第十三章轴对称整章学案
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文档简介
13.1 .1 轴对称
一、学习目标1、通过实例认识轴对称，掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念；
2、探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察，培养学生认真探究、积极思考的能力。
学习重点：轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念及轴对称的性质
学习难点：轴对称图形和两个图形关于某直线对称的区别和联系及轴对称的性质．
二、自主探究 合作展示
探究（一） 自学课本58页，完成以下问题。
什么是轴对称图形？你能举几个轴对称图形的例子吗？
2、试一试：下面的图形是轴对称图形吗？如果是，画出它的对称轴。
（1） （2） （3） （4） （5）
探究（二） 自学课本59页，完成以下问题。
1、什么叫做两个图形成轴对称？你能举几个生活中两个图形成轴对称的例子吗？
探究（三）
成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？
归纳：
区别：轴对称图形指的是_____个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相_________。
轴对称指的是_____个图形沿一条直线折叠 ，这个图形能够与另一个图形_________。
联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体， ( http: / / www.21cnjy.com )它就是一个_______________；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条直线对称（简称轴对称）
练习1、我国的文字非常讲究对称美，下面四个图案中不是轴对称图形的是( )．
2、以下汽车标志中，和其他三个不同的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A B C D
3、下列图形中对称轴最多的是( )
A.圆 B.正方形 C.角 D.线段
4、写出英文26个大写字母中是轴对称图形的字母: _______________
5、写出三个是轴对称图形的汉字: _______________
探究（四） 轴对称的性质
1、如图(1)，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、
B′、C′分别是点A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′
与直线MN有什么关系？
设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′B′C′沿
MN折叠后，点A与A′重合吗？
于是有PA＝ ，∠MPA＝ ＝ 度
（2）对于其他的对应点，如点B，B′；C，C′也有类似的情况吗？
（3）那么MN与线段AA′，BB′，CC′的连线有什么关系呢？
2、垂直平分线的定义：
经过线段 并且 这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
3、轴对称的性质：
如果两个图形关于某条直线对称，那么 是任何一对对应点所连线段的 。
类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的 。
练习
教材60页1、2（在教材上完成）
2、如图是我国几家银行的标志，在这几个图案中是轴对称图形的有哪些？它们各有几条对称轴，你能画出来吗？（小组讨论完成）
3．下列各时刻是轴对称图形的为（ ）
A、 B、 C、 D、
4. 在镜中看到的一串数字是“”，则这串数字是 。
5. 求右图阴影部分的面积。（单位：厘米）
反思总结：
13.1.2 线段垂直平分线的性质
一、学习目标
通过动手试验掌握线段的垂直平分线的性质与判定
理解线段垂直平分线与对称轴的关系
掌握线段垂直平分线的性质及判定
学习重点：线段垂直平分线的性质与判定的理解
学习难点：运用线段垂直平分线性质及判定解决问题。
二、知识链接： 如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于MN对称。
（1）A、B、C、D的对称点分别是 ，线段AD、AB的对应线段
分别是 ，CD= ， ∠CBA= ，∠ADC=
（2）连接AE、BF，AE与BF平行吗？为什么？
（3）对称轴MN与线段AE的关系？
三、探究（一）
如图，直线L 垂直平分线段AB，P1，P ( http: / / www.21cnjy.com )2，P3，…是L上的点,量出AP1、AP2、AP3、与BP1、BP2、BP3…讨论发现什么样的规律：
。
总结线段垂直平分线的性质 ：
2、你能利用判定两个三角形全等的方法证明这个性质吗？
如图（1），直线，垂足是，AC=BC,点在上。
求证：
P
L
线段垂直平分线性质定理:
几何语言： ∵ ( http: / / www.21cnjy.com )
∴
跟踪训练： 如右图所示，直线MN和DE分别是线段 AB、BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和 PC相等吗 为什么
探究（二）
反过来,图(2)中如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢 说明理由.
