2023年四川省雅安市中考数学试卷（含解析）

2023年四川省雅安市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在，，，四个数中，负数是( )
A. B. C. D.
2. 计算的结果是( )
A. B. C. D.
3. 如图，是由个相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 如图，，于点，，则的度数为( )
A. B. C. D.
5. 若，则的值是( )
A. B. C. D.
6. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
7. 不等式组的解集是( )
A. B. C. D.
8. 如图，某小区要绿化一扇形空地，准备在小扇形内种花，在其余区域内阴影部分种草，测得，，，则种草区域的面积为( )
A. B. C. D.
9. 某位运动员在一次射击训练中，次射击的成绩如图，则这次成绩的平均数和中位数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
10. 在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，再向上平移个单位长度，所得直线的函数表达式为( )
A. B. C. D.
11. 如图，在 中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
12. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，对称轴是直线，下列结论中，所有正确结论的序号为( )
；
点的坐标为；
；
对于任意实数，都有．
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13. 在一个不透明的口袋中，装有个红球和若干个黄球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球是红球的概率为，则口袋中黄球有______ 个
14. 若，，则的值为______ ．
15. 已知关于的方程的一个根为，则该方程的另一个根为______ ．
16. 如图，在中，，，为边上一动点，作于点，于点，则的最小值为______ ．
17. 如图，四边形中，，，，交于点，，，则的长为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
计算：
先化简，再求值：，其中．
19. 本小题分
某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况，开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：
成绩分 频数人 频率
请根据图表信息解答下列问题：
求，，的值；
补全频数分布直方图；
某班有名男生和名女生的成绩都为分，若从这名学生中随机抽取名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的名学生恰好为男女的概率．
20. 本小题分
如图，已知，是 对角线上两点，．
求证：≌；
若交的延长线于点，，，，求 的面积．
21. 本小题分
李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示：
品名 甲蔬菜 乙蔬菜
批发价元
零售价元
若他批发甲、乙两种蔬菜共花元，求批发甲、乙两种蔬菜各多少千克？列方程或方程组求解
若他批发甲、乙两种蔬菜共花元，设批发甲种蔬菜，求与的函数关系式；
在的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？
22. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形，点，在坐标轴上，反比例函数的图象经过点．
求反比例函数的表达式；
点在反比例函数图象上，且横坐标大于，，求直线的函数表达式．
23. 本小题分
如图，在中，，以为直径的与交于点，点是的中点，连接，．
求证：是的切线；
若，，求的长；
在的条件下，点是上一动点，求的最大值．
24. 本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，对称轴是直线．
求此抛物线的函数表达式及顶点的坐标；
若点在抛物线上，过点作轴的平行线交抛物线于点，当是等边三角形时，求出此三角形的边长；
已知点在抛物线的对称轴上，点的坐标为是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：在，，，四个数中，，是正数，是负数，既不是正数也不是负数．
故选：．
根据负数的定义即可判断．
本题考查了实数，解题的关键是正确区分正数与负数．
2.【答案】
【解析】解：
．
故选：．
零指数幂：，由此即可计算．
本题考查零指数幂，关键是掌握零指数幂：．
3.【答案】
【解析】解：从正面看，底层是两个正方形，上层的左边是一个正方形．
故选：．
根据主视图的概念找出找到从正面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4.【答案】
【解析】解：，
，
于点，
，
，
，
故选：．
先根据平行线的性质求出的大小，再根据余角的性质即可求出．
本题考查平行线的性质和余角的性质，熟练掌握以上性质是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：．
故选：．
将化简，代入求值计算即可．
本题考查了代数式求值，解题的关键是掌握整体代入思想．
6.【答案】
【解析】解：、与不是同类项，没法合并，故选项A不符合题意；
B、，故选项B不符合题意；
C、，故选项C不符合题意；
D、，故选项D符合题意．
故选：．
分别根据合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法法则即可得出答案．
此题考查了合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：由题意，，
由得，；由得，．
原不等式组的解集为：．
故选：．
依据题意，分别解出组成不等式组的两个不等式的解集，进而可以得解．
本题主要考查一元一次不等式组的解集，解题时需要熟练掌握并能准确计算．
8.【答案】
【解析】解：
故选：．
大扇形面积减去小扇形面积得阴影部分的面积．
本题考查了扇形面积公式，比较简单．
9.【答案】
【解析】解：平均数：，
将个数据从小到大排列为：，，，，，，，，，共十个数，第五个与第六个数分别为，，所以中位数是，
故答案选：．
根据折线图将成绩从小到大排列，然后求中位数与平均数即可．
本题考查了中位数平均数，解题的关键在于熟练掌握平均数中位数的定义求与求解方法．
10.【答案】
【解析】解：在函数的图象上取点，
绕原点逆时针方向旋转后得到对应的点的坐标，
设旋转后的直线的解析式为，
再向上平移个单位长度，得到．
故选：．
找出上一个点坐标，进而旋转后对应点的坐标，利用待定系数法求出旋转后一次函数解析式，再根据上加下减的平移规则即可求得直线的函数表达式为．
此题考查了一次函数的图象与几何变换，熟练平移的规则是解本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
∽，
，
，，
，
即，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质得出，，，于是推出∽，∽，先求出与的比值，继而得出与的比值，再根据相似三角形对应边成比例即可求出的长．
本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些图形的性质是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：抛物线开口向下，
，错误，
、关于对称轴对称，
点的横坐标为，正确，
二次函数的对称轴为直线，
