝7；
当x＞3时，y＝7＋(x－3) ×2.4＝2.4x－0.2.
故y与x之间的函数表达式为
y＝
7 (0≤x≤3)，
2.4x－0.2 (x＞3).
(2)小亮乘出租车出行，付费19元，计算小亮乘车的路程.
解：∵19＞7，
∴路程大于3千米，把y＝19 代入 y＝2.4x－0.2，
得19＝2.4x－0.2，
解得x＝8，
∴小亮乘车的路程是8千米.
问题2 甲、乙两家公司出租汽车收取的租车费 y1(元)、y2(元)都是用车里程 x(千米)的函数，它们的图像如图.
(1) 用车里程多少时，甲、乙两公司的租车费相等
解：由图可知：
当x＝2000 时，两个函数的图像相交于一点，y1＝y2.
用车里程为 2000 千米时，两家公司的租车费相等.
(2) 用车里程多少时，甲公司的租车费比乙公司少
解：当x＜2000时，y1＜y2.
用车里程小于 2000 千米时，甲公司的租车费比乙公司少.
(3) 用车里程多少时，乙公司的租车费比甲公司少
解：当 x＞2000时，y2＜y1.
用车里程大于 2 000 千米时，乙公司的租车费比甲公司少.
练 2
Ⅰ 号无人机从海拔10 m 处出发，以10m/min的速度匀速上升，Ⅱ号无人机从海拔30 m 处同时出发，以a m/min的速度匀速上升，经过5 min 两架无人机位于同一海拔高度b m．无人机海拔高度
y(m)与时间x(min)的关系如图．
两架无人机都上升了15 min．
(1) 求b 的值及Ⅱ号无人机海拔高度y(m)与时间x(min)的关系式；
解：(1)由题意，得经过5 min 无人机
位于海拔高度b＝10＋10×5＝60(m)处．
设Ⅱ号无人机海拔高度y(m)与时间x(min)的函数表达式是y＝kx＋t.
将(0，30)、(5，60)的坐标分别代入，得
t＝30， 解得 k＝6，
60＝5k＋t， t＝30，
则函数表达式为y＝6x＋30(0≤x≤15).
(2) 问无人机上升了多少时间，Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28 m ？
解：设Ⅰ号无人机海拔高度y(m)与时间x(min)的函数表达式是y＝mx＋n.
将(0，10)、(5，60)的坐标分别
代入，得 n＝10，
60＝5m＋n，
解得 m＝10，
n＝10.
所以函数表达式为y＝10x＋10(0≤x≤15).
由题意，得(10x＋10)－(6x＋30) ＝28，
解得 x＝12.
答：无人机上升12 min，Ⅰ号无人机
比Ⅱ号无人机高28 m．
交 流
某蔬菜基地要把一批新鲜蔬菜运往外地，有两种运输方式可供选择，主要参考数据如下：
运输方式 速度/(千米/时) 途中综合费用/(元/时) 装卸费用/元
汽车 60 270 200
火车 100 240 410
(1) 请分别写出汽车、火车运输的总费用 y1(元)、y2(元)与运输路程 (千米)之间的函数表达式；
运输方式 速度/(千米/时) 途中综合费用/(元/时) 装卸费用/元
汽车 60 270 200
火车 100 240 410
y1＝200＋×270，即y1＝ x＋200；
y2＝410＋×240，即y2＝ x＋410；
(2) 你认为用哪种运输方式较好
令 y1＝y2，则 x＋200 ＝ x＋410，
解得 x＝100.
若不考虑时间因素，当 0＜x＜100 时， y1＜y2 ，选择用汽车运输；
当x＝100时， y1＝y2，用汽车运输和火车运输费用相同，但火车速度快，此时选择用火车运输会更好；
当x＞100 时， y1＞y2，选择用火车运输.
问题3 根据图 6－15 中的函数图像，说出 x、y 变化过程的实际意义.
分析：x、y 的变化过程可以分为三个部分.
(1) 当x从0增大到8时，y从0增大到 2；
(2) 当x从8增大到14 时，
y的值不变；
(3) 当x从14 增大到24 时，
y从2减小到0.
如果给 x、y 这两个变量以某种实际意义，那么这个图像就可以表示某种实际的变化过程.
解：设 x 表示时间(min)，y 表示离出发地的路程(km)，则图6－15的实际意义可以是：
小明以250m/min的速度匀速
骑自行车8 min到达某地；
在该地休息了6min；
然后以200m/min的速度速
骑自行车10min返回出发地
思 考
仿照上面的过程，试根据图 6－15，说出 x、y 变化过程的另一种实际意义.
x 代表时间(秒)，y 代表速度(米/秒)，小明推一辆小车沿斜面滑下，速度逐渐增大，经过 8 秒钟，速度变为 2米/秒，然后在光滑的水平而匀速行驶，6 秒后速度开始逐渐变小，又过了 10 秒后速度变为 0. (答案不唯一)
练 3
甲、乙两人沿同一直道从A 地去B 地．
甲比乙早1min出发，乙的速度是甲的2倍．在整个行程中，甲离A 地的距离y1(单位：m)与时间x(单位：min)之间的函数关系如图6.4－3 所示．
(1) 在图中画出乙离A 地的距离y2(单位：m)与时间x(单位：min)之间的函数图像；
(2) 若甲比乙晚5min到达B地，求甲整个行程所用的时间．
解：设甲的速度是 v m / min，
乙整个行程所用的时间为t min，
由题意，得2v·t＝ (t＋1＋5)v．
解得 t＝6，
则 6＝1＋5＝12(min)．
答：甲整个行程所用的时间为12 min．
练 习
1. 甲汽车出租公司按每 100 km 150 元收取租车费；乙汽
车出租公司按每 100 km 50 元收取租车费，另加管理
费 800 元你认为应如何选择合适的汽车出租公司
解：设汽车行驶路程为x km，甲汽车出租公司收取租车费 y1元，乙汽车出租公司收取租车费 y2 元，
根据题意，得 y1＝150×＝1.5x，
y2＝50×＋800 ＝ 0.5x＋800.