(1)已知：
（2）求证：
(3)需要作辅助线吗？怎么作？
证明：
( http: / / www.21cnjy.com )
总结线段垂直平分线的性质判定：
几何语言：∵
∴
四、练习
1．如右图所示，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，BE＝6，求△BCE的周长。
2、如图，△ABC中，AB＝AC＝ ( http: / / www.21cnjy.com )18cm，BC＝ 10cm，AB的垂直平分线ED交AC于D点，求：△BCD的周长。
( http: / / www.21cnjy.com )
3.如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
4.已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA ，ED⊥OB ，垂足分别为C、D．
求证： OE是CD的垂直平分线．
五、反思总结
13.1.2 线段垂直平分线（2）（综合案）
学习目标：
利用轴对称的性质和线段垂直平分线的性质和判定画图并解决实例。
学习重点：利用轴对称的性质和线段垂直平分线的性质和判定画图并解决实例。
学习难点：过直线外一点作直线的垂线的尺规作图．
一、复习巩固
如图1线段垂直平分线性质定理: ( http: / / www.21cnjy.com )
几何语言： ∵
∴
如图2线段垂直平分线的判定定理：
几何语言：∵
∴
( http: / / www.21cnjy.com )
图1 图2
1、如图所示，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在
三个小区之间修建一个购物超，使超市到三个小区的距离相等，
则超市应建在（ ）
A.在AC、BC两边高线的交点处
B.在AC、BC两边中线的交点处
C.在AC、BC两边垂直平分线的交点处
D.在A、B两内角平分线的交点处
2.如何作的垂直平分线？
探究一：作已知线段的垂直平分线
已知：
求作：
作法：
A B
跟踪训练：你能作出五角星的一条对称轴吗？
二、当堂检测：
某地由于居民增多，要在公路l上增加一个公共汽车站
A、B是路边的两个新建小区，这个公共汽车站建在什么位置
B
A
2.某地有两所大学和两条 ( http: / / www.21cnjy.com )相交叉的公路，如图所示（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.（1）你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中
画出你的设计方案；
（2）阐述你设计的理由.
学习评价 自 我 评 价 小 组 评 价 教 师 评 价 综 合 评 价
优 良 及 差 优 良 及 差 优 良 及 差 优 良 及 差
三、 练习：
1、课本P63练习题1、2、3
2、下面是我们学过的一些几何图形，说出下面图形是不是轴对称图形，并完成下表。
长方形 正方形 三角形 等腰三角形
等边三角形 平行四边形 任意梯形 等腰梯形 圆
图形 长方形 正方形 三角形 等腰三角形 等边三角形 平行 四边形 任意梯形 等腰梯形 圆
对称轴的条数
3 △ABC中，DE是AC的垂直平分线，垂足为E,交AB于点D，AE=5cm，△CBD的周长为24cm，求△ABC的周长。
4．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120o，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF=2CF．
反思总结：
13.2 画轴对称图形（综合案）
学习目标：
1．能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形。
2、能设计简单的轴对称图案。
3、通过画轴对称图形，增强学生学习几何的趣味感，培养审美情操。：
学习重点：利用对称轴作轴对称图形。
学习难点：找对称点。
一、知识链接：
1、请同学们尝试解决以下问题；
如图（1），实线所构成的图形为已知图形，虚线为对称轴，请画出已知图形的轴对称图形。
问题：(1)你可以通过什么方法来验证你画的是否正确
(2)和其他同学比较一下，你的方法是最简单的吗
归纳：连接任意一对对称点的线段被对称轴____________
二、预习自测：
如图，已知点A和直线L，试画出点A关于直线L的对称点A′。
请说说你的画法 L
A·
三、探究点1：画已知图形的轴对称图形, 作△ABC关于直线L的对称的图形△A′B′C′
画法：
四.探究点2：找对称轴
已知△ABC，及点A的对称点A′，请作出对称轴直线l，并画出△ABC
关于直线l的对称图形。
A . A′
B
C
五、当堂检测：
1、小明在平面镜中看到身后墙上钟表显示的时间是12：15，这时的实际时间应该是 。
2、把下列图形补成关于对称的图形。
3、如图，△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线， AB=8，BC=4，∠A=36°，则
∠DBC=______，△BDC的周长L△BDC =______ ．
4、如图，ΔABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将ΔABD分为三个三角形，则S：S：S=______ .
5、如图，已知：AD平分，EF垂直平分AD，交BC延长线于F，连结AF。求证：。
反思小结：
13.2坐标系中的对称
学习目标：
1、掌握在平面直角坐标系中，关于x轴和y轴对称点的坐标特点。
2、能在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x轴和y轴的对称图形。
3、能运用坐标中的轴对称特点解决简单的问题。
学习重点：在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x轴和y轴的对称图形
学习难点：能运用坐标中的轴对称特点解决简单的问题。
一、温故知新
如图：（1）观察图（1）中两个圆脸有什么关系？
（2）若已知图（1）中圆脸右眼的坐标为（4，3），左眼
的坐标为（2，3），嘴角两个端点，右端点的坐标为（4，1），
左端点的坐标为（2，1）．你能根据轴对称的性质写出左边圆
脸上左眼，右眼及嘴角两端点的坐标吗？
二、自主探究 合作展示
探究（一）
在如图（2）所示平面直角坐标系内画出下列已知点以及对称点，并把坐标填在表格中，你能发现坐标间有什么规律？
已知点 A(2，－3) B（－1，2） C（－6，－5） D（0.5，1） E（4，0）
关于轴对称的点 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
关于轴对称的点 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2、归纳：点（，）关于轴对称的点的坐标是 ；
点（，）关于轴对称的点的坐标是
探究（三）
例题：如图(3)，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1），B（－2，1），C（－2，5），D（－5，4），分别作出四边形ABCD关于轴和轴对称的图形。(在教材中完成)
三、双基检测
1、分别写出下列各点关于轴和轴对称的点的坐标。
（-2，6） （1，-2） （-1，3） （-4，-2） （1，0）
关于轴对称的点
关于轴对称的点
2、已知点(2a+b,-3a)与点(8,b+2).
