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第22章《二次函数》
分层练习
考查题型一 二次函数的定义
1．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）下列函数中是二次函数的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】整理成一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．
【详解】解：A选项：是一次函数，故此选项错误；
B选项：，是二次函数，故此选项正确；
C选项：，为一次函数，故此选项错误；
D选项：是组合函数，不是二次函数，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义：函数（，a、b、c为常数）叫二次函数．
2．（2023秋·安徽池州·九年级统考期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可．
【详解】A．是一次函数，故不符合题意；
B．是二次函数，故符合题意；
C．是一次函数，故不符合题意；
D．是反比例函数，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数．
3．（2022秋·河南许昌·九年级校考阶段练习）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、是一次函数，不符合题意；
B、是一次函数，不符合题意；
C、是二次函数，符合题意；
D、是一次函数，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查二次函数定义，解题关键是掌握二次函数的形式：一般地，形如（且a、b、c）是常数的函数叫做二次函数．
4．（2023·辽宁鞍山·统考一模）下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】二次函数的解析式必须是含自变量的整式，二次项系数不为0．
【详解】解：A、是一次函数，故本选项不符合题意；
B、二次项系数a不能确定是否为0，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、是二次函数，故本选项符合题意；
D、是正比例函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】解题关键是掌握二次函数的定义及条件：二次函数的定义条件是：a、b、c为常数，，自变量最高次数为2．
考查题型二 根据二次函数的定义求参数
1．（2023春·四川内江·九年级校考阶段练习）是二次函数，则m的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义即可求解．
【详解】解：是二次函数，
∴，，
解得，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数的定义条件是：a、b、c为常数，，自变量最高次数为2．
2．（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）已知y关于x的二次函数解析式为，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义得，进行计算即可得．
【详解】解：∵y关于x的二次函数解析式为，
∴
解得，，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义，正确计算．
3．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）若抛物线经过点，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】将点P代入函数表达式中，解方程可得a值．
【详解】解：将代入中，得：
，
解得：，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上的点，熟知二次函数图像上的点的坐标满足函数表达式是解题的关键．
4．（2022秋·安徽淮北·九年级淮北市第二中学校联考阶段练习）若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0
【答案】A
【分析】根据二次函数的二次项系数不为0可得关于a的不等式，解不等式即得答案．
【详解】解：由题意得： ，则．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，属于基础题型，掌握二次函数的概念是关键．
考查题型三 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1．（2020秋·广东东莞·九年级校联考期中）二次函数图象如图，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①②④ C．②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】由二次函数图象可知，，，即可判断①；由二次函数的对称轴为直线即可判断②；将代入即可判断③；将代入即可判断④．
【详解】解：①∵开口向下，
∴，
∵对称轴为
∴，
∵二次函数图象与y轴交于正半轴
∴
∴，
故①错误；
∵对称轴为
∴，即，故②正确；
由图象可得，
当时，，故③正确；
由图象可得，
当时，，故④错误．
综上所述，正确的有②③．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
2．（2023·湖南怀化·统考三模）函数（，）的图象是由函数（，）的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
①；②；③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．
A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得，故①正确；由图象可得，当时，，可判段②；由函数图象与y轴的交点坐标为，的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成可知，故③错误；求出翻折前的二次函数解析式，然后根据平移的性质可得④正确．
【详解】解：由函数图象可得：与x轴交点的横坐标为－1和3，
∴对称轴为，即，
∴整理得：，故①正确；
由图象可得，当时，，故②正确；
∵与y轴的交点坐标为，
可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成，
∴，故③错误；
设抛物线的解析式为，
代入得：，
解得：，
∴，
∴，
∴顶点坐标为，
∵点向上平移1个单位后的坐标为，
∴将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键．
3．（2023·湖北黄冈·校考二模）抛物线（a，b，c是常数，且）开口向下且过点，，其中，以下结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则，其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由抛物线开口方向、二次函数对称轴位置及，从而判断①②，由及可判断③，将方程有两个不相等的实数根转化为抛物线与直线有两个交点的问题可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵过点，
∴，，
∴，
∴，故①正确；
抛物线开口向下，，
时，，故②正确．
抛物线开口向下，
，
，，时，，
，③正确．
若有两个不相等的实数根，
则，有两个不相等的实数根，
抛物线开口向下，
抛物线顶点纵坐标大于1，
即，
