第14章全等三角形 单元复习题 2023-2024学年沪科版八年级数学上册（含解析）
文档属性
| 名称 | 第14章全等三角形 单元复习题 2023-2024学年沪科版八年级数学上册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 562.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-30 16:43:29 | ||
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文档简介
沪科版八年级数学上册第14章全等三角形 单元复习题
一、选择题
1．下列选项中表示两个图形全等的是（ ）
A．形状相同的两个图形 B．周长相等的两个图形
C．面积相等的两个图形 D．能够完全重合的两个图形
2．已知Rt△ABC≌Rt△EDF，Rt△ABC的面积为12，Rt△EDF的一条直角边等于3，则另一直角边的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．如图，已知Rt△ABC≌Rt△BDE，若AC=5，DE=2，则CE的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，为了测出池塘两端A，B间的距离，小铱在地面上取一个可以直接到达A点和B点的点，连接并延长到，使；连接并延长到，使，连接并和测量出它的长度，小铱认为的长度就是A，B间的距离，她是根据来判断的，那么判定这两个三角形全等的依据是（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，，且，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知，若，则的度数为（ ）
A．80° B．90 C．100° D．110
8．如图，已知，如果只添加一个条件（不加辅助线）使，则添加的条件不能为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在和中，，是的中点，，垂足为点，且．若，则的长为( )
A．2cm B． C． D．
10．如图，点E在正方形ABCD外，连接AE、BE、DE，过点A作AE的垂线交DE于点F.若AE=AF=，BF=10，则下列结论：
①△AEB≌△AFD；②EF⊥EB；③点B到直线AE的距离为；④=40．
其中正确的结论有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上. 若，，则CF的长为 .
12．如图，在中，，，分别过点B、C作经过点A的直线的垂线段、，若厘米，厘米，则的长为 .
13．已知的三边长分别为3，4，5，的三边长分别为3，，若这两个三角形全等，则x的值为 ．
14．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，D为射线CB上一动点，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE＝AD．连接BE交直线AC于M，若2AC＝7CM，则的值为 ．
三、解答题
15．如图，在和中，，点在边上，，求证：．
16．如图，点，，，在同一直线上，点，在异侧，，，．试说明：，请将下面的证明过程补充完整，并在相应的括号内注明理由．
解：，
（ ）．
，
，即 ▲ ．
在和中，，
（ ），
▲ （ ），
（ ）．
四、综合题
17．如图，直线：（常数，）与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线：（常数，）与x轴、y轴分别交于C，D两点，直线与直线交于点E，且 ．
（1）求证
（2）若，，求的面积．
18．如图．点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，．．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：根据全等图形的概念可得：能够完全重合的两个图形为全等图形.
故答案为：D.
【分析】能够完全重合的两个图形称为全等图形，据此判断.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC≌Rt△EDF，Rt△ABC的面积为12，
∴Rt△EDF的面积为12，
设Rt△EDF的另一直角边的长为x.
∵Rt△EDF的一条直角边等于3，
∴ ×3x＝12，
∴x＝8，
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的面积相等及直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半列出方程，求解即可.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ Rt△ABC≌Rt△BDE，AC=5，DE=2，
∴BE=AC=5，BC=DE=2，
∴CE=BE-BC=5-2=3.
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形对应边相等得BE=AC=5，BC=DE=2，进而根据CE=BE-BC即可算出答案.
4．【答案】D
【解析】【解答】因为小明书上的三角形虽然被污染了，但是其它两角和它们的夹边却还是完整的，只需根据完整的两角和它们的夹边画出三角形即可，因为两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
故答案为：D。
【分析】观察被污染的三角形其它两角和它们的夹边都是完整的，所以根据ASA就可以画出一个 完全一样的三角形 。
5．【答案】B
6．【答案】D
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△CDA，
∴∠1=∠2，AD=CB，∠B=∠D.
故答案为：D.
【分析】全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等，据此判断.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：中
（全等三角形对应角相等）
故答案为：C.
