2022～2023 学年度下期高二第三次考试
数学试卷（B）
（满分 150 分，考试时间 120 分钟）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，所有答案都写在答题卷上.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1
1.已知随机变量 X服从二项分布 X～B (4, )，则 E(X)＝（ ）
2
1
A．4 B． C．2 D．1
2
n
2. 1已知二项式 x
展开式的二项式系数和为 64，则展开式中常数项为（ ）
x
A．15 B．10 C．18 D．30
3.一袋中有大小相同的 3个红球和 2个白球，从中不放回地取球 2次，每次任取一球，在第
一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率为（ ）
1 3 1 9
A． B． C． D．
3 10 2 25
4.某产品的宣传费用 x(万元)与销售额 y(万元)的统计数据如下表所示：
宣传费用 x(万元) 2 3 4 5
销售额 y(万元) 24 30 42 50
根据上表可得回归方程 y 9x a，则宣传费用为 6万元时，销售额最接近（ ）
A．55万元 B．60万元 C．62万元 D．65万元
5．某班联欢会原定的3个节目已排成节目单，开演前又增加了 2个新节目，如果将这 2个新
节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（ ）
A．12 B． 20 C．36 D．120
6.数列 an 满足 a1 2 , an 1(1 an ) 1(n N ) ,则 an 的最大值为（ ）
3 1 1
A. B. 3 C. D.
2 2 3
高二下期第三次考试（数学）第 1页（共 5页）
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7. 电路如图所示，在 A，B间有四个开关，若发现 A，B之间电路不通，则这四个开关打开
或闭合的方式有（ ）
A．3种 B．8种 C．13种 D．16种
8.已知函数 f x x3 ax2 bx c，下列结论中错误的是（ ）
A． x0 R， f x0 0
B．函数 f x 的值域为 R
C．若 x0是 f x 的极值点，则 f x0 0
D．若 x0是 f x 的极小值点，则 f x 在区间 , x0 单调递减
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分，在给出的四个选项中至少有
一项是正确的，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分。
9.若 2x 1 10 a0 a1x a x2 a x102 10 ， x R，则（ ）
A．a2 180 B． a0 a1 a2 a10 3
10
a a a a
C． a1 a2 a 0 D． 1 2 3 1010 2 3 10 12 2 2 2
10.已知 an 是等差数列，其公差为d ，前 n项和为 Sn， a10 10， S10 70 .则（ ）
A． a1 4 B． d
2
3
C．数列 an 为递减数列 D．数列 Sn 是等差数列
11.甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布 N( 1， 21 )，N(
2
2， 2 )，
其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
附:若随机变量 X服从正态分布 N( ， 2 )，则 P X 0.6826 .
A．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩甲
B．甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近
高二下期第三次考试（数学）第 2页（共 5页）
{#{QQABQQoAoggoAAJAABgCQQUCCEGQkBCCAAgGwBAIIAAAyBFABAA=}#}
C．若 1 5，则甲同学成绩高于 80分的概率约为 0.1587
D．若 2 5，则乙同学成绩低于 80分的概率约为 0.3174
12.甲、乙、丙三人参加某公司招聘面试，面试时每人回答 3道题，3道题都答对则通过面试，
2 3 1
已知甲、乙、丙三人答对每道题的概率分别是 ， ， ，假设甲、乙、丙三人面试是否
3 5 2
通过相互没有影响，且每次答题相互独立，则（ ）
8
A．甲通过该公司招聘面试的概率是
27
7
B．甲、乙都通过该公司招聘面试的概率是
125
1
C．甲、丙都通过该公司招聘面试的概率是
27
25
D．在乙通过该公司招聘面试的条件下，恰有两人通过该公司招聘面试的概率是
72
第 Ⅱ 卷
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.C 6n C
5
n ，则C10n =_______.
14. f x 2lnx x 2函数 在点 1,1 处的切线方程为______．
15.现有两批产品，第一批产品的次品率为 5%，第二批产品的次品率为 15%，两批产品
以 3:2的比例混合在一起，从中任取 1件，该产品合格的概率为 .
16．在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五
个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在 a、b、 c三家酒店选择一家，且每家酒
店至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有 ．（填具体数字）
四、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
n
17. 10 1 （ 分）已知二项式 ax 的第三项和第八项的二项式系数相等.
x
（1）求 n的值；
（2）若展开式的常数项为84，求 a .
18.(12分)科研人员在研制新冠肺炎疫苗过程中，利用小白鼠进行接种实验，现收集了小白
鼠接种时的用药量 x（单位：毫克）和有效度 y的 7组数据，得如下散点图及其统计量的值：
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{#{QQABQQoAoggoAAJAABgCQQUCCEGQkBCCAAgGwBAIIAAAyBFABAA=}#}
7 7 7
x y x 2i x 2i i yi y
i 1 i 1 i 1
2.7 13.4 10.5 182 54 86.4
n n
x x y y x y nxy
2 1 7
i i i i
i 1 i 1
其中 i xi ， i ．b n n ，7 i 1 x x 2 x 2 nx 2i i
i 1 i 1
a y bx．
(1)根据散点图判断，y a bx与 y c dx2 哪一个更适合作为有效度 y与用药量 x的回归方
程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立 y关于 x的回归方程；
(3)若要使有效度达到 75，则用药量至少为多少毫克？
19、(12分)在等差数列 an 中，a2 3,a5 6．
（1）求数列 an 的通项公式；
1
（2）设bn a a ，求数列 bn 的前 n项和 Sn．n n 1
20、(12分)某电视台为了解不同性别的观众对同一档电视节目的评价情况，随机选取了 100
名观看该档节目的观众对这档电视节目进行评价，已知被选取的观众中“男性”与“女性”的人
数之比为9 :11，评价结果分为“喜欢”和“不喜欢”，并将部分评价结果整理如下表所示.