，故④错误．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）如图，二次函数的图象经过点且与x轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：
①．
②．
③．
④．
⑤．
其中，结论正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴，
∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴，
∵抛物线对称轴所在的直线在y轴和直线之间，
∵，
又∵，
∴，
∴，故①错误；
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵当时，，
∴，故③正确；
∵抛物线顶点纵坐标大于2，
∵，
∴，故④错误；
当时，，
∴,
∵当时，，当时，,
∴，，
∴,
∴，，
∴，
∴，故⑤错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等，解答本题关键明确二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
考查题型四 二次函数与方程和不等式
1．若对称轴为直线的抛物线经过点，则一元二次方程的根是 ．
【答案】，
【分析】根据二次函数的对称性求出的对称点，即可得到答案；
【详解】解：∵对称轴为直线的抛物线经过点，
∴点的对称点是：，即，
∴方程的根是，，
故答案为：，；
【点睛】本题考查抛物线的性质及二次函数与一元二次方程关系，解题的关键是根据对称性求出对称点．
2．（2023·江苏宿迁·统考三模）二次函数与轴交点坐标分别为，，则的值是 ．
【答案】
【分析】根据二次函数与轴有交点，令，可解出的值，代入计算即可求解．
【详解】解：∵二次函数与轴交点坐标分别为，，
∴令，则，
∴，则，
∴或，
当时，
∴
；
当时，
∴
；
故答案为：
【点睛】本题主要考查二次函数与坐标轴的交点问题及解一元二次方程，掌握二次函数与轴有交点，可求出交点的横坐标的值，整式的混合运算等知识是解题的关键．
3．（2023·云南昆明·统考二模）如图，在平面直角坐标中，抛物线和直线交于点和点，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据已知图象，确定交点横坐标,再找出直线在抛物线上方的部分，即可得到答案．
【详解】解：由图象可知，抛物线与直线交点的横坐标分别为0、3，
当时，直线在抛物线上方，
不等式的解集为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
4．（2020秋·广东广州·九年级执信中学校考期中）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是 ．
【答案】或
【分析】由图象判断是对称轴，与x轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图象即可求解．
【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴是直线，
与x轴一个交点坐标，
由函数的对称性可得，与x轴另一个交点是，
∴的解集为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查二次函数图象的应用；能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点，数形结合解不等式是解题的关键．
考查题型五 用待定系数法求二次函数解析式
1．（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）如图，拋物线与轴的两个交点分别为点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在该抛物线上，当的面积为时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）将点，的坐标分别代入，求出，；
（2）以为底，求出的高，即点的纵坐标的绝对值，进而将的纵坐标代入抛物线的表达式，求解其横坐标．
【详解】（1）解：点，在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：，，
．
又，
，即．
①令，该方程无解，不符合题意；
②令，解得，．
或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与三角形面积的综合，熟练掌握相关知识是解题的关键．
2．（2023·广东深圳·统考三模）如图，抛物线经过点，点，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点是抛物线的顶点，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知得出点，进而待定系数法求解析式即可求解．
（2）根据解析式化为顶点式求得，待定系数法求得直线的解析式，过点作轴于点，交于点，则，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点，且．
∴，
即，
设抛物线解析式为，将代入得，
解得：，
∴抛物线解析式为
（2）解：∵，
∴,
如图所示，过点作轴于点，交于点，
设直线的解析式为，将代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．（2023·浙江湖州·统考二模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)将该抛物线向下平移n个单位，使得平移后的抛物线经过点，求n的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把点代入可求出b，从而得解；
（2）根据抛物线向下平移n个单位，得到新抛物线的解析式，再将点代入可求出n的值．
【详解】（1）解：把点代入得：，
解得，
∴抛物线的解析式为：
（2）抛物线向下平移n个单位后得：，
把点代入得：
解得：
即n的值为1．
【点睛】本题考查待定系数法和抛物线的平移，掌握待定系数法和抛物线的平移是解题的关键．
4．（2022秋·浙江衢州·九年级统考期末）如图，点都在二次函数的图象上．
(1)求a，b的值．
(2)若二次函数的图象经过点，，，比较，，的大小，并简述理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可；
（2）根据函数的性质解答．
【详解】（1）解：将代入中，得
，解得，
∴
（2）∵，
∴二次函数的解析式为，
∵，对称轴为直线，
∴当时y随x的增大而减小，当时y随x的增大而增大，
∵二次函数的图象经过点，，，且
∴．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的增减性，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
考查题型六 实际问题与二次函数
1．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如下表：
售价x（元/件） 50 60 70
周销售量y（件） 80 60 40
周销售利润w（元） 800 1200 1200
注：周销售利润=周销售量×（售价-进价）
(1)写出y关于x的函数解析式：___________；
(2)求该商品的进价和周销售的最大利润：
(3)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（），物价部门规定该商品售价不得超过60元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1080元，求m的值．
【答案】(1)
(2)售价为65元/件时，周销售利润最大，为1250元
(3)
【分析】（1）依题意设，解方程组即可得到结论；
