2023-2024学年苏科版数学八年级上册第2章 轴对称图形 小结与思考 课件(共56张PPT)

(共56张PPT)
第2章
轴对称图形
小结与思考
1. 本章知识结构：
轴对称
轴的对性称质
轴对性称质
成轴对称的两个图形全等. 成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分
轴对性称质
线段
角
等腰三角形
等边三角形
线段
线段的垂直平分线是它的对称轴
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
角
角平分线所在直线是它的对称轴
角平分线上的点到角 两边的离相等
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
等腰三角形
顶角平分线所在直线是它的对称轴
等腰三角形的两底角相等。等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合
有两个角相等的三角形是等腰三角形
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
等边三角形
角平分线所在直线它的对称轴
等边三角形的各角都等于 60°
三个角都相等的三角形是等边三角形有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
2. 说说轴对称与轴对称图形的区别和联系.
3.“等腰三角形的两底角相等”揭示了等腰三角形具有的一个性质，称为等腰三角形的性质定理；“有两个角相等的三角形是等腰三角形”揭示了具备什么条件的三角形是等腰三角形，称为等腰三角形的判定定理. 这两个定理是互逆定理.
你能在学过的定理中，再说出一对互逆定理，并指出其中哪一个是性质定理，哪一个是判定定理吗
4. 在本章学习中，通过图形的翻折，探索并证实了线段的垂直平分线、角平分线、等腰三角形的性质. 运用图形运动的方法，也可以研究图形的性质.
5. 本章例题中的“思考与表述”，体现了“由未知想须知”的思路，这是我们探索解决问题途径常用的一种思考方法.
复习题
复习巩固
1.下列图形是不是轴对称图形 如果是，画出它的对称轴.
解：图③不是轴对称图形，图①②④是轴对称图形，画对称轴略.
2. 请查找一些国家的国旗图案，并指出其中哪些是轴对
称图形 试分别找出它们的对称轴.
略
3. (1) 图①是轴对称图形吗 如果是，它有几条对称轴
如果不是可以怎样把它补成轴对称图形
①
解：图①不是轴对称图形，只要把拐角处“断开”部分连接起来，即可补成轴对称图形，如图所示.
(2) 图②由5张全等的正方形纸片组成，只移动其中1张
纸片，你能使它变成轴对称图形吗
②
能，如图所示. (答案不唯一)
4. 如图，在△ABC中，AB＝ AC，
D是BC的中点，AC 的垂直平
分线分别交 AC、AD、AB 于
点E、F、G. 点F到△ABC的边
__________的距离相等，点F
到△ABC的顶点___________
的距离相等.
AB，AC
A，B，C
5. (1) 在等腰三角形ABC中，∠A＝80°.
若∠A是顶角，则∠B＝ _________°；
若∠B是顶角，则∠B＝ _________°；
若∠C是顶角，则∠B＝ _________°.
50
20
80
(2) 等腰三角形ABC的周长为8 cm，AB＝3cm.
若AB是底边，则BC＝ ________ cm；
若_________，则BC ＝________ cm；
若_________ ，则BC＝ ________cm.
2.5
BC是底边
2
AC是底边
3
6. 在如图的网格中：
(1)画△A1B1C1，使它与△ABC 关于l1对称；
(2)画△A2B2C2，使它与△A1B1C1关于l2对称；
(3) 画△A3B3C3，使它与△A2B2C2关于l3对称；
(4) 画出△A3B3C3与△ABC 的对称轴.
解：(1)(2)(3)画图如图所示；
(4) 如图中经过点 A，A1，的直线l4 为△A3B3C3与△ABC的对称轴.
7. 根据下列已知条件，分别指出各个图形中的等腰三
角形，并加以证明，
(1) 如图①，BD平分∠ABC，点
E 在BC 上，且 DE∥AB；
解：△BED是等腰三角形.
证明如下：∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
∵DE∥AB，
∴∠BDE＝∠ABD.
