(共23张PPT)
一元线性回归模型（3）
高二年级 数学
设变量x与y的n对成对数据为 ，则y关于x的回归直线方程为 .
一、复习回归直线方程和相关系数
其中，
（1）y与x正相关 ；
y与x负相关
（2）
当 越接近1时，成对数据的线性相关程度越强
当 越接近0时，成对数据的线性相关程度越弱
（3） 成对数据构成的点都在回归直线上
一、复习回归直线方程和相关系数
问题 某幼苗从观察之日起，第x天的高度为y cm,测得一些数据如下表所示.
第x天 1 4 9 16 25 36 49
高度y/cm 0 4 7 9 11 12 13
试依据这些数据，用函数近似描述y与x的关系.
二、非线性回归
x
y
O
10 20 30 40 50
12
10
8
6
4
2
14
法一：
x
y
O
10 20 30 40 50
12
10
8
6
4
2
14
法二：曲线的性质与曲线 相似
猜想
追问1 这条曲线类似我们学过的什么函数的图像呢？
x
y
O
10 20 30 40 50
12
10
8
6
4
2
14
法二：曲线的性质与曲线 相似
令
猜想
追问2 此时的未知系数该如何求呢？
分析：
x 1 4 9 16 25 36 49
1 2 3 4 5 6 7
y 0 4 7 9 11 12 13
y与x的关系称为非线性相关关系，所得到的方程称为（非线性）回归方程
x
y
O
10 20 30 40 50
12
10
8
6
4
2
14
法三：曲线的性质与曲线 相似
令
猜想
追问3 还可以用其他函数来描述y与x的关系吗？
分析：
x 1 4 9 16 25 36 49
0 1.39 2.20 2.77 3.22 3.58 3.90
y 0 4 7 9 11 12 13
追问 哪个方程的拟合效果更好？
非线性回归模型的分析步骤
1.绘制散点图
2.选取函数模型，并转化成线性回归模型
4.求回归直线方程
5.建立非线性回归模型
3.转化数据
三、用信息技术求回归方程
（以GeoGebra软件为例）
非线性回归模型
（令 ）
练习 在某地区的一段时间内观测到的不小于某震级x的地震数N的数据如下表：
震级x 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0
地震数N 28281 20380 14795 10695 7641 5502 3842 2698 1919 1356 973
试建立回归方程表示二者之间的关系.
震级x 5.2 5.4 5.6 5.8 6.0 6.2 6.4 6.6 6.8 7.0
地震数N 746 604 435 274 206 148 98 57 41 25
追问1 散点的变化趋势像我们学过的什么函数图像？
追问2 如何将 转化为线性形式？
即
令
（令 ）
回归模型
一、非线性回归模型
课堂小结
（1）指数函数
（3）幂函数
（2）对数函数
一元线性回归模型
二、用信息技术求回归方程
课堂小结
（1）GeoGebra软件
（2）Microsoft Excel软件
（3）R软件
人教社B版课本：P118习题4-3B第1题
作业
作业
人教社B版课本：P118习题4-3B第2题
拓展作业
生活中有许多变量之间的关系是值得我们去研究的.请你选择生活中的两个变量，研究它们之间的关系.如果它们之间有相关关系，请建立统计模型进行分析.
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一元线性回归模型（1）
高二年级 数学
新闻播报
（1）1999-2008年，俄罗斯GDP增长率与国际石油价格的相关系数为0.86,2009-2014年该系数达到0.98.
（2）瑞士洛桑国际管理学院对企业国际竞争力的研究也显示，公司文化与企业管理竞争力的相关系数在几个因子中是最高的.
（3）分析表明1990年至2011年我国财政收入与企业注册资本之间的关系呈高度线性相关，其相关系数高达0.987，而斜率竟为0.148.