【分析】根据内角和定理可求出∠CDA的度数，由全等三角形的性质可得∠CEB=∠CDA，据此解答.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：A、，
，
，，
不能使，A符合题意；
B、，
，
，，
，B不符合题意；
C、，
，
，，
，C不符合题意；
D、，
，
，，
，D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；
两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠BFE=90°，
∴∠ABC+∠DEB=90°.
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠DEB.
∵∠ACB=∠DBC，∠A=∠DEB，AB=DE，
∴△ABC≌△EDB（AAS），
∴BD=BC，AC=BE.
∵E为BC的中点，BD=8cm，
∴BE=BC=BD=4cm，
∴AC=BE=4cm.
故答案为：C.
【分析】由同角的余角相等可得∠A=∠DEB，利用AAS证明△ABC≌△EDB，得到BD=BC，AC=BE，结合中点的概念可得AC=BE=BC=BD，据此求解.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：连接BD，如图所示
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠BAD=90°，∵AF⊥AE
∴∠EAF=∠EAB+∠BAF=90°
∵∠BAD=∠BAF+∠FAD=90°
∴∠EAB=∠FAD
又∵AE=AF
∴，故① 正确；
∴∠EBA=∠FDA
∵在中，
在中，
∠EKB=∠AKD
∴∠BEK=∠BAD=90°
∴EF⊥EB，故 ② 正确；
过点B作BP⊥AE，交AE延长线于点P，则BP的长即点B到直线AE的距离，
∵AE=AF=，∠BEK=90°
∴EF=8，∠AEK=∠AFE=45°
在中，BF=10，EF=8
∴BE=6
∵∠AEK=45°，∠BEK=90°
∴∠BEP=45°
∵BP⊥AE
∴∠BPE=90°
∴是等腰直角三角形
∴BP=EP=
∴点B到直线AE的距离为，故 ③ 错误；
连接BD，
∵
∴FD=EB=6，
∴
∴，
故④ 正确；
综上，正确的结论有3个.
故答案为：C
【分析】利用正方形和AF⊥AE，证得∠EAB=∠FAD，利用SAS即可证得，得到∠EBA=∠FDA，结合三角形的内角和为180°，即可证得EF⊥EB，点B作BP⊥AE，交AE延长线于点P，结合和是等腰直角三角形，利用勾股定理求得EF、BE、BP，进而求得点B到直线AE的距离为，连接BD，因为，所以FD=EB=6，，利用求出面积即可.
11．【答案】3
【解析】【解答】解：∵，
∴BC=EF=8，
∵CE=5，
∴CF=EF-EC=8-5=3，
故答案为：3.
【分析】根据全等三角形的性质求出BC=EF=8，再根据CE=5计算求解即可。
12．【答案】13厘米
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
则(厘米)，
故答案为：13厘米.
【分析】由垂直的定义得∠BDA=∠CEA=90°，由同角的余角相等得∠ABD=∠CAE，从而由AAS判断出△ABD≌△CAE，得BD=AE=5，CE=AD=8，最后根据DE=AD+AE即可算出答案.
13．【答案】2
【解析】【解答】解：与全等，
当时，，
，
成立，
当时，，
，
不成立，
故答案为：2.
【分析】已知三角形三边的两个三角形全等，求x值时需要对全等三角形的对应边进行分类讨论，求出x值后需验证.
14．【答案】或
【解析】【解答】解：点D在CB的延长线上时，作EG⊥AM，交AM的延长线于点G，则∠G=∠ACD=90°.
∵∠DAE=90°，
∴∠GAE=∠D=90°-∠DAC.
∵∠G=∠ACD，∠GAE=∠D，AE=DA，
∴△AGE≌△DCA（AAS.），
∴AG=DC，EG=AC=BC，
∴AG-AC=DC-BC，
∴CG=DB.
∵∠BCM=180°-∠ACB=90°，
∴∠G=∠BCM.
∵∠G=∠BCM，∠EMG=∠BMC，EG=BC，
∴△EGM≌△BCM（AAS） ，
∴GM=CM.