（2）根据利润=售价-进价，周销售利润=周销售量×（售价-进价）列出函数关系式，根据性质解答即可；
（3）利用二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，将分别代入得，
，解得，
∴y与x的函数关系式是；
故答案为：；
（2）解：设进价为a元，由售价50元时，周销售量为80件，周销售利润为800元，得
，
解得：
即该商品的进价为40元/件；
依题意有
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，w有最大值为1250，
即售价为65元/件时，周销售利润最大，为1250元．
（3）解：依题意有，
∵，
∴对称轴，
∵，
∵
∴w随的增大而增大，
∴当时，w有最大值，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，熟练掌握题目中的等量关系是解答本题的关键．
2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．
(1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
(2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨．为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？
【答案】(1)
(2)如果该船的速度不变，那么它不能安全通过此桥
【分析】（1）根据题意可得，然后利用待定系数法求解即可；
（2）先求出船到达桥下水面的高度，再求出抛物线顶点坐标，进而得到船到达桥下时水面距离最高点的高度，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，，
设抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：船行驶到桥下的时间为：小时，
水位上升的高度为：．
∵抛物线解析式为，
∴抛物线顶点坐标为，
∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为，
∴如果该船的速度不变，那么它不能安全通过此桥．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
3．（2023·安徽合肥·校联考一模）如图，抛物线经过，，三点，D为直线上方抛物线上一动点，过点D作轴于点Q，与相交于点M．于E．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求线段长度的最大值；
(3)连接，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点D的坐标为或
【分析】（1）设抛物线解析式为，将代入，得：，解得，即可求出抛物线解析式为；
（2）设，且，设直线的解析式为，将，代入，求出直线BC的解析式为，证明，得出，，即可解得；
（3）设，且，由(2)知，分两种情况讨论即可①若，，解得或0(舍去)； ②若， ，解得或0(舍去)，即可解得．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点，
∴设抛物线解析式为，
将代入，得：，
解得，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：设，且，
在中，
，
，
，
设直线的解析式为，将，代入，
得，
解得，
∴直线BC的解析式为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴轴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴当时，取得最大值，最大值是；
（3）存在点D，使得中有一个角与相等．
∵，，，
∴，
，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
设，
且，
则，
∴，
由(2)知，
∴，
①若，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得或0(舍去)，
∴点D的坐标为；
②若，
则，
∵，
∴，
∴，
解得或0(舍去)，
∴点D的坐标为；
综上，存在，点D的坐标为或
【点睛】此题考查了二次函数的知识，解题的关键是熟悉求二次函数的解析式和极值问题．
4．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长．
【答案】(1)y关于x的函数表达式为；
(2)运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为．
【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，利用待定系数法即可求解；
（2）令，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，
设抛物线的表达式为，
∴，解得，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）解：令，则，
解得（负值舍去），
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．
1．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在平面直觓坐标系中，拋物线的顶点为，交轴于点，点是拋物线上一点．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标．
(2)当时，求二次函数的最大值与最小值的差．
(3)若点是轴上方抛物线上的点（不与点重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，当线段的长随的增大而增大时，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)，
(2)12
(3)或
【分析】（1）先运用待定系数法求得函数解析式，然后再运用配方法求得出顶点M的坐标即可；
（2）先根据该二次函数的性质求得其在上的最大值和最小值，然后作差即可解答；
（3）先求出直线的表达式为，设点（且），则点．然后分点在点的下方和上方两种情况解答即可．
【详解】（1）解：∵点是拋物线上的点，
∴解得：
∴抛物线的表达式为．
∵，
∴拋物线顶点的坐标为．
（2）解：∵抛物线顶点的坐标为，
∴当时，随的增大而减小．
∴当时，在处，取得最大值；
在处，取得最小值．
∴当时，二次函数的最大值与最小值的差为．
（3）解：设直线的表达式为，
∵点，
解得：
直线的表达式为，
设点（且），则点．
当点在点的下方，即时，，
∴时，线段的长随的增大而增大；
当点在点的上方时，，
∴当时，线段的长随的增大而增大．
综上所述，当线段的长随的增大而增大时，的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数的最值、二次函数增减性等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）综合与探究
如图，已知直线与x轴，y轴交于B，A两点，抛物线经过点A，B，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t．
(1)求抛物线解析式；
(2)当，t的值为___________；
(3)若点N到直线的距离为d，求d的最大值；
(4)在y轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)1
(3)
(4)存在，，，
【分析】（1）先求出一次函数与坐标轴的交点，然后代入二次函数求解即可；
（2）根据点，确定点，，得出，，根据题意代入求解即可；
