2022～2023 学年度下期高二第三次考试
数学（A）卷答案
一、单选题
1、 C 2、 D 3、B 4、A 5、 B 6、 A 7、 D 8、A
二、多选题
9、 ACD 10、 AC 11、 BCD 12、 ABD
三、填空题
13、 -10 14 e, 、0.91 15、 44 16、
16、【详解】由题意：存在 x 0, ，使得不等式 ex a ln x a ln a成立，
x
即 e a ln a a ln x a ln ax x ln ax 成立，即 xe ln ax e 成立，
令 h x xex， x 0, ，则 h x x 1 ex 0恒成立，
所以 h x 在 0, 上单调递增，
ex
所以只需 x 0, 时，有 x ln ax 成立，即 ex ax，a 成立，
x
x
x 1令 f x e ，则 f x ex2 ，x x
所以当 x 0,1 时， f x 0；当 x 1, 时， f (x) > 0．
所以 f x 在 0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增．
所以 f x 的最小值为 e．所以 a的取值范围是 e, ．
故答案为： e,
四、解答题
17、(1)根据男生参加足球训练时间的频率分布直方图可得：
0.030 2a 0.015 0.01 0.005 10 1，所以a 0.02，
设样本数据的 80%分位数为 x，则由百分位数的概念可知，
0.05 0.15 0.20 0.30 0.02 x 70 0.8，解得： x 75 .
(2)由频率分布直方图可知，
样本中爱好足球的男生人数为： 0.3 0.2 0.1 100 60（人）
所以爱好足球的女生人数为：106 60 46（人）.
{#{QQABQQoAogigAAIAARhCQQECCEGQkACCCAgGhAAAIAAASAFABAA=}#}
可得 2 2列联表如下：
爱好足球 非爱好足球 合计 假设H0：爱好足球与性别无关，由公式可得：
男生 60 40 100 2 200 60 54 46 40
2
3.934 3.841 x
106 94 100 100 0.05
女生 46 54 100
根据小概率值 0.05的独立性检验，我们推断
合计 106 94 200 H0不成立，即爱好足球与性别有关，此推断犯错
误的概率不大于 0.05.
18、(1)设等比数列 an 的公比为 q(q>0).
由题意得 a5 a6 6a4，整理得： q q2 6，解得：q=2或 q=-3(舍).
a 4 a a q2又 3 ，所以 3 1 4，解得： a1 1.
所以 an a q
n 1
1 2
n 1
，bn log2 an log2 an 1 n 1 n 2n 1.
(2)因为b 2n 1 n b b n ，所以 S 1 n 1 2n 1
n n n
2，
2 2
c 1 1 1 ( 1 1所以 n 2 )4Sn 1 4n 1 2 2n 1 2n 1
所以数列 an cn 的前 n项和Tn为：
Tn a1 c1 a2 c2 an cn
a1 a2 an c1 c2 cn
1 2n 1
(1 1) (1 1 ) ( 1 1 )
1 2 2 3 3 5 2n 1 2n 1
2n 1 n
2n 1
2n n 1
2n 1
19. C
2
解：从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为 100，设“抽取的两名学
生中恰有一名学生获奖”为事件A，
A 1 1则事件 包含的基本事件的个数为C70C30 ，因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以
1 1
P A C70C30 14 2 ,C100 33
{#{QQABQQoAogigAAIAARhCQQECCEGQkACCCAgGhAAAIAAASAFABAA=}#}
14
即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为 .....................................3
33
1 0.6827
（ i）因为 79，所以 P(X 79) 0.15865，
2
故参赛学生中成绩超过 79分的学生数约为0.15865 10000 1587 ....................6
（ii）由 64，得 P(X 64) 1 ，即从所有参赛学生中堕机抽取 1名学生，该生竞赛成
2
1 1
绩在 64分以上的概率为 ，所以随机变量 Y服从二项分布 B 3,
2 2
，所以
p(Y 0) C 0 (1)3 1 3 2 8
P(Y 1) C1(1)3 3 3 2 8
P(Y 2) C 2 (1)3 33 2 8
P(Y 3) C 33 (
1)3 1
2 8
所以随机变量 Y的分布列为：
Y 0 1 2 3
1 3 3 1
P
8 8 8 8
..............................................................10
E(Y ) 0 1 3 3 1 3 1 2 3
8 8 8 8 2
E(Y ) 3 np
2 .................................................................12
20、【详解】（1）解： f x 3x2 3a 3 x2 a ，
当 a 4时，由 f (x) > 0，解得 x< 2或 x 2；
由 f x 0，解得 2 x 2，
故 f x 的单调增区间为 , 2 ， 2, ； f x 的单调减区间为 2,2 .