设GM=CM=m，则DB=CG=2m，
∵2AC=7CM，
∴AC=CM，
∴AM=CM+CM=CM=m，
∴S△ADB=DB·AC=×2m×AC=m·AC，S△AEM=AM·EG=×m·AC=mAC，
∴=.
当点D在线段BC上时，设CM=GM=n，则BD=CG=2n，
∵2AC=7CM，
∴AC=CM，
∴AM=CM-CM=CM=n，
∴S△ADB=DB·AC=×2n×AC=n·AC，S△AEM=AM·EG=×n·AC=nAC，
∴=.
故答案为：或.
【分析】点D在CB的延长线上时，作EG⊥AM，交AM的延长线于点G，则∠G=∠ACD=90°，由同角的余角相等可得∠GAE=∠D，利用AAS证明△AGE≌△DCA，得到AG=DC，EG=AC=BC，进而推出CG=DB，利用AAS证明△EGM≌△BCM，得到GM=CM，设GM=CM=m，则DB=CG=2m，由2AC=7CM可得AC=CM，则AM=CM+CM=m，根据三角形的面积公式表示出S△ADB、S△AEM，据此求解；当点D在线段BC上时，设CM=GM=n，则BD=CG=2n，同理进行求解.
15．【答案】证明：∵
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∵
∴
【解析】【分析】根据题意先求出 ，再利用全等三角形的判定方法证明即可。
16．【答案】解：，
（两直线平行，内错角相等）．
，，即．
在和中，，
（），
（全等三角形的对应角相等），
（内错角相等，两直线平行）．
【解析】【分析】利用平行线的性质通过AAS判定，再由全等三角形的性质得到内错角相等，进而证得.
17．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
直线：，
令，得；令，得，解得，
，，
，，
，
，，
，，
，解得：，
直线：，
联立方程组，解得：，
点E的坐标为，
的面积为．
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，即可得到；
（2）先求出直线和的解析式，再联立方程组求出点E的坐标，最后利用三角形的面积公式求解即可。
18．【答案】（1）证明：在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
∴．
【解析】【分析】（1）由已知条件可知∠A=∠B，∠ACE=∠BDF，AE=BF，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得BD=AC=2，然后根据CD=AB-AC-BD进行计算.
一、选择题
1．下列选项中表示两个图形全等的是（ ）
A．形状相同的两个图形 B．周长相等的两个图形
C．面积相等的两个图形 D．能够完全重合的两个图形
2．已知Rt△ABC≌Rt△EDF，Rt△ABC的面积为12，Rt△EDF的一条直角边等于3，则另一直角边的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．如图，已知Rt△ABC≌Rt△BDE，若AC=5，DE=2，则CE的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，为了测出池塘两端A，B间的距离，小铱在地面上取一个可以直接到达A点和B点的点，连接并延长到，使；连接并延长到，使，连接并和测量出它的长度，小铱认为的长度就是A，B间的距离，她是根据来判断的，那么判定这两个三角形全等的依据是（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，，且，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知，若，则的度数为（ ）
A．80° B．90 C．100° D．110
8．如图，已知，如果只添加一个条件（不加辅助线）使，则添加的条件不能为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在和中，，是的中点，，垂足为点，且．若，则的长为( )
A．2cm B． C． D．
10．如图，点E在正方形ABCD外，连接AE、BE、DE，过点A作AE的垂线交DE于点F.若AE=AF=，BF=10，则下列结论：
①△AEB≌△AFD；②EF⊥EB；③点B到直线AE的距离为；④=40．
其中正确的结论有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上. 若，，则CF的长为 .
12．如图，在中，，，分别过点B、C作经过点A的直线的垂线段、，若厘米，厘米，则的长为 .