评价性别 喜欢 不喜欢 合计
男性 15
女性
合计 50 100
(1)根据所给数据，完成上面的 2 2列联表；
(2)依据 0.005的独立性检验，能否认为性别因素与评价结果有关系？
2 n(ad bc)
2
0.010 0.005 0.001附： a b c d a c b d
6.635 7.879 10.828
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21.(12 分)设函数 f (x) x3 3ax2 3bx的图象与直线 12x＋y－1＝0相切于点（1，－11）．
(1)求 a、b的值．
(2)讨论函数 f（x）的单调性．
22．(12分) 2某校高三年级有 1000人，某次考试不同成绩段的人数 ~N 127,7.1 ,且所有得
分都是整数.
(1)求全班平均成绩；
(2)计算得分超过 141的人数；（精确到整数）
1
(3)甲同学每次考试进入年级前 100名的概率是 ，若本学期有 4次考试，X 表示进入前 100
4
名的次数，写出 X 的分布列，并求期望与方差.
参考数据： P X 0.6827,P 2 X 2 0.9545
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{#{QQABQQoAoggoAAJAABgCQQUCCEGQkBCCAAgGwBAIIAAAyBFABAA=}#}2022～2023 学年度下期高二第三次考试
数学（B）卷答案
一、单选题
1、 C 2、 A 3、C 4、 B 5、 B 6、 A 7、C 8、D
二、多选题
9、 ABCD 10、 AB 11、 BC 12、 ACD
三、填空题
13、 11 14、 4x y 3 0 15、 0.91 16、 150
四、解答题
17、【详解】（1）由第3 2 7项和第8项的二项式系数相等可得Cn Cn ，解得 n 2 7 9；
r 3
（2）由（1）知，展开式的第 r 1项为：T C r ax 9 r 1 a9 r r
9 r
C x 2r 1 9 9 ；
x
9 3令 r 0，得 r 6 9 3 6，此时展开式的常数项为 a C9 84a
3 84，解得 a 1 .
2
18、(1)解：由散点图知， y与 x是非线性相关关系，所以 y c dx2 更适合作为有效度 y与
用药量 x的回归方程类型；
(2) 2解：令 i xi ，则 y c d ，
7
( i )(yi y)
d i 1 86.47 1.6，
( )2 54i
i 1
c y d 13.4 1.6 10.5 3.4 ，
y 3.4 1.6 ，
故 y关于 x的回归方程为 y 3.4 1.6x2；
(3)解：当 y 75时，有 75 3.4 1.6x2，解得 x 7，
故要使有效度达到 75，则用药量至少为 7毫克．
19、【详解】（1）设等差数列 an 的首项为 a1，公差为 d．
∵a2 3,a5 6，
a1 d 3,
∴ ，
a1 4d 6,
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a1 2,
解得
d 1,
∴ an a1 (n 1)d n 1．
1 1 1 1
（2）由（1）知 an n 1，∴bn a a (n 1)(n 2) n 1 n 2 ，n n 1
S b 1 1 1 1∴ n 1 b2 bn
1 1
2 3 3 4 n 1 n 2
1 1 n
2 n 2 2(n ． 2)
9
20、【详解】（1）男性有100 45人，女性有100 45 55人，然后可得下表：
9 11
评价性别 喜欢 不喜欢 合计
男性 15 30 45
女性 35 20 55
合计 50 50 100
（2）零假设H0：假设性别因素与评价结果无关，
100(30 35 20 15) 2 100
计算卡方值 2 9.091，
50 50 45 55 11
2
小概率值对应的临界值为 7.879，所以 .
故推断零假设H0不成立，评价结果与性别有关系.
21、【详解】（1）由 f (x) x3 3ax2 3bx f (x) 3x2 6ax 3b，
因为函数 f (x) x3 3ax2 3bx的图象与直线 12x＋y－1＝0相切于点（1，－11），
3 12 6a 3b 12
所以有 ，解得a 1，b 3；
1
3 3a 3b 11
（2）由（1）可知 a 1，b 3，所以 f (x) 3x 2 6x 9 3(x 1)(x 3) ，
当 x 3时， f (x) 0, f (x) 单调递增；
当 1 x 3时， f (x) 0, f (x) 单调递减；
当 x 1时， f (x) 0, f (x) 单调递增，
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所以当 x 3, 时， f (x)单调递增；当 x 1,3 时， f (x)单调递减；
当 x , 1 时， f (x)单调递增.
22、(1) 2由不同成绩段的人数服从正态分布 N 127,7.1 ，可知平均成绩 127 .
(2)P 141 P 141.2 P 127 2 7.1
1
1 P( 2 2 0.0228 ,
2
故 141分以上的人数为1000 0.0228 23人.
(3) X 的取值为 0，1，2，3，4，
3 4P X 0 81 ,
4 256
P X 1 C1 1
1
3
3
27 4 4
,
4 64
2 2
P X 2 1 3 C 2 274 4 4
,
128
3 1
P X 3 C 2 1 3 3 4 4 , 4 64
1 4P X 4 1 ,
4 256
故 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
81 27 27 3 1
P
256 64 128 64 256
期望 E X 1 np 4 1，
4
方差D X np 1 1 3 3 p 4 .
4 4 4
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