（2）因为 f x 在 x= 1处取得极大值，所以 f 1 3 1 2 3a 0，即 a 1 .
所以 f x x3 3x 1， f (x) = 3x2 - 3，
{#{QQABQQoAogigAAIAARhCQQECCEGQkACCCAgGhAAAIAAASAFABAA=}#}
由 f x 0解得 x1 1， x2 1，
由 f (x) > 0，解得 x< 1或 x 1；
由 f x 0，解得 1 x 1，
则函数 f x 在 , 1 ， 1, 上单调递增，在 1,1 上单调递减.
故 f x 在 x= 1处取得极大值 f 1 1，在 x 1处取得极小值 f 1 3，
当 x , f (x) ，当 x , f (x) ，则函数 f x 的简图如下图所示：
因为直线 y m与函数 y f x 的图象有三个不同的交点，
结合 f x 的简图可知，m的取值范围是 3,1 .
21 1 t 1 2 3 4 5 6 7、【详解】（ ） 4 ;
7
7
t t 2 32 22i 12 0 12 22 32 28 ;
i 1
7
ti t ui u
r i 1 25.2 25.2 25.2 0.86
7 7 2 14.5 .
2 2
28 30 2 210
ti t ui u
i 1 i 1
| r | 0.75可以用线性回归模型拟合变量间的关系.
（2）设 z kebt ，则u ln z bt ln k .
7
ti t ui u
b i 1 25.27 0.9；
ti t 2 28
i 1
ln k u bt 1.2 0.9 4 4.8 ;
k e 4.8，
{#{QQABQQoAogigAAIAARhCQQECCEGQkACCCAgGhAAAIAAASAFABAA=}#}
z e0.9t 4.8 ,当 t 8时， z e0.9 8 4.8 e2.4 .
所以预测前 8天该隧道拱顶的累加总下沉量为 e2.4毫米
（3） z e0.9t 4.8 ，
下沉速率： z 0.9e0.9t 4.8，
所以设第 n天下沉速率超过 9毫米/天，
则：0.9e0.9n 4.8 9， e0.9n 4.8 10，0.9n 4.8 ln10，0.9n 2.3 4.8， n 7.8，
所以第 8天该隧道拱顶的下沉速率超过 9毫米/天，
最迟在第 7天需调整支护参数，才能避免塌方．
22、解：(1)f(x)定义域为（0，+∞），
f (x) e x (x ln x 1 1) e x (1 ) e x (x ln x 1 ) ……………………………………2
x x
1 2 3
2 (x )
令 g(x) x ln x 1 1 1 x x 1 ，则 g (x) 1 2 4
x x x2
2 0x x2
所以 g(x)在（0， ）上单调递增，且 g(1) 0……………………………………………4
令 f ′(x) > 0,得 x >1，令 f ′(x) < 0,得 0 < x <1，
所以 f(x)的单调增区间为（1，+∞），f(x)的单调减区间为（0，1） …………………………6
(2) 解法 1: g(x)＝f(x)＋ex＋mx=ex(x－lnx－1)+ex＋mx=ex(x－lnx）＋mx≥0恒成立
e x (ln x－x)
所以m ≥ 恒成立
x
e x (ln x－x)
设 h(x) =
x
' +
1 1 ( ) = = ( 1)( 1)则 2 2 ……………………8
设 = 1,则 ' = 1 1 = 1
当 0 < < 1 时， ' > 0, 递增，
当 > 1 时， ' < 0, 递减，
所以 = 1 = 2 < 0
所以当 > 0 时， 1 < 0 恒成立，…………………………………………10
当 0 < < 1 时， ' > 0, 递增，
当 > 1 时， ' < 0, 递减，
{#{QQABQQoAogigAAIAARhCQQECCEGQkACCCAgGhAAAIAAASAFABAA=}#}
所以 = 1 =
e x (ln x－x)
由m ≥ 恒成立得 ≥ ………………………………………………12
x
解法 2:
因为 g(x)＝f(x)＋ex＋mx=ex(x－lnx－1)+ex＋mx=ex(x－lnx）＋mx≥0恒成立
所以 g(1) ≥0,得 e+m≥0,所以 ≥ …………………………………………8
又当 ≥ 时，g(x) ≥ex(x－lnx）－ex≥ex－ex
设 h(x)=ex－ex …………………………………10
h’(x)= ex－e=0, x=1
当 0 < < 1 时， ' < 0, 递减，
当 > 1 时， ' > 0, 递增，
所以 h(x) ≥h(1)=0, 所以 g(x) ≥0恒成立
综上， ≥ ……………………………………………………………………12
{#{QQABQQoAogigAAIAARhCQQECCEGQkACCCAgGhAAAIAAASAFABAA=}#}2022～2023 学年度下期高二第三次考试
数学试卷（A）
（满分 150 分，考试时间 120 分钟）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，所有答案都写在答题卷上.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1．已知随机变量 ～B(12，p)，且 E(2 3) 9，则D( ) （ ）