问题 自行选择标准，将下列变量之间的关系分为两类，并分别阐述每一类中变量关系的特点：
（1）圆的面积S与半径r之间的关系；
（2）16岁学生的体重w与身高h之间的关系；
（3）商品销售量Q与销售价格P之间的关系；
（4）匀速运动的物体，其运动的路程S与时间t之间的关系；
（5）科技创新能力y与人才培养近亲繁殖率x之间的关系；
（6）学习成绩f与平均学习时间t之间的关系.
问题 自行选择标准，将下列变量之间的关系分为两类，并分别阐述每一类中变量关系的特点：
（1）圆的面积S与半径r之间的关系；
（2）16岁学生的体重w与身高h之间的关系；
（3）商品销售量Q与销售价格P之间的关系；
（4）匀速运动的物体，其运动的路程S与时间t之间的关系；
（5）科技创新能力y与人才培养近亲繁殖率x之间的关系；
（6）学习成绩f与平均学习时间t之间的关系.
（2）16岁学生的体重w与身高h之间的关系；
（3）商品销售量Q与销售价格P之间的关系；
（5）科技创新能力y与人才培养近亲繁殖率x之间的关系；
（6）学习成绩f与平均学习时间t之间的关系.
（2）16岁学生的体重w与身高h之间的关系；
（3）商品销售量Q与销售价格P之间的关系；
（5）科技创新能力y与人才培养近亲繁殖率x之间的关系；
（6）学习成绩f与平均学习时间t之间的关系.
两个变量之间有一定的关系，但没有达到可以互相决定的程度，它们之间的关系带有一定的随机性，统计学上称为相关关系.
一、相关关系
例1 已知某班级学生数学成绩与物理成绩的对应表如下：
这个班级学生的数学成绩与物理成绩之间存在相关关系吗？
数学 88 82 79 89 92 78 79 56 83 66 61 74 68 77 78 80
物理 87 91 66 86 88 79 91 53 93 77 62 69 62 58 79 68
数学 51 58 98 73 75 84 69 76 71 43 74 82 70 75 65 63
物理 50 65 82 79 59 98 59 87 76 42 75 91 46 68 83 55
一、相关关系
数学 43 51 56 58 61 63 65 66 68 69 70 71 73 74 74 75
物理 42 50 53 65 62 55 83 77 62 59 46 76 79 69 75 59
数学 75 76 77 78 78 79 79 80 82 82 83 84 88 89 92 98
物理 68 87 58 79 79 66 91 68 91 91 93 98 87 86 88 82
一、相关关系
散点图
如果两个变量之间的关系可以近似地用一次函数来刻画，则称这两个变量线性相关.此时，如果一个变量增大，另一个变量大体上也增大，则称这两个变量正相关；如果一个变量增大，另一个变量大体上减少，则称这两个变量负相关.
一、相关关系
（1）16岁学生的体重与身高之间的关系；
（2）商品销售量与销售价格之间的关系；
（3）创新能力与人才培养近亲繁殖率之间的关系；
（4）学习成绩与平均学习时间之间的关系.
练习 如果将下列两个变量之间的关系看成线性相关，则哪些是正相关？哪些是负相关？
正相关
负相关
正相关
负相关
一、相关关系
例2 某地区从某一年开始进行了环境污染整治，得到了如下数据：
第x年 1 2 3 4 5 6 7
污染指数y 6.1 5.2 4.5 4.7 3.8 3.4 3.1
作出这些成对数据的散点图，直观地判断污染指数y与x是否线性相关，如果是，进一步判断是正相关还是负相关.
1
2
3
4
5
6
7 x
1
2
3
4
5
6
7
y
O
追问1 你能找出近似描述y与x之间关系的一次函数表达式吗？
过（1,6）和（7,3）
类似这样的直线有多少条？
1
2
3
4
5
6
7 x
1
2
3
4
5
6
7
y
O
误差
预测值
追问2 是“最好”的直线吗？衡量标准是什么
第x年 1 2 3 4 5 6 7
污染指数y 6.1 5.2 4.5 4.7 3.8 3.4 3.1
6
5.5
5
4.5
4
3.5
3
0.1
-0.3
5.5
-0.5
0.2
-0.2
-0.1
0.1
误差平方和最小
1
2
3
4
5
6
7 x
1
2
3
4
5
6
7
y
O
追问2 是“最好”的直线吗？衡量标准是什么
误差平方和最小
y关于x的回归直线方程
“最好”的直线
误差平方和最小
二、回归直线方程
1
2
3
4
5
6
7 x
1
2
3
4
5
6
7
y
O
使 最小
记
追问3 回归直线方程是如何通过计算得到的呢？
设变量x与y的n对成对数据为 ，求出
y关于x的回归直线方程 .