∴∠CBD＝∠BDE，
∴EB＝ED(等角对等边)，
∴△BED 是等腰三角形.
(2) 如图②，AD平分∠BAC，点E在BA的
延长线上，且 EC//AD；
解：△ACE 是等腰三角形.证明如下：
∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAD ＝ ∠CAD.
∵EC∥AD，
∴∠BAD ＝∠E，
∠CAD ＝∠ACE.
∴∠E＝∠ACE，
∴AC＝AE (等角对等边)，
∴△ACE 是等腰三角形.
(3) 如图③，AD平分∠BAC，点E在
BD 上，点G在CA 的延长线上，
且GE∥AD，GE交AB 于点F.
解：△AGF是等腰三角形.证明如下：
∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵GE∥AD，
∴∠G＝∠CAD，∠AFG＝∠BAD.
∴∠G＝∠AFG，
∴ AG＝AF(等角对等边)，
∴△AGF 为等腰三角形.
8. 已知：如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB的平分线
相交于点O，MN 过点O，且 MN ∥BC，分别
交AB、AC 于点M、N.
求证：MN＝BM＋CN.
证明：∵BO 平分∠ABC，
∴∠MBO＝∠CBO.
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠CBO.
∴∠MBO＝∠MOB，
∴BM＝MO(等角对等边).
同理 CN＝NO.
∴MN＝MO＋NO＝BM＋CN.
灵活运用
9. 如图，点 D、E 在 BC 上，且AB＝AC，AD＝AE. 图中
还有哪些相等的线段 试用不同的方法证明你的结论。
解：BD＝CE，BE＝CD.
方法一：
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED.
又∵ ∠ADE＝∠B＋∠BAD，∠AED＝∠C＋∠EAC，
∴∠BAD＝∠EAC.
在△ABD 和△ACE中，
AB＝AC，
∵ ∠BAE＝∠CAD，
AE＝AD.
∴△BAE≌△CAD(SAS).
∴BE＝CD.
∴BE－DE＝CD－DE. 即 BD＝CE.
10. 已知：如图，∠ABC ＝∠ADC＝90°，M、N 分别
是 AC、BD 的中点.
求证：MN⊥BD.
证明：如图，连接 BM，DM.
11. (1) 野营活动中，小明用一块等腰三角形的铁皮代替
锅，烙一块与铁皮形状、大小相同的饼，烙好一
面后把饼翻身，这块饼仍能正好落在“锅”中，
这是为什么
解：因为烙的饼与“锅(铁皮)”是全等的等腰三角形，而等腰三角形是轴对称图形，所以把饼翻身后会正好落在“锅”中.
(2) 小丽用如图①的直角三角形铁皮，烙一块与铁皮形状、大小相同的饼，如果烙好一面后就把饼翻身，那么这块饼不能正好落在“锅”中. 小丽将饼切了一刀，然后将两小块都翻身，结果饼就能正好落在“锅”中.
小丽怎样切的 为什么
解：小丽将其沿直角三角形斜边中线分开为两个三角形，这两个三角形都是等腰三角形，如图所示的△ACD与△BCD，因此由(1)知“翻身后能与原图形重合，故还是能正好落在“锅”中.
(3) 如果用来烙饼的铁皮既不是等腰三角形也不是直角三角形 (如图②)，那么烙好一面后，怎样将烙饼翻身，才能使烙饼仍能正好落在“锅”中
解：如图所示，作△ABC 的高AD，把△ABC 分成两个直角三角形，根据(2)中的方法，再作边AB，AC 的中线DE，DF. 因此，共切3刀：AD，DE，DF，或者只切2刀，即只要找出图中的 D点所在的位置，只需切 DE，DF，图中四边形AEDF 是轴对称图形，
“翻身”后仍能与原来重合.
12. 在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形吗 证明你的结论.
解：这个三角形是直角三角形.
已知：如图所示，在△ABC 中，
D 为AC 的中点 BD＝AC.
求证：△ABC 是直角三角形.