8
A． B．12 C．3 D．24
3
2.函数 f (x) 3x 1，则函数 f (x)在 x 5处切线的斜率为（ ）
1 3 4 3
A. B. C. D.
4 4 3 8
3.近期多所学校发布了 2023年强基计划招生简章，现有甲、乙、丙、丁四位同学，要报考
复旦大学、南京大学、东南大学三所学校，每位同学只能报考其中的一所学校，且每所学校
至少有一名同学报考，则不同的报考方法共有多少种（ ）
A. 18 B. 36 C. 72 D. 12
4. (1 2x)n的展开式中二项式系数最大的为C 6n ，则 n不可能为（ ）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
5．某产品的宣传费用 x(万元)与销售额 y(万元)的统计数据如下表所示：
宣传费用 x(万元) 2 3 4 5
销售额 y(万元) 24 30 42 50
根据上表可得回归方程 y 9x a，则宣传费用为 6万元时，销售额最接近（ ）
A．55万元 B．60万元 C．62万元 D．65万元
6．用四种颜色给正四棱锥V ABCD的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条
棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（ ）
A．72种 B．36种 C．12种 D．60种
7．根据教育部的规定，从 2021年 9月 1日以来，全国各地的中小学都开展了课后延时服务．各
个学校都及时安排老师参加课后延时服务工作，学校要求张老师在每个星期的周一至周五要
有三天参加课后延时服务．若张老师周五一定参加课后延时服务，则他周四也参加课后延时
高二下期第三次考试（数学）第 1页（共 6页）
{#{QQABQQoAogigAAIAARhCQQECCEGQkACCCAgGhAAAIAAASAFABAA=}#}
服务的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
5 3 4 2
8.在数列{an}中，a1 1 ,且函数 f (x) x
5 an 1 sin x (2an 3)x 3的导函数有唯一零点，
则 a9的值为（ ）．
A. 1021 B. 1022 C. 1023 D. 1024
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分，在给出的四个选项中至少有
一项是正确的，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分。
9.下列说法正确的是（ ）
1 5
A.若随机变量 X ~B(10, )，则 E(X )
4 2
B.若随机变量 X 的方差D(X ) 4，则D(3X 1) 37
C.若 P(A) 0.6， P(B) 0.4， P(B A) 0.4，则事件 A与事件 B独立
1 1
D.若随机变量 X ~N (2, 2 )且P(X 3) ，则 P(X 1)
6 6
10.已知{an}是等差数列，其前 n项和为 Sn，a1 5a3 S7 ，则下列结论一定正确的有（ ）
A． a12 0 B． S12 最小 C． S8 S15 D． S23 20
11.以人工智能、量子信息等颠覆性技术为引领的前沿趋势，将重塑世界工程的发展模式，
对人类生产力的创新提升意义重大.某公司抓住机遇，成立了甲、乙、丙三个科研小组针对
某技术难题同时进行科研攻关，攻克技术难题的小组会受到奖励.已知甲、乙、丙三个小组
1 1 2
攻克该技术难题的概率分别为 , , ，且三个小组各自独立进行科研攻关.下列说法正确的
2 2 3
是（ ）
A 1．只有甲小组受到奖励的概率是 2 ；
1
B．甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率是 ；
6
2
C．已知该技术难题一定能被攻克，只有丙小组受到奖励的概率是
11
5
D．受到奖励的小组数的期望值是
3
12．已知 a、b 0,1 ，且 a b 1，则（ ）
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a2 b2 1A． B． ln a lnb 2ln 2
2
C． lna lnb ln2 2 D． a lnb 0
第 Ⅱ 卷
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
1 4
13. 2 1 2x 的展开式中，常数项为____________.
x
14.现有两批产品，第一批产品的次品率为 5%，第二批产品的次品率为 15%，两批产品
以 3:2的比例混合在一起，从中任取 1件，该产品合格的概率为 .