误差平方和最小
则误差平方和为：
最小二乘法
设变量x与y的n对成对数据为 ，求出
y关于x的回归直线方程 .
追问3 回归直线方程是如何通过计算得到的呢？
称为回归系数
其中，
1 2 3 4 5 6 7
6.1 5.2 4.5 4.7 3.8 3.4 3.1
-3
-1
0
1
2
3
-2
练习 验证例2中y关于x的回归直线方程为
1.7
0.1
0.3
-0.6
-1
-1.3
0.8
-5.1
-0.1
0
-0.6
-2
-3.9
-1.6
9
1
0
1
4
9
4
求回归直线方程的步骤
1.计算：
2.列表求和：
3.代入公式计算：
4.写出回归直线方程
练习 验证例2中y关于x的回归直线方程为
追问1 你能估计出该地区第8年的污染指数吗？
当 时，
追问2 第8年的污染指数一定是2.5吗？
不一定
一、相关关系
课堂小结
（1）线性相关
（2）正相关与负相关
二、回归直线方程
课堂小结
其中，
“回归”一词的由来
“回归”是由英国著名生物学家兼统计学家高尔顿提出.1889年，他在研究祖先与后代身高之间的关系时发现，身材较高的父母，他们的孩子也较高，但这些孩子的平均身高并没有它们的父母的平均身高高；身材较矮的父母他们的孩子也较矮，但这些孩子的平均身高却比他们的父母的平均身高高.
图片来自互联网资源
“回归”一词的由来
高尔顿把这种后代身高向总体平均值靠近的趋势称为“回归现象”.后来，人们把由一个变量的变化去推测另一个变量的变化的方法称为回归分析.
图片来自互联网资源
人教社B版课本：P111练习A第2题
作业
作业
人教社B版课本：P112练习B第6题
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一元线性回归模型（2）
高二年级 数学
设变量x与y的n对成对数据为 ，则y关于x的回归直线方程为 .
问题1：过定点吗？
一、复习回归直线方程
其中，
设变量x与y的n对成对数据为 ，则y关于x的回归直线方程为 .
一、复习回归直线方程
过点 ？
证明：把 代入
可得
即
所以回归直线一定过点 .
其中，
二、回归直线方程的性质
过点 .
性质1：
设变量x与y的n对成对数据为 ，则y关于x的回归直线方程为 .
其中，
问题2：单调性由谁决定？
性质2：
单调递增
y与x正相关
单调递减
y与x负相关
设变量x与y的n对成对数据为 ，则y关于x的回归直线方程为 .
二、回归直线方程的性质
问题3：当x每增加一个单位时，将如何变化？
则
若 ，则
分析：如果 和 都是回归直线上的点，
设变量x与y的n对成对数据为 ，则y关于x的回归直线方程为 .
二、回归直线方程的性质
则
分析：如果 和 都是回归直线上的点，
设变量x与y的n对成对数据为 ，则y关于x的回归直线方程为 .
二、回归直线方程的性质
若 ，则
当x增大一个单位时，
增大 个单位
性质3：
如果某位同学10次考试的物理成绩y与数学成绩x如下表所示.