（3）点N到直线的距离为d，求d的最大值即为求面积的最大值，连接，根据（2）中代入确定面积最大值，然后由等面积法求解即可；
（4）分两种情况分析：当时，当时，分别利用全等三角形的判定和性质及二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴点A的坐标为；
当时，，解得；，
∴点B的坐标为．
将，代入，
得：，
解得：，
∴这个抛物线的解析式为；
（2）点，则点，，
∴，，
∵，
∴，
解得：或（与点B重合，舍去），
故答案为：1；
（3）点N到直线的距离为d，求d的最大值即为求面积的最大值，
连接，如图所示：
∵点B的坐标为．
∴，，
由（2）得，
∴，
∴面积最大为：8，
∵，
∴，解得：；
（4）存在， ，，，理由如下：
当时，如图所示：，
过点N作轴，过点B作轴交延长线于点C，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得：，（负值舍去）
∴；
当时，如图所示：，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴或，
∵点Q在x轴下方，
∴，；
综上可得：，，．
【点睛】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，线段及面积问题，特殊三角形的问题及全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
3．（2023·河南省直辖县级单位·统考二模）火流星过山车是倍受人们喜爱的经典娱乐项目．如图所示，为火流星过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线．其中米，米（轨道厚度忽略不计）．
(1)直接写出抛物线的函数关系式；
(2)在轨道距离地面4.5米处有两个位置P和G，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了5米至K点，又进入下坡段（K接口处轨道忽略不计，点H为轨道与地面交点）．已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，在G到Q的运动过程中，求OH的距离；
(3)现需要在轨道下坡段进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架AM、CM、BN、DN，且要求．已知这种材料的价格是80000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？
【答案】(1)抛物线的函数关系式为
(2)OH的距离为米
(3)当时，造价最低，最低造价为元．
【分析】（1）根据题意，由，，得到，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出，坐标，再求出长度，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了5米至点，即可知，再通过抛物线的形状与抛物线完全相同，即可得结论；
（3）先设出，横坐标，再代入解析式，分别求出，的纵坐标，然后求出，，，之和的最小值，从而求出最低造价．
【详解】（1）解：，，
，
由图像可设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
抛物线的函数关系式为；
（2）解：当时，，解得，，
，，即，
当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了5米至K点，
，
抛物线的形状与抛物线完全相同，如图所示：
，
，即在G到Q的运动过程中，求OH的距离15米；
（3）解：设，则，，
，，
，
，
开口向上，
当时，最短，最短为，
（元，
当时，造价最低，最低造价为元．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数表达式、函数求值及求二次函数最值等知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键．
4．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图1，抛物线：的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，交x轴于另一点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P在直线上方抛物线上，作轴，交线段于点D，作轴，交抛物线于另一点E，若，求点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线平移至顶点在原点，直线分别与x，y轴交于E，F两点，与新抛物线交于P、Q两点，作的垂直平分线交y轴于点N，若，求证：．
【答案】(1)
(2)P点坐标为（－1－，2）或（，2）
(3)见解析
【分析】对于（1），将对称轴，点得坐标代入关系式，即可求出答案；
对于（2），先根据待定系数法求出直线，再表示出点P，D，进而求出，再根据点P，E关于对称轴对称，表示，然后根据，列出方程，再分当和当时，分别求出m的值，进而得出答案；
对于（3），先求出平移后的解析式为，再设直线的关系式，即可表示出，， 进而得出，然后联立，求出，，再连接，，过N作轴，作，作，可得是等腰直角三角形，再根据≌，可得 ，再根据坐标和线段之间的关系得，可得k，b的关系式，进而得出答案．
【详解】（1）由题意可知：
，
解得：，
∴解析式为：；
（2）设直线：，代入，得
，，
∴直线：．
设，．
∵P在直线上方，
∴．
∵轴，
∴P，E关于对称轴对称，
∴．
∵，
∴．
①当时，，
解得；
∵P在上方，
∴，
∴，点P为；
②当时，，
解得（舍），，
∴点P为．
综上：P点坐标为或；
（3）平移后的解析式为：，
设，
∴E为，F为，，，
∴，
联立，得，
∴，，
连接，，过N作轴，
作于G，作于H，
∵，，且，
∴是等腰直角三角形，
∴≌，
∴ ，
∴，
即，
∴，
∴，
即：，
整理，得，
即．
【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了待定系数法求二次函数关系式，求一次函数关系式，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定等，构造辅助线是解题的关键．
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第22章《二次函数》
分层练习
考查题型一 二次函数的定义
1．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）下列函数中是二次函数的是( )
A． B． C． D．
2．（2023秋·安徽池州·九年级统考期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·河南许昌·九年级校考阶段练习）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·辽宁鞍山·统考一模）下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
考查题型二 根据二次函数的定义求参数
1．（2023春·四川内江·九年级校考阶段练习）是二次函数，则m的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）已知y关于x的二次函数解析式为，则（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）若抛物线经过点，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2022秋·安徽淮北·九年级淮北市第二中学校联考阶段练习）若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0
