3.1.1 方程的根与函数的零点(全课时，讲练结合，共40页PPT)

课件40张PPT。中外历史上的方程求解约公元50~100年编成的《九章算术》给出了一次方程、二次方程和正系数三次方程的求根方法. 中外历史上的方程求解11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法. 中外历史上的方程求解13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法。 中外历史上的方程求解 国外数学家对方程求解亦有很多研究。9世纪以后，先后发现了一次、二次、三次、四次方程的求根方法；数学史上，人们曾经希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但最后被19世纪挪威数学家阿贝尔证明了五次及五次以上一般方程没有根式解。同样，指数方程、对数方程等超越方程也是没有求根公式的。方程解法史话:数学家方台纳的故事1535年，在意大利有一条轰动一时的新闻：数学家奥罗挑战数学家方台纳，奥罗给方台纳出了30道题，求解x3+5x=10，x3+7x=14，x3+11x=20，……；诸如方程x3+Mx=N，M，N是正整数，比赛时间为20天，方台纳埋头苦干，终于在最后一天解决了这个问题。方程的求解经历了相当漫长的岁月，让我们来感受数学探索的魅力吧！方台纳3.1.1 方程的根与函数的零点探究：求下列方程的实数根，画出相应函数的简图，
并求出函数图象与x轴交点的坐标。问题探究思考：方程根与相应函数图象有什么联系?-13①1②③12无实数根④-1 思考：
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根
与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？提出问题：一元二次方程 的根与二次函数 的图象有什么关系？结 论: 1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数.2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标.推广到一般情形是:函数y=f(x)的图象与x轴的交点情况方程f(x)=0的实根情况想一想：推广到一般情形又怎样呢？有两个不等的
实数根x1，x2
有两个相等实数根x1=x2没有实数根一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根与二次函数 y= ax2+bx+c (a≠0）的图象有如下关系：(x1,0)，
(x2,0) (x1,0)没有交点 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x
叫做函数y=f(x)的零点。函数零点的定义：注意：零点指的是一个实数；D问题：函数 的零点是（ ）
A.（-1，0），（3，0）
B. x=-1
C. x=3
D. -1和3 定义：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点(zero point).方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点剖析概念,你能得出什么结论吗？结论：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根。代数法图象法问题：你能从下图中分析此函数有几个零点吗？-2-123想一想,怎样求函数的零点呢？求函数的零点有两种方法：
①代数法:求方程f(x)=0的实数根；
②几何法:将它与函数y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点。下面我们来探究二次函数的零点个数情况1.用代数法探究结论：二次函数(1)△>0,二次函数有两个零点；(2)△=0,二次函数有一个二重零点或二阶零点；(3)△<0,二次函数没有零点。练习：求下列函数的零点(1)解：令f(x)=－x2＋3x＋5,
作出函数f(x)的图象，如下： 它与x轴有两个交点，所以方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实数根。(1) －x2＋3x＋5＝0课堂练习：P88 1 (2)解：2x(x－2)＝－3可化为
2x2－4x＋3＝0，令f(x)= 2x2－4x
＋3 , 作出函数f(x)的图象,如下： 它与x轴没有交点，所以方程2x(x－2)＝－3无实数根。(2) 2x(x－2)＝－3(3)解：x2 ＝4x－4可化为x2－4x
＋4＝0，令f(x)= x2－4x＋4，作出函数f(x)的图象，如下： 它与x轴只有一个交点，所以方程x2 ＝4x－4有两个相等的实数根。(3) x2 ＝4x－4(4)解：5x2 +2x＝3x2 +5可化为
2x2 ＋2x－5＝0，令f(x)=2x2＋
2x－5 , 作出函数f(x)的图象，
如下： 它与x轴有两个交点，所以
方程5x2 +2x＝3x2 +5有两个不
相等的实数根。(4) 5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5全优74页典例剖析3．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点．
解：由题意知，函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，
知方程x2－ax－b＝0的两个实根是2和3.
故有a＝2＋3＝5，－b＝2×3，即b＝－6，
因此g(x)＝－6x2－5x－1.全优74页变式训练全优99页2、用数形结合法探究(以 为例)观察二次函数 的图象,填空：①在区间[-2,1]上有零点 ;
f(-2)= ;f(1)= ;
f(-2)·f(1) 0。②在区间[2,4]上有零点 ;
f(2)·f(4) 0。-15- 4<3<想一想：怎样判断一个函数在给定区间上是否存在零点呢？让我们来看一个例子第1组第2组探究：现在有两组镜头（如图），哪
一组能说明她的行程一定曾渡河? ??问题探究[来源:学科网ZXXK]2018/12/23282018/12/2329问题：如果将定义域改为区间[a,b]观察图像说一说零点个数的情况，有什么发现？ 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c )=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.结论连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：练习：课本92页 26．根据表格中的数据，可以判断方程ex－x－2＝0的一个根所在的最小为区间__________.解析：设f(x)＝ex－x－2，∵f(1)＝2.78－3＝－0.22＜0，f(2)＝7.39－4＝3.39＞0.∴f(1)f(2)＜0，由根的存在性定理知，方程ex－x－2＝0必有一个根在区间(1,2)．全优75页能力提高2018/12/2333思考1：若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内会是只有一个零点么?
有零点，至少有一个，但不确定个数，即存在零点。结论ab
x 思考2：若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在区间(a,b)内就一定没有零点么？
思考3：在什么条件下，函数y＝f(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点？
全优75页基础夯实解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表3-1和
图象3.1-3例1：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数.f(2)<0,f(3)>0即f(2)·f(3)<0函数在区间(2,3)内有零点。 由于函数f(x)在定义域
(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点。例1：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数.将函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数转化为函数
g(x)=lnx与h(x)=-2x+6的图象交点的个数。A.0B.1C.2D.3全优99页全优75页能力提高