数学成绩x 76 82 72 87 93 78 89 66 81 76
物理成绩y 80 87 75 86 100 79 93 68 85 77
（1）求出y关于x的回归直线方程；
（2）该同学的数学成绩每提高3分，物理成绩估计能提高多少分？
例1
x 76 82 72 87 93 78 89 66 81 76
y 80 87 75 86 100 79 93 68 85 77
（1）求出y关于x的回归直线方程；
-4
-8
7
13
-2
9
2
-14
1
-4
-3
-8
3
17
-4
10
4
-15
2
-6
12
64
21
221
8
90
8
210
2
24
16
64
49
169
4
81
4
196
1
16
和：660
和：600
例1
分析：
例1
（2）该同学的数学成绩x每提高3分，物理成绩y估计能提高多少分？
（1）求出y关于x的回归直线方程；
当x增大一个单位时，
增大 个单位
性质3：
问题 如下是某班级学生数学成绩与英语成绩的对应表.
从这些数据中，你能看出该班级学生的数学成绩与英语成绩之间是否存在线性相关关系吗？
数学 43 51 56 58 61 63 65 66 68 69 70 71 73 74 74 75
英语 81 76 67 78 65 73 71 74 76 62 64 77 80 81 68 72
数学 75 76 77 78 78 79 79 80 82 82 83 84 88 89 92 98
英语 85 69 71 70 76 62 89 69 76 84 94 84 79 81 85 68
英语
数学
数学与英语
数学与物理
追问1 相较而言，哪两个变量的线性相关关系更强呢？
英语
数学
追问2 除了通过散点图直观推断两个变量的相关程度，还可以怎样刻画两个变量之间线性相关关系的强弱呢？
大多数散点在
一、三象限
x
y
O
追问3
给定两个变量y与x的成对数据 ，
什么量可以刻画y与x之间线性相关关系的强弱呢？
x
y
O
过点
数学
物理
正相关：
在新的坐标系下的坐标？
如何用数学符号表示？
1
2
3
4
5
6
7
4
3
2
7
1
5
6
y
O
年份x
污染指数
x
y
O
追问4 两个变量负相关时，成对数据满足什么规律呢？
过点
负相关：
如何用数学符号表示？
大多数散点在
二、四象限
正相关：
负相关：
追问5 是否可直接用 的大小来衡量成对数据的线性相关程度呢？
身高x/米 0.75 0.95 1.12 1.35 1.55 1.63 1.71
体重y/公斤 10 15 20 35 48 51 59
身高x/厘米
体重y/公斤
45
？
75 95 112 135 155 163 171
10 15 20 35 48 51 59
4500
(线性）相关系数：
正相关：
负相关：
追问5 是否可直接用 的大小来衡量成对数据的线性相关程度呢？
x
y
O
数学
物理
x
y
年份
污染指数
x
O
y
英语
数学
|r|越大，线性相关程度越强
O
追问6 相关系数r的大小与两个变量的线性相关程度有什么关系？
三、相关系数
（1）y与x正相关
y与x负相关
（2）
当 越接近1时，成对数据的线性相关程度越强
当 越接近0时，成对数据的线性相关程度越弱
（3） 成对数据构成的点都在回归直线上
第x年 1 2 3 4 5 6 7
利润y/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
例2
某人工智能公司从某年起7年的利润情况如下表所示.
计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的线性相关程度.
x 1 2 3 4 5 6 7
y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
-3
-1
0
1
2
3
-2
-1.4
-0.7
0.1
0.5
0.9
1.6
-1
4.2
0.7
0
0.5
1.8
4.8
2
9
1
0
1
4
9
4
1.96
0.49
0.01
0.25
0.81
2.56
1
求相关系数的步骤
1.计算：
2.列表求和：
3.代入公式计算：
课堂小结
（1）过点
一、回归直线方程 的性质
（2）
y与x正相关
y与x负相关
（3）
当x增大一个单位时， 增大 个单位.
（1）y与x正相关
y与x负相关
（2）
当 越接近1时，成对数据的线性相关程度越强
当 越接近0时，成对数据的线性相关程度越弱
（3） 成对数据构成的点都在回归直线上
二、相关系数
人教社B版课本：P111练习A第4、5题
作业
人教社B版课本：P112练习B第4、5题
作业
拓展作业
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