项城三高 2022-2023 学年度下期高一第三次考试
数学答案
1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．C 7．A 8．C
9．AD 10．ABD 11．ABD 12．BC
500π
13．10 14． 5 15． 16．(1,2)
3
16 解、由正弦定理和正弦二倍角公式可得
2sinC sin (B A) = 2sin Asin Acos B + sin Bsin 2A
= 2sin Asin Acos B + 2sin Bsin Acos A = 2sin A(sin Acos B + sin Bcos A)
= 2sin Asin (A+ B)，
π
因为02
可得sin (B A) = sin A，
π π π π
因为0 A ，0 B ，所以 B A ，
2 2 2 2
所以B = 2A ，C = π 3A ，
π π π π
由0 B = 2A ，0 C = π 3A 可得 A ，
2 2 6 4
2 3 1 3所以 2 cos A ， cos A ，
2 2 2 4
c sinC sin3A sin (2A+ A) sin 2Acos A+ cos2Asin A
由正弦定理得 = = = =
a sin A sin A sin A sin A
= 2cos2 A+ cos2A = 4cos2 A 1 (1,2) .
故答案为： (1,2) .
17．解（1）Q z为实数， m2 2m = 0，解得：m = 0或m = 2 .
m2 5m+ 6 = 0
（2）Q z为纯虚数， ，解得：m = 3 .
m2 2m 0
18．解：（1）因为 1 √3 = ( , )，所以| | = 1，又因为| | = 2， 与 的夹角为120 ，
2 2
r r
∴ a b = 1，
2
所以| + 2
1
| = √( + 2 ) = √ 2 + 4 + 4 2 = √4 + 4 × 2 × 1 × ( ) + 4 = 2;
2
{#{QQABYQIAogCAAhBAABhCQQVyCECQkBACCAgGxBAIMAAASAFABAA=}#}
（2）由( + ) ⊥ (2 )，
得( + ) (2 ) = 0，即2 + (2 ) = 0，
2k + (2 k ) 2 1 cos120 4 = 0，解得k = 2 .
19 （1）由正弦定理以及 3acosC + c = b可得，
2
3
sin AcosC + sinC = sin B，又因为在VABC中sin B = sin(A+C)，
2
即 3sin AcosC + sinC = sin(A+C)，整理得
3
sinC = cos AsinC ；
2 2
π
又 3sinC 0，所以cos A = ，又 A (0,π)，可得 A = ；
2 6
π
即角A 的大小为 A = .
6
π
（2）由余弦定理a2 = b2 + c2 2bccos A及 A = 可得，
6
3
1= 3+ c2 2 3 c ，整理得c2 3c + 2 = 0，解得c =1或c = 2；
2
当 1 1 1 3c =1时，VABC的面积为S = bcsin A = 3 1 = ；
2 2 2 4
当 c = 2时，
1 1 1 3
VABC的面积为S = bcsin A = 3 2 = ；
2 2 2 2
3
综上可知， 的面积为 或 3VABC
2 4
20 （1）连接 AC，与 AC1 1相交于点 F，连接 MF，则F 为 A1C的中点，
因为M 为 BC中点，所以MF是VA1BC 的中位线，所以MF / /A1B，
因为MF 平面 AMC1， A1B 平面 AMC1，所以 A1B / /平面 AMC1
（2）因为直三棱柱 ABC - A1B1C1上下底面为正三角形， AB = 6， AA1 = 3，
{#{QQABYQIAogCAAhBAABhCQQVyCECQkBACCAgGxBAIMAAASAFABAA=}#}
所以CC1 =CM = BM = BB1 = 3，所以 CMC1 = BMB1 = 45 ，所以 B1MC1 = 90 ，
即B1M ⊥MC1，由三线合一可得： AM ⊥ BC ，又因为BB1 ⊥平面 ABC， AM 平面 ABC，
所以BB1 ⊥ AM ，因为 ∩ 1 = ，所以 ⊥平面BCC1B1，
因为B1M 平面BCC1B1，所以 ⊥B1M 因为 AM MC1 = M
所以B1M ⊥平面 AMC1，因为B1M 平面 AMB1，所以平面 AB1M ⊥平面 AC1M
BD AB
21 （1）在△ABD中，由正弦定理得 = ，代入数值并解得
sin A sin ADB
2
sin ADB = ．又因为BD AB，所以 A ADB，即 ADB为锐角，所以
5
23
cos ADB = ．
5
（2）在 23△BCD，由（1）得，cos ADB = ，
5
BC2 = BD2 +DC2 2BD DC cos(90 ADB)
= 52 + (2 2)2 2 5 2 2 sin ADB = 25，所以BC=5．
22．（1）证明：在矩形 ABCD中， AB = 2AD，M 为CD的中点，∴ AD = DM ，O是 AM
的中点，∴DO ⊥ AM ，
∵平面 ADM ⊥平面 ABCM ，平面 ADM I 平面 ABCM = AM ， OD ⊥平面 ABCM ，
Q DO 平面BDO，∴平面BDO ⊥平面 ABCM ；
（2）证明：在矩形 ABCD中， AB = 2AD，M 为CD的中点，∴
2
AM = BM = 2AD = AB ，则 AM 2 + BM 2 = AB2，∴ AM ⊥ BM ，
2
由（1）知，DO ⊥平面 ABCM ，∵BM 平面 ABCM ，∴DO ⊥ BM ，
∵DO I AM =O，DO 平面 ADM ， AM 平面 ADM ，∴BM ⊥平面 ADM ，
又∵ AD 平面 ADM ，∴ AD⊥ BM .