考查题型三 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1．（2020秋·广东东莞·九年级校联考期中）二次函数图象如图，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①②④ C．②③ D．①②③④
2．（2023·湖南怀化·统考三模）函数（，）的图象是由函数（，）的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
①；②；③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．
A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④
3．（2023·湖北黄冈·校考二模）抛物线（a，b，c是常数，且）开口向下且过点，，其中，以下结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则，其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）如图，二次函数的图象经过点且与x轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：
①．
②．
③．
④．
⑤．
其中，结论正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
考查题型四 二次函数与方程和不等式
1．若对称轴为直线的抛物线经过点，则一元二次方程的根是 ．
2．（2023·江苏宿迁·统考三模）二次函数与轴交点坐标分别为，，则的值是 ．
3．（2023·云南昆明·统考二模）如图，在平面直角坐标中，抛物线和直线交于点和点，则不等式的解集为 ．
4．（2020秋·广东广州·九年级执信中学校考期中）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是 ．
考查题型五 用待定系数法求二次函数解析式
1．（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）如图，拋物线与轴的两个交点分别为点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在该抛物线上，当的面积为时，直接写出点的坐标．
2．（2023·广东深圳·统考三模）如图，抛物线经过点，点，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点是抛物线的顶点，求的面积．
3．（2023·浙江湖州·统考二模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)将该抛物线向下平移n个单位，使得平移后的抛物线经过点，求n的值．
4．（2022秋·浙江衢州·九年级统考期末）如图，点都在二次函数的图象上．
(1)求a，b的值．
(2)若二次函数的图象经过点，，，比较，，的大小，并简述理由．
考查题型六 实际问题与二次函数
1．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如下表：
售价x（元/件） 50 60 70
周销售量y（件） 80 60 40
周销售利润w（元） 800 1200 1200
注：周销售利润=周销售量×（售价-进价）
(1)写出y关于x的函数解析式：___________；
(2)求该商品的进价和周销售的最大利润：
(3)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（），物价部门规定该商品售价不得超过60元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1080元，求m的值．
2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．
(1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
(2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨．为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？
3．（2023·安徽合肥·校联考一模）如图，抛物线经过，，三点，D为直线上方抛物线上一动点，过点D作轴于点Q，与相交于点M．于E．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求线段长度的最大值；
(3)连接，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长．
1．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在平面直觓坐标系中，拋物线的顶点为，交轴于点，点是拋物线上一点．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标．
(2)当时，求二次函数的最大值与最小值的差．
(3)若点是轴上方抛物线上的点（不与点重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，当线段的长随的增大而增大时，请直接写出的取值范围．
2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）综合与探究
如图，已知直线与x轴，y轴交于B，A两点，抛物线经过点A，B，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t．
(1)求抛物线解析式；
(2)当，t的值为___________；
(3)若点N到直线的距离为d，求d的最大值；
(4)在y轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023·河南省直辖县级单位·统考二模）火流星过山车是倍受人们喜爱的经典娱乐项目．如图所示，为火流星过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线．其中米，米（轨道厚度忽略不计）．
(1)直接写出抛物线的函数关系式；
(2)在轨道距离地面4.5米处有两个位置P和G，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了5米至K点，又进入下坡段（K接口处轨道忽略不计，点H为轨道与地面交点）．已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，在G到Q的运动过程中，求OH的距离；
(3)现需要在轨道下坡段进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架AM、CM、BN、DN，且要求．已知这种材料的价格是80000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？
4．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图1，抛物线：的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，交x轴于另一点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P在直线上方抛物线上，作轴，交线段于点D，作轴，交抛物线于另一点E，若，求点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线平移至顶点在原点，直线分别与x，y轴交于E，F两点，与新抛物线交于P、Q两点，作的垂直平分线交y轴于点N，若，求证：．
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