13．已知的三边长分别为3，4，5，的三边长分别为3，，若这两个三角形全等，则x的值为 ．
14．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，D为射线CB上一动点，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE＝AD．连接BE交直线AC于M，若2AC＝7CM，则的值为 ．
三、解答题
15．如图，在和中，，点在边上，，求证：．
16．如图，点，，，在同一直线上，点，在异侧，，，．试说明：，请将下面的证明过程补充完整，并在相应的括号内注明理由．
解：，
（ ）．
，
，即 ▲ ．
在和中，，
（ ），
▲ （ ），
（ ）．
四、综合题
17．如图，直线：（常数，）与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线：（常数，）与x轴、y轴分别交于C，D两点，直线与直线交于点E，且 ．
（1）求证
（2）若，，求的面积．
18．如图．点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，．．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：根据全等图形的概念可得：能够完全重合的两个图形为全等图形.
故答案为：D.
【分析】能够完全重合的两个图形称为全等图形，据此判断.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC≌Rt△EDF，Rt△ABC的面积为12，
∴Rt△EDF的面积为12，
设Rt△EDF的另一直角边的长为x.
∵Rt△EDF的一条直角边等于3，
∴ ×3x＝12，
∴x＝8，
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的面积相等及直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半列出方程，求解即可.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ Rt△ABC≌Rt△BDE，AC=5，DE=2，
∴BE=AC=5，BC=DE=2，
∴CE=BE-BC=5-2=3.
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形对应边相等得BE=AC=5，BC=DE=2，进而根据CE=BE-BC即可算出答案.
4．【答案】D
【解析】【解答】因为小明书上的三角形虽然被污染了，但是其它两角和它们的夹边却还是完整的，只需根据完整的两角和它们的夹边画出三角形即可，因为两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
故答案为：D。
【分析】观察被污染的三角形其它两角和它们的夹边都是完整的，所以根据ASA就可以画出一个 完全一样的三角形 。
5．【答案】B
6．【答案】D
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△CDA，
∴∠1=∠2，AD=CB，∠B=∠D.
故答案为：D.
【分析】全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等，据此判断.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：中
（全等三角形对应角相等）
故答案为：C.
【分析】根据内角和定理可求出∠CDA的度数，由全等三角形的性质可得∠CEB=∠CDA，据此解答.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：A、，
，
，，
不能使，A符合题意；
B、，
，
，，
，B不符合题意；
C、，
，
，，
，C不符合题意；
D、，
，
，，
，D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；
两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠BFE=90°，
∴∠ABC+∠DEB=90°.
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠DEB.
∵∠ACB=∠DBC，∠A=∠DEB，AB=DE，
∴△ABC≌△EDB（AAS），
∴BD=BC，AC=BE.
∵E为BC的中点，BD=8cm，
∴BE=BC=BD=4cm，
∴AC=BE=4cm.
故答案为：C.
【分析】由同角的余角相等可得∠A=∠DEB，利用AAS证明△ABC≌△EDB，得到BD=BC，AC=BE，结合中点的概念可得AC=BE=BC=BD，据此求解.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：连接BD，如图所示
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠BAD=90°，∵AF⊥AE
∴∠EAF=∠EAB+∠BAF=90°
∵∠BAD=∠BAF+∠FAD=90°
∴∠EAB=∠FAD
又∵AE=AF
∴，故① 正确；
∴∠EBA=∠FDA
∵在中，
在中，
∠EKB=∠AKD
∴∠BEK=∠BAD=90°
∴EF⊥EB，故 ② 正确；
过点B作BP⊥AE，交AE延长线于点P，则BP的长即点B到直线AE的距离，
∵AE=AF=，∠BEK=90°
∴EF=8，∠AEK=∠AFE=45°
在中，BF=10，EF=8
∴BE=6
∵∠AEK=45°，∠BEK=90°
∴∠BEP=45°
∵BP⊥AE
∴∠BPE=90°
∴是等腰直角三角形
∴BP=EP=
∴点B到直线AE的距离为，故 ③ 错误；
连接BD，
∵
∴FD=EB=6，
∴
∴，
故④ 正确；
综上，正确的结论有3个.
故答案为：C
【分析】利用正方形和AF⊥AE，证得∠EAB=∠FAD，利用SAS即可证得，得到∠EBA=∠FDA，结合三角形的内角和为180°，即可证得EF⊥EB，点B作BP⊥AE，交AE延长线于点P，结合和是等腰直角三角形，利用勾股定理求得EF、BE、BP，进而求得点B到直线AE的距离为，连接BD，因为，所以FD=EB=6，，利用求出面积即可.