如图，在同一平面直角坐
标系中画出两个函数图像，
由图像可知：①当汽车行驶路程为 800 km 时，y1＝y2，租用两家公司的汽车费用相等；
②当汽车行驶路程不足 800 km 时， y1＜ y2 ，租用甲公司的汽车费用较低；
③当汽车行驶路程大于800
km 时，y1＞y2，租用乙公司
的汽车费用较低.
2. A、B 两家旅行社分别推出家庭旅游优惠活动，两家旅行社的票价均为 90 元/人，但优惠办法不同. A 旅行社的优惠办法是：全家有一人购全票，其余的人半价优惠； B 旅行社的优惠办法是：每人均按票价优惠. 你将选择哪家旅行社
解：设 x 人参加旅游，A 旅行社的费用为y元，B旅行社的费用为y2元，则
y1＝90＋×90(x－1)
＝45x＋45，
y2＝ ×90x＝60x.
画函数图像如图所示.
当x＝3时，y1＝y2；
当x＞3时，y1＜y2；
当x＜3时，y1＞y2.
故当有 3人参加旅游时，选择两家旅行社的费用一样；当旅游人数超过3人时，选择A 旅行社费用低；当旅游人数不足3人时，选择 B 旅行社费用低.
本课小结
用一次函数解决问题
用一次函数解决问题
用函数图象解决问题
用函数性质问题
6 . 4 练习
1. 拖拉机开始工作时，油箱中有油 40 L，已知该拖拉机
每小时耗油6L.写出油箱中的剩余油量 Q(L)与工作时间
t (h)之间的函数表达式，并计算工作 2.5h后油箱中的剩
余油量.
解：出题意知，Q＝40－61(0≤1≤).
当 t＝2.5时，Q＝40－6×2.5＝25.
所以工作 2.5 h 后油箱中的剩余油量是 25 L.
2. 如图，公路上有A、B、C三个汽车站，一辆汽车8∶00
从离A站10 km的P地出发，向C站匀速行驶，15min 后
离A站30km.
(1) 设出发 x h后，汽车离 A 站 y km，写出 y 与 x 之间
的函数表达式.
解：汽车速度为(30－10)÷ ＝80 (km/h).
所以y与x的函数表达式为 y＝80x＋10(x≥0).
(2) 当汽车行驶到离 A 站250 km的B站时，接到通知要在 12∶00 前赶到离 B站60 km的C站，汽车按原速行驶，能否准时到达 如果能，那么汽车何时到达 C站
解：能准时到达.
把 y＝250＋60＝310代入 y＝ 80x＋10，
得310＝80x＋10，
所以 x＝.
而8＋ ＜ 12，
因此能准时到达，且可在 11∶45 到达C站.
3. 某电信公司推出甲、乙两种收费方式供手机用户选择：
甲种方式每月收月租费 8元，每分钟通话费为 0.2元；
乙种方式不收月租费，每分钟通话费为 0.3元. 试根据
通话时间的多少选择合适的付费方式.
解：设每月通话时间为x分钟，甲种方式费用为y1元，乙种方式费用为 y2 元，则 y1＝8＋0.2x(x＞0，x为整数)，y2＝0.3x(x＞0，x为整数). 作出函数图像如图所示.
当x＝80时，y1＝y2；
当x＜80时，y1＝y2；
当x＞80时，y1＜y2.
故当通话时间为 80分钟时，两种方式都可以；
当通话时间不足80分钟时，乙种方式费用低，应选乙种方式；
当通话时间超过 80 分钟时，甲种方式费用低，应选甲种方式.
4. 某厂计划生产A、B两种产品共 50件，已知A产品每件
可获利润700元，B 产品每件可获利润 1200元，设生
产两种产品的获利总额为 y(元)，写出y与生产A 产品
的件数 之间的函数表达式.
解：生产A种产品件，则生产B 种产品(50－x)件，
∴ y＝700x＋1200(50－x) ＝60 000－500x
(0＜x＜50，x为整数).
5.某技工培训中心有钳工 20名、车工30名，现将这 50 名
技工派往A、B两地工作，两地技工的月工资情况如下：
钳工/(元/月) 车工/(元/月)
A 地 1 800 1 600
B 地 1 600 1 200
(1) 若派往A地x名钳工，余下的技工全部派往B地，写出这 50名技工的月工资总额 y(元)与之间的函数表达式，并写出x的取值范围；
解：派往 A 地 x 名工，则派往 B 地的工为(20－x)名，车工为30名，
则 y＝1800x＋1600(20－x) ＋1200×30
＝200x＋68 000
(0≤x≤20，x为整数).
(2) 若派往A地 x 名车工，余下的技工全部派往 B 地，写出这 50 名技工的月工资总额 y (元)与之间的函数表达式，并写出 x 的取值范围.
解：派往 A 地车工 名，则派往 B 地的车工为(30－x)名，钳工为 20名，
则 y＝1 600x＋1 200× (30－x) ＋1600×20
＝400x＋68 000 (0＜x＜30，x为整数).
本课结束
This lesson is over
THANKS!