15.北京时间 2022年 11月 30日 7时 33分，神舟十五号航天员乘组在载人飞船与空间站组
合体成功实现对接后，从飞船返回舱进入轨道舱，并与神舟十四号航天员乘组“胜利会师”，
中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排
甲，乙，丙，丁等 6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排 3人，问天实验舱安排 2人，
梦天实验的安排 1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有
______种
16．若存在 x (0, )，使得不等式 ex a ln x a ln a成立，则实数 a的取值范围为__________．
四、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）为调研某中学足球训练开展情况，今随机抽取该校男女学生各 100名，统计每
人日均参加足球训练的时间，结果都在 30~90分钟之间，其中 60分钟及以上者 106人.将 100
名男生参加足球训练的时间分成 6组： 30, 40 ， 40,50 ， 50,60 ， 60,70 ， 70,80 ， 80,90 ，
制作频率分布直方图如图所示：
(1)求频率分布直方图中 a的值，并估计男生参加足球训练时间的样本数据的 80%分位数；
(2)若将参加足球训练时间在 60分钟及以上者视为爱好足球，完成 2 2列联表，根据小概率
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值 0.05的独立性检验，分析爱好足球是否与性别有关？
2 2列联表如下：
爱好足球 非爱好足球 合计
男生
女生
合计
2 n ad bc
2
附：① ，其中 n a b c d .
a b c d a c b d
②临界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18.（12）已知数列 an 为正项等比数列，满足 a3 4，且 a5 ,3a4 ,a6构成等差数列，数列 bn 满
足bn log2 an log2 an 1．
(1)求数列 an , bn 的通项公式；
(2)若数列
1
bn 的前 n项和为 Sn，数列 cn 满足 cn a c4S Tn 1
，求数列 n n 的前 n项和 n
19.（本小题满分 12分）
为了迎接 4月 23日“世界图书日”，我市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛
奖励规则如下，得分在 70,80 内的学生获三等奖，得分在[80,90）内的学生获二等奖，得
分在 90,100 内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随
机抽取 100名学生的竞赛成绩，统计如下
成绩（分） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100）
频数 6 12 18 34 16 8 6
（1）若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖
的概率；
2 2（ ）若我市所有参赛学生的成绩 X 近似服从正态分布 X ~N (64,15 )，利用所得正态分
布模型解决以下问题：
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（i）若我市共有 10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过 79分的学生数（结
果四舍五入到整数）；
（ii）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于 100000）随机抽取 3名学生进行访谈，设其
中竞赛成绩在 64分以上的学生数为 Y，求随机变量 Y的分布列及均值.
附参考数据：若随机变量 X 服从正态分布 N , 2 ，则
P X 0.6827,P 2 X 2 0.9545，
P 3 X 3 0.9973 .
20、（12 3分）已知函数 f x x 3ax 1， a 0 .
(1)当 a 4时，求 f x 的单调区间；
(2)若 f x 在 x= 1处取得极值，直线 y m与 y f x 的图象有三个不同的交点，求m的取
值范围.
21、（12分）港珠澳大桥海底隧道是当今世界上埋深最大、综合技术难度最高的沉管隧道，
建设过程中突破了许多世界级难题，其建成标志着我国在隧道建设领域已达到世界领先水
平．在开挖隧道施工过程中，若隧道拱顶下沉速率过快，无法保证工程施工的安全性，则需
及时调整支护参数、某施工队对正在施工的隧道工程进行下沉量监控量测工作，通过对监控
量测结果进行回归分析，建立前 t天隧道拱顶的累加总下沉量 z（单位：毫米）与时间 t（单
位：天）的回归方程，通过回归方程预测是否需要调整支护参数．已知该隧道拱顶下沉的实
测数据如下表所示：
t 1 2 3 4 5 6 7
z 0.01 0.04 0.14 0.52 1.38 2.31 4.3
研究人员制作相应散点图，通过观察，拟用函数 z kebt 进行拟合．令u ln z，计算得：
7 7 7
2
z 1.24， ti t zi z 22.37， zi z 27.5；u 1.2， ti t ui u 25.2，
i 1 i 1 i 1
7
u 2i u 30．
i 1
(1)请判断是否可以用线性回归模型拟合 u与 t的关系；（通常 r 0.75时，认为可以用线性回
归模型拟合变量间的关系）
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(2)试建立 z与 t的回归方程，并预测前 8天该隧道拱顶的累加总下沉量；
(3)已知当拱顶下沉速率超过 9毫米/天，支护系统将超负荷，隧道有塌方风险．若规定每天
下午 6点为调整支护参数的时间，试估计最迟在第几天需调整支护参数，才能避免塌方．
n
xi x yi y
i 1
附：①相关系数 r n n ；
xi x 2 y 2i y
i 1 i 1
②回归直线 y a b x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
n
xi x yi y
b i 1 n , a y bx
xi x 2
i 1
③参考数据： 210 14.5， ln10 2.30．
22、（本小题满分 12分）
f (x) e x已知函数 (x ln x 1) .
(1)求函数 f (x)的单调区间；
(2)设 g(x) f (x) e x mx(m R) ,若 g(x) 0恒成立，求m的取值范围.
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