11．【答案】3
【解析】【解答】解：∵，
∴BC=EF=8，
∵CE=5，
∴CF=EF-EC=8-5=3，
故答案为：3.
【分析】根据全等三角形的性质求出BC=EF=8，再根据CE=5计算求解即可。
12．【答案】13厘米
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
则(厘米)，
故答案为：13厘米.
【分析】由垂直的定义得∠BDA=∠CEA=90°，由同角的余角相等得∠ABD=∠CAE，从而由AAS判断出△ABD≌△CAE，得BD=AE=5，CE=AD=8，最后根据DE=AD+AE即可算出答案.
13．【答案】2
【解析】【解答】解：与全等，
当时，，
，
成立，
当时，，
，
不成立，
故答案为：2.
【分析】已知三角形三边的两个三角形全等，求x值时需要对全等三角形的对应边进行分类讨论，求出x值后需验证.
14．【答案】或
【解析】【解答】解：点D在CB的延长线上时，作EG⊥AM，交AM的延长线于点G，则∠G=∠ACD=90°.
∵∠DAE=90°，
∴∠GAE=∠D=90°-∠DAC.
∵∠G=∠ACD，∠GAE=∠D，AE=DA，
∴△AGE≌△DCA（AAS.），
∴AG=DC，EG=AC=BC，
∴AG-AC=DC-BC，
∴CG=DB.
∵∠BCM=180°-∠ACB=90°，
∴∠G=∠BCM.
∵∠G=∠BCM，∠EMG=∠BMC，EG=BC，
∴△EGM≌△BCM（AAS） ，
∴GM=CM.
设GM=CM=m，则DB=CG=2m，
∵2AC=7CM，
∴AC=CM，
∴AM=CM+CM=CM=m，
∴S△ADB=DB·AC=×2m×AC=m·AC，S△AEM=AM·EG=×m·AC=mAC，
∴=.
当点D在线段BC上时，设CM=GM=n，则BD=CG=2n，
∵2AC=7CM，
∴AC=CM，
∴AM=CM-CM=CM=n，
∴S△ADB=DB·AC=×2n×AC=n·AC，S△AEM=AM·EG=×n·AC=nAC，
∴=.
故答案为：或.
【分析】点D在CB的延长线上时，作EG⊥AM，交AM的延长线于点G，则∠G=∠ACD=90°，由同角的余角相等可得∠GAE=∠D，利用AAS证明△AGE≌△DCA，得到AG=DC，EG=AC=BC，进而推出CG=DB，利用AAS证明△EGM≌△BCM，得到GM=CM，设GM=CM=m，则DB=CG=2m，由2AC=7CM可得AC=CM，则AM=CM+CM=m，根据三角形的面积公式表示出S△ADB、S△AEM，据此求解；当点D在线段BC上时，设CM=GM=n，则BD=CG=2n，同理进行求解.
15．【答案】证明：∵
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∵
∴
【解析】【分析】根据题意先求出 ，再利用全等三角形的判定方法证明即可。
16．【答案】解：，
（两直线平行，内错角相等）．
，，即．
在和中，，
（），
（全等三角形的对应角相等），
（内错角相等，两直线平行）．
【解析】【分析】利用平行线的性质通过AAS判定，再由全等三角形的性质得到内错角相等，进而证得.
17．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
直线：，
令，得；令，得，解得，
，，
，，
，
，，
，，
，解得：，
直线：，
联立方程组，解得：，
点E的坐标为，
的面积为．
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，即可得到；
（2）先求出直线和的解析式，再联立方程组求出点E的坐标，最后利用三角形的面积公式求解即可。
18．【答案】（1）证明：在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
∴．
【解析】【分析】（1）由已知条件可知∠A=∠B，∠ACE=∠BDF，AE=BF，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得BD=AC=2，然后根据CD=AB-AC-BD进行计算.