辽宁省沈阳市辽中区第二高级中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 辽宁省沈阳市辽中区第二高级中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 570.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-28 22:48:14 | ||
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文档简介
2022—2023学年度下学期高二年级期末考试试题
数 学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，若，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.“”的一个充分条件是（ ）
A. B. C. D.
3. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
4. 函数在上的图象的大致形状是（ ）
A. B. C. D.
5. 质数也叫素数，17世纪法国数学家马林－梅森曾对“”（p是素数）型素数进行过较系统而深入的研究，因此数学界将“”（p是素数）形式的素数称为梅森素数.已知第12个梅森素数为，第14个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（参考数据：）
A. B. C. D.
6. 若为奇函数，则实数a，b的值分别为（ ）
A. e，1 B. －e，1 C. e，－1 D. －e，－1
7. 已知实数a，b满足，，则（ ）
A. B. 1 C. e D.
8. 已知函数，，若有6个零点，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且，则以下结论正确的有（ ）
A. B. C. D.
10. 下面命题正确的是（ ）
A. 不等式的解集为
B. 不等式的解集为
C. 不等式在时恒成立，则实数m的取值范围为
D. 函数在区间内仅有一个零点，则实数m的取值范围为
11. 函数和有相同的最大值b，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点的横坐标依次为，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数，下列选项正确的是（ ）
A. 当有三个零点时，b的取值范围为
B. 是偶函数
C. 设的极大值为M，极小值为m，若，则
D. 若过点可以作图象的三条切线，则b的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，，则的最小值为______.
14. 已知，若与的值域相同，则实数a的取值范围是______.
15. 若为奇函数，则的表达式可以为______.
16. 已知定义在上的函数满足，且关于对称，当时，.若，则______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知函数，若曲线在处的切线方程为.
（1）求a，b的值；
（2）求函数在上的最小值.
18.（12分）已知数列的前n项和，数列满足，.
（1）求数列、的通项公式.
（2）若，求数列的前n项和.
19.（12分）已知函数是定义在区间上的奇函数，当时，.
（1）当时，求的解析式；
（2）求函数的值域.
20.（12分）为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场.根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下表：
上市时间x天 2 6 32
市场价y/天 148 60 73
（1）根据上表数据，从①，②，③，④中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系（无需说明理由），并利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；
（2）记你所选取的函数为，若对任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围.
21. 已知函数，.
（1）若的定义域为，值域为，求a的值；
（2）在条件（1）下，当，时，总满足，求c的取值范围.
22. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若（e是自然对数的底数），且，，，证明：.
参考答案
一、单项选择题
1. B 2. D 3. D 4. A 5. C 6. C 7. C 8. B
二、多项选择题
9. AD 10. ACD 11. ABD 12. ABD
三、填空题
13. 14. 15. （以为对称中心的函数） 16.
四、解答题
17.（1）由已知可得………1分
又………1分
所以
即，，………4分
（2）有（1）可知，，
令，解得或，
所以在，上单调递增，在上单调递减………8分
又，
所以，函数在上的最小值为－9………10分
18.（1）当时，………2分
当时，，
所以………3分
又，
所以………6分
（2）由（1）知，………8分
所以，时，………9分
当时，………11分
综上………12分
19. 当时，，
所以，，
又，
所以，，………4分
（2）由（1）知，………6分
当时，，………8分
当且仅当时，等号成立.
此时………9分
当时，单调递增，则………11分
综上，函数的值域为………12分
20.（1）由题表知，随着时间x的增大，y的值随x的增大，先减小后增大，而所给的函数
和在上显然都是单调函数，不满足题意，故选
择………2分
把，，分别代入，得，
解得，，
∴，.………4分
又，
∴当且仅当时，即当时，y有最小值，且
故当该纪念章上市12天时，市场价最低，最低市场价为每枚48元.………6分
（2）原不等式可以整理为：，，
因为对，都有不等式恒成立，
则.………8分
（ⅰ）当时，，
当且仅当时，即当时，.
∴，
解得，不符合假设条件，舍去.………10分
（ⅱ）当时，在单调递增，故，
只需.
整理得：，
∴（舍去），
综上，实数k的取值范围是.………12分
21.（1）因为的定义域为，
所以，有恒成立，
即，恒成立，所以………3分
又，的值域为，
所以是值域的子集
所以，………6分
综上，………7分
（2）由（1）问，知，，
所以，恒成立，
即在上为减函数.………9分
所以………11分
即，，所以………12分
22.（1）函数，
则，
令，解得，
若，
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减；………3分
若，
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增.………6分
（2）证明：因为，两边取对数，可得，
即，所以，………7分
此时当时，存在且，，，满足；
由（1）可知，当时，在上单调递增，在上单调递减，
不妨设，所以，，
①若，则成立；………8分
②若，则，
记，
则，
所以在上单调递增，………9分
则，即，
所以，
因为，所以，
又，在上单调递减，
所以，即，………10分
又，，
以上两式左右分别相加，可得，
即，
综合①②可得，.………12分
数 学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，若，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.“”的一个充分条件是（ ）