{#{QQABYQIAogCAAhBAABhCQQVyCECQkBACCAgGxBAIMAAASAFABAA=}#}项城三高 2022-2023 学年度下期高一第三次考试
数学试题
（满分：150 分 时间：120分钟）
一、单选题(每小题 5分，共 40分)
1．在复平面内，复数 i3 + i2对应的点位于（ ）
A．第三象限 B．第二象限 C．第一象限 D．第四象限
1
2．已知△ 中，内角 A, B,C 所对的边分别a,b,c，若a =1，b = 2，sin A = ，则
6
sin B =（ ）
2 1 5 1
A． B． C． D．
3 3 6 2
3．已知向量 = (2， )， = (4， 1)，且( ) ⊥ ( + )，则实数m 等于（ ）
1
A．2 B． C．8 D．± 13
2
4．在 ABC中，内角 ， ，C 所对的边分别为 ， ， ，若
sin A : sin B : sinC = 5:7 :9，则cosC =（ ）
3 1 1 1
A． B． C． D．
35 14 5 10
5．灯罩的更新换代比较快，而且灯具大部分都是设计师精心设计，对于灯来说，不用
将灯整个都换掉，只需要把灯具的外部灯罩进行替换就可以改变灯的风格.杰斯决定更
换卧室内的两个灯罩来换换氛围，已知该灯罩呈圆台结构，上下底皆挖空，上底半径为
10 cm，下底半径为 18cm，母线长为 17cm，侧面计划选用丝绸材质布料制作，若不计
做工布料的浪费，则更换两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为（ ）
A．969πcm2 B．952πcm2 C．864πcm2 D．476πcm2
高一数学试卷第1页共 4 页
{#{QQABYQIAogCAAhBAABhCQQVyCECQkBACCAgGxBAIMAAASAFABAA=}#}
6．如图，在正六边形 ABCDEF 中， =（ ）
A． 2 B． + 2
C．2 + D．2 + 2
7．在四棱锥 P-ABCD中，PA⊥平面 ABCD，PA=2，四边形 ABCD是边长为 2的正方
形，E是 PD的中点，则异面直线 BE与 PC所成角的余弦值是（ ）
2 3 3 2
A． B． C． D．
3 3 6 6
8．已知直三棱柱 ABC - A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且 AB = AC =1，
20 5
BC = 3 ．若球O的体积为 π，则这个直三棱柱的体积等于（ ）
3
A． 2 B．2 C． 3 D． 5
二、多选题(每小题 5分，共 20分)
9．下列各复数中，模长为 1的有（ ）
A．1 B．2 i C．1 i D． i
10．已知直线 a，b，平面 , ，则下列说法错误的是（ ）
A． a//b，b ，则 a / / B．a / / ，b// ，则a//b
C．a，b异面，且a ，b ，a / / ，b// ，则 // D．a / / ，a / / ，则 //
11．一艘轮船航行到 A处时看灯塔 B在 A的北偏东75o方向上，距离为 12 3 海里，灯
塔 C在 A的北偏西 30°方向上，距离为 6√6海里，该轮船从 A处沿正北方向继续航行到
D处时再看灯塔 B在其南偏东60 方向上，下面结论正确的有（ ）
A． AD =12 2 海里 B．CD = 6 2 海里
C． CDA = 60o或 CDA =120o D．灯塔 C在 D的南偏西60o方向上
1 2
12．如图，在VABC中， = ， = ，直线 AM交 BN于点 Q，则（ ）
2 3
高一数学试卷第2页共 4 页
{#{QQABYQIAogCAAhBAABhCQQVyCECQkBACCAgGxBAIMAAASAFABAA=}#}
A．
1
=
2
+ B． =
3 3
C． = 3 D． + + = 0
三、填空题(每小题 5分，共 20分)
13．已知向量 = (1, 2)， = ( , 2)，且 ⊥ ，则| + | =______．
14．已知复数 满足3 + = 6 2 ，则| | =________．
15．已知两平行的平面截球所得截面圆的面积分别为 9π和 16π，且两截面间的距离
为 1，则该球的体积为______．
16．在锐角△ 中，内角 A，B，C所对应的边分别是 a，b，c，且
c
2csin (B A) = 2asin Acos B +bsin 2A，则 的取值范围是______．
a
四、解答题(共 70分)
2 2
17．（10分）已知 i是虚数单位，复数 z = (m 5m + 6)+ (m 2m) i，m R．
(1)当复数 z 为实数时，求m 的值；
(2)当复数 z 为纯虚数时，求m 的值；
1 3 2
18．（12分）已知向量| √ | = 2, = ( , )且 与 夹角为 ，
2 2 3
（1）求| + 2 |；
（2）若( + ) ⊥ (2 )，求实数k 的值.
3
19．（12分）在VABC中，内角 A, B,C 所对边分别为a,b,c，且acosC + c = b
2
(1)求角A 的大小
(2)若a =1，b = 3，求△ 的面积．
高一数学试卷第3页共 4 页
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20．（12分）如图所示，直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，M 为BC中点．
(1)求证： A1B / / 平面 AC1M ；
(2)若三棱柱 ABC - A1B1C1上下底面为正三角形， AB = 6， AA1 = 3，
求证：平面 AB1M ⊥平面 AC1M ．
21．（12分）在平面四边形 ABCD中， ADC = 90o， A = 45o， AB = 2，BD = 5 .
（1）求cos ADB；
（2）若DC = 2 2 ，求 BC .
22．（12分）如图所示，在矩形 ABCD中， AB = 2AD，M 为CD的中点.将△ADM 沿
AM 折起，使得平面 ADM ⊥平面 ABCM .点O是线段 AM 的中点.
(1)求证：平面BDO ⊥平面 ABCM ；
(2)求证： AD⊥ BM
高一数学试卷第4页共 4 页
{#{QQABYQIAogCAAhBAABhCQQVyCECQkBACCAgGxBAIMAAASAFABAA=}#}