13，如图，AB＝AC＝AD.
(1) 如果 AD∥BC，那么∠C和∠D有
怎样的数量关系 证明你的结论；
解：∠C＝2∠D.证明如下：
∵AD∥BC，
∴∠DBC＝∠D.
∵AB＝AD，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠ABC＝2∠D.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C.
∴∠C＝2∠D.
(2) 如果∠C＝2∠D，那么你能得到
什么结论 证明你的结论
解：AD∥BC. 证明如下：
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝2∠D.
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠D.
∵∠ABC＝2∠D.
∴∠CBD＝∠D.
∴AD∥BC.
探索研究
14. (1) 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
点D在 BC 上且BD＝BA，点E在BC的延长线上，
且CE＝CA，求∠DAE的度数；
解：在 △ABC 中，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠BCA＝45°.
又∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD＝×(180°－45°) ＝67.5°.
∵∠BCA＝45°，CE＝CA，
∴∠CAE＝∠E＝22.5°.
∴∠DAE＝ ∠BDA－∠E＝67.5°－22.5°＝45°.
(2) 如果把第(1)题中“AB＝AC”的条件舍去，其余条件
不变，那么∠DAE的度数会改变吗
解：∠DAE 的度数不会改变.如图所示.
∵BD＝BA，∠BAC＝90°，
∴∠4＝∠BAD＝90°－∠1.
∵CA＝CE，
∴∠2＝∠E.
又∵∠4＝∠1＋∠3，
∠3＝∠2＋∠E，
∴∠3＝2∠2，
∴∠4＝90°－∠1＝∠1＋2∠2，
∴2∠1＋2∠2＝90°，
∴2(∠1＋∠2)＝90°，
∴∠1＋∠2＝45°，
∴∠DAE＝45°，
∴∠DAE 的度数不会改变.
(3) 如果把第(1)题中“∠BAC＝90°”的条件改为
“∠BAC＝90°”，其余条件不变，那么∠DAE
与∠BAC 有怎样的数量关系
解：∠BAC 的度数是∠DAE 度数的2倍.如图所示
∵BA＝BD，
∴∠BAD＝∠4，
∴∠BAC＝∠BAD＋∠1＝∠4＋∠1.
又∵∠4＝∠1＋∠3，CA＝CE，
∴∠2＝∠E，
∴∠3＝2∠2，
∴∠BAC＝∠1＋∠4
＝ ∠1＋∠1＋2∠2
＝2(∠1＋∠2).
又∵∠DAE＝∠1＋∠2.
∴∠BAC＝2∠DAE.
∴∠BAC 的度数是∠DAE 度数的2倍.
15. 我们知道：如果点P在线段AB 的垂直平分线l上，那
么PA＝PB；如果 PA＝PB，那么点P在线段AB 的垂直
平分线l上；如果点P不在线段AB 的垂直平分线l上，
那么 PA≠PB. 试证明：如果 PA≠PB，那么点P不在
线段AB的垂直平分线l上.
证明：假设点P在线段AB的垂直平分线上，由线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”得 PA＝PB，这与PA≠PB 相矛盾，所以点 P 不在线段AB 的垂直平分线上.
16. 已知直线l、点A和点B. 试在直线l上确定一点P，使
PA＋PB最小.
解：根据点 A，B 与直线的不同位置讨论如下：
(1) 若点 A，B 在直线l的同侧：如图 1，2，3.
若点 A，B 在直线l的异侧：如图 4，5，6.
(2) 如图1，点 A，B到直线的距离不等，作点A关于直线l对称的点A′，连接AB，线段AB与直线l的交点为P，则此时 PA＋PB 最小；
如图2，点A，B到直线的距离相等，线段AB的垂直平分线与直线l的交点为 P，则此时PA＋PB最小；
如图 3，点A，B 所在直线垂直于直线l，垂足为P，则此时 PA＋PB 最小.
如图 4，5，6，线段 AB 与直线的交点为P，则此时PA＋PB 最小.