A. B. C. D.
3. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
4. 函数在上的图象的大致形状是（ ）
A. B. C. D.
5. 质数也叫素数，17世纪法国数学家马林－梅森曾对“”（p是素数）型素数进行过较系统而深入的研究，因此数学界将“”（p是素数）形式的素数称为梅森素数.已知第12个梅森素数为，第14个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（参考数据：）
A. B. C. D.
6. 若为奇函数，则实数a，b的值分别为（ ）
A. e，1 B. －e，1 C. e，－1 D. －e，－1
7. 已知实数a，b满足，，则（ ）
A. B. 1 C. e D.
8. 已知函数，，若有6个零点，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且，则以下结论正确的有（ ）
A. B. C. D.
10. 下面命题正确的是（ ）
A. 不等式的解集为
B. 不等式的解集为
C. 不等式在时恒成立，则实数m的取值范围为
D. 函数在区间内仅有一个零点，则实数m的取值范围为
11. 函数和有相同的最大值b，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点的横坐标依次为，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数，下列选项正确的是（ ）
A. 当有三个零点时，b的取值范围为
B. 是偶函数
C. 设的极大值为M，极小值为m，若，则
D. 若过点可以作图象的三条切线，则b的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，，则的最小值为______.
14. 已知，若与的值域相同，则实数a的取值范围是______.
15. 若为奇函数，则的表达式可以为______.
16. 已知定义在上的函数满足，且关于对称，当时，.若，则______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知函数，若曲线在处的切线方程为.
（1）求a，b的值；
（2）求函数在上的最小值.
18.（12分）已知数列的前n项和，数列满足，.
（1）求数列、的通项公式.
（2）若，求数列的前n项和.
19.（12分）已知函数是定义在区间上的奇函数，当时，.
（1）当时，求的解析式；
（2）求函数的值域.
20.（12分）为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场.根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下表：
上市时间x天 2 6 32
市场价y/天 148 60 73
（1）根据上表数据，从①，②，③，④中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系（无需说明理由），并利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；
（2）记你所选取的函数为，若对任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围.
21. 已知函数，.
（1）若的定义域为，值域为，求a的值；
（2）在条件（1）下，当，时，总满足，求c的取值范围.
22. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若（e是自然对数的底数），且，，，证明：.
参考答案
一、单项选择题
1. B 2. D 3. D 4. A 5. C 6. C 7. C 8. B
二、多项选择题
9. AD 10. ACD 11. ABD 12. ABD
三、填空题
13. 14. 15. （以为对称中心的函数） 16.
四、解答题
17.（1）由已知可得………1分
又………1分
所以
即，，………4分
（2）有（1）可知，，
令，解得或，
所以在，上单调递增，在上单调递减………8分
又，
所以，函数在上的最小值为－9………10分
18.（1）当时，………2分
当时，，
所以………3分
又，
所以………6分
（2）由（1）知，………8分
所以，时，………9分
当时，………11分
综上………12分
19. 当时，，
所以，，
又，
所以，，………4分
（2）由（1）知，………6分
当时，，………8分
当且仅当时，等号成立.
此时………9分
当时，单调递增，则………11分
综上，函数的值域为………12分
20.（1）由题表知，随着时间x的增大，y的值随x的增大，先减小后增大，而所给的函数
和在上显然都是单调函数，不满足题意，故选
择………2分
把，，分别代入，得，
解得，，
∴，.………4分
又，
∴当且仅当时，即当时，y有最小值，且
故当该纪念章上市12天时，市场价最低，最低市场价为每枚48元.………6分
（2）原不等式可以整理为：，，
因为对，都有不等式恒成立，
则.………8分
（ⅰ）当时，，
当且仅当时，即当时，.
∴，
解得，不符合假设条件，舍去.………10分
（ⅱ）当时，在单调递增，故，
只需.
整理得：，
∴（舍去），
综上，实数k的取值范围是.………12分
21.（1）因为的定义域为，
所以，有恒成立，
即，恒成立，所以………3分
又，的值域为，
所以是值域的子集
所以，………6分
综上，………7分
（2）由（1）问，知，，
所以，恒成立，
即在上为减函数.………9分
所以………11分
即，，所以………12分
22.（1）函数，
则，
令，解得，
若，
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减；………3分
若，
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增.………6分
（2）证明：因为，两边取对数，可得，
即，所以，………7分
此时当时，存在且，，，满足；
由（1）可知，当时，在上单调递增，在上单调递减，
不妨设，所以，，
①若，则成立；………8分
②若，则，
记，
则，
所以在上单调递增，………9分
则，即，
所以，
因为，所以，
又，在上单调递减，
所以，即，………10分
又，，
以上两式左右分别相加，可得，
即，
综合①②可得，.………12分
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