，
，
把代入，得：
，
，整理得：
，正确，
二次函数的对称轴为直线，
当时，抛物线取得最大值为，
当时，，
，
即，正确．
所有正确结论的序号为．
故选：．
通过抛物线开口方向，对称轴，抛物线与轴交点可判断、、，通过时抛物线取得最大值判断，进而求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是灵活运用二次函数图象和性质．
13.【答案】
【解析】解：设有黄球个，
根据题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解．
故答案为：．
根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
14.【答案】
【解析】解：，，
．
故答案为：．
根据平方差公式得，再将已知代入即可．
本题考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：设方程的另一个根为，
根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
设方程的另一个根为，根据两根之积等于，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图，连接，
，，，
，，
，
四边形是矩形，
，
由垂线段最短可得，当时，线段的值最小，
此时，，
，
的最小值为，
故答案为：．
连接，由勾股定理求出的长，再证四边形是矩形，得，然后由等腰直角三角形的性质求出的长，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：如图：连接、交于点，过点作，交于点，
又，，
是等边三角形，
，
，，
，，
，
又，
．
，
过点作，交于点，
，
，
，
，
．
在中，．
故答案为：．
连接、交于点，过点作，交于点，先证明是等边三角形，垂直平分，求得，，再解三角形求出，最后运用勾股定理求得即可．
本题属于四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质、平行线的性质、垂直平分线、勾股定理、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线成为解答本题的关键．
18.【答案】解：原式
；
原式
，
当时，原式．
【解析】先根据负整数指数幂、实数的运算和绝对值的意义化简，然后计算加减即可；
首先计算小括号里面的分式的加法，然后再计算括号外分式的除法，化简后，再代入的值可得答案．
此题考查了实数的混合运算，以及分式的混合运算，涉及的知识有：零指数幂、负整数指数幂公式，二次根式的化简，通分，以及约分，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
19.【答案】解：调查人数为：人，，，，
答：，，；
由各组频数补全频数分布直方图如下：
用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：
共有种等可能出现的结果，其中男女的有种，
所以抽取的名学生恰好为男女的概率是．
【解析】成绩在的有人，占调查人数的，由频率可求出调查人数，进而求出、、的值；
根据频数分布表中的频数补全频数分布直方图；
从男女三人中随机选取人，用树状图法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查频数分布表、频数分布直方图以及列表法或树状图法，掌握频率以及列举所有等可能出现的结果是正确解答的前提．
20.【答案】证明：四边形为平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌；
解：，
，
于，
，
，
，
，
解得，
，
在中，，
，
，
．
【解析】由平行四边形的性质利用可证明结论；
利用更改的先求解，的长，再解直角三角形求解的长，即可求得的长，再利用平行四边形的面积公式计算可求解．
本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识的综合运用，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
21.【答案】解：设批发甲种蔬菜千克，批发乙种蔬菜千克，根据题意得，
，解得，
答：批发甲种蔬菜千克，批发乙种蔬菜千克；
根据题意得，
整理得；
设全部卖完蔬菜后利润为元，根据题意得，
，
整理得，
要保证利润不低于元，
，
解得，
至少批发甲种蔬菜千克．
【解析】设批发甲种蔬菜千克，批发乙种蔬菜千克，根据题意列方程组求解即可；
根据题意批发甲种蔬菜，则批发乙种蔬菜千克，再列出关系式即可；
设全部卖完蔬菜后利润为元，根据题意列出关于的函数关系式，进而得到不等式，求解即可．
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式以及一次函数的应用，解答本题的关键是找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解，并且要熟练掌握一次函数的性质．
22.【答案】解：四边形是边长为的正方形，
，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的表达式为；
作轴于，
轴，
，
设，则，，
，
，
，
整理得，
解得或舍去，
，
设直线的解析式为，
把、的坐标代入得，
解得，
直线的函数表达式为．
【解析】根据正方形的性质得到，然后利用待定系数法即可求解；
作轴于，根据反比例函数系数的几何意义得出，设，则，，然后根据，求得的值，从而求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的解析式，正方形的性质，反比例函数系数的几何意义，求得点、的坐标是解题的关键．
23.【答案】证明：连接，如图所示，
为的直径，
，
，
点为的中点，
，
，
．
．
，
，
，
是的半径，
与相切；
解：由知，，
是的中点，
．
，
，
，
又在中，，即，
负值已舍去，
：
解：设中边上的高为，
由可知，
又是直径，
，
，
，
当取最大值时，也取最大值，
又，
当取最大值时，取最大值，
此时边高为取最大值为，
．
，
，
．
综上所述：的最大值为．
【解析】连接，由圆周角定理得到，由直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质证得，由等腰三角形的性质得到，根据，得到，由切线的判定即可证得与相切；
角三角形斜边中线的性质求出，根据三角函数的定义即可求出；
设中边上的高为，由可得，即可得出当取最大值时取最大值，根据进而求解即可．
本题主要考查了圆周角定理、切线的判定以及直角三角形的性质，解题的关键是：熟练掌握切线的判定方法；通过解直角三角形斜边中线的性质证得将的最大值转化为的面积最大值．
24.【答案】解：对称轴是直线，
，
解得，
，
将点代入，可得，
函数的解析式为，
当时，，
顶点；
设直线所在的直线为，
当时，，，
，
，
点到直线的距离为，
是等边三角形，
，即，
解得或舍，
三角形的边长为；
在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，理由如下：
设，，
当为菱形对角线时，，
，
解得，
；
当为菱形对角线时，，
，
解得舍或，
；
当为菱形对角线时，，
，
解得或，
或；
综上所述：点坐标为或或或
【解析】根据对称轴公式求出，再将点代入函数解析式即可求的值，从而确定函数解析式；
设直线所在的直线为，当时，，，可得，点到直线的距离为，根据等边三角形的性质可得，求出的值即可求三角形的边长；
设，，根据菱形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式和两点间距离公式建立方程，求出点坐标即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等边三角形的性质，菱形的性质是解题的关键．
第1页，共1页