(1)若点与点关于轴对称，则a=_____;b=_______.(2)若点与点关于轴对称，则a=_____;b=_______.
3、平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0,4），
B（2,4），C（3，－1）.
（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；
（2）求△ABC的面积.
（3）若与△ABC关于x轴对称，
写出、、的坐标.
4、点M (a, -5)与点N(-2, b)关于y轴对称，则a=_____, b =_____.
5、已知点（x，4-y）与点（1-y，2x）关于y轴对称，则xy= ————————。
6、已知A、B两点的坐标分别是（－ ( http: / / www.21cnjy.com )2，3）和（2，3），则下面四个结论：①A、B关于x轴对称；②A、B关于y轴对称；③A、B关于原点对称；④若A、B之间的距离为4，其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7、已知A（－1，－2）和B（1，3），将点A向______平移________个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称．
四、课后反思：
13.3.1 等腰三角形（1）
一、学习目标
1、了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质。
2、运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题。
学习重点：等腰三角形的概念及性质。
学习难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用。
二、温故知新
1、下列图形不一定是轴对称图形的是（ ） A、圆 B、长方形 C、线段D、三角形
2、怎样的三角形是轴对称图形？答：
3、有两边相等的三角形叫 ，相等的两边叫 ，另一边叫 两腰的夹角叫 ，腰和底边的夹角叫
4、如图，在△ABC中，AB=AC，标出各部分名称
5、利用剪纸得到一个等腰三角形
三、自主探究 合作展示
（一）操作、实践：
取一等腰三角形纸片，照图折叠，找出其中重合的线段和角，填入下表：
A A A
B C D B（C） B D C（1） （2） （3）
重合的线段 重合的角
【问题1】根据上表你能得出哪些结论？并将你的结论与同学交流。
【问题2】你能利用三角形全等的知识证明以上结论吗？(要求:选择以教材不同的证明方法)
2、归纳等腰三角形的性质：
性质1 等腰三角形的两个 相等
（简写成“ ” ）
性质2 等腰三角形 、 、 互相重合。（三线合一）
（二）【新知应用】
例1.（1）等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角的度数是____________
（2）等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为____________.
（3）等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为
（4）. 已知一个等腰三角形两个内角的度数之比为1：4，则这
个等腰三角形顶角的度数为___________。
（5）. 等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为40o，则底角为___________ 。
例2：如图（2）所示，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．
四、双基检测
1、如图（3）所示，△ABC是等腰直角三角 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底边BC上的高，标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数，图中有哪些相等线段？
2、如图（4），在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．
3、如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证BD＝CE
五、学习反思
13.3.1 等腰三角形（2）
一、学习目标
1、理解等腰三角形的判定方法及应用。
2、通过对等腰三角形的判定方法的探索，体会探索学习的乐趣
学习重点：等腰三角形的判定方法及其应用
学习难点：等腰三角形的判定方法及其应用
二、温故知新
1、等腰三角形的两边长分别为6，8，则周长为
2、等腰三角形的周长为14，其中一边长为6，则另两边分别为
3、等腰三角形的一个角为70°，则另外两个角的度数是
4、等腰三角形的一个角为120°则另外两个角的度数是
三、自主探究 合作展示
（一）【思考】
（1）如图（1），位于在海 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
（2）我们把这个问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
已知：在△ABO中，∠A=∠B
求证：AO=AO(要求:选择以教材不同的证明方法)
证明：
【归纳】等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的
也相等（简写成 ）
跟踪训练：1.如图，AD∥BC，BD平分∠ABC． 求证：AB=AD．
2、如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，
证：OC=OD
（二）【新知应用】
1、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
请同学们完成下列问题
（1）、已知：如图（2）， 是△ABC的外角，∠1= ，AD∥
求证： ．
（2）、请同学们完整的写出解题过程
证明：
四、双基检测
1、如图（5），∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，分别计算∠1、∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形．
2、如图（6），把一张矩形的纸沿对角线折叠．重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
3.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作
EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F
求证：EF=EB+FC.
4、如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，求证△CEB是等腰三角形
五、学习反思
13.3.2 等边三角形（1）
一、学习目标
1理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法
2、能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题
学习重点：等边三角形判定定理的发现与证明
学习难点：等边三角形性质和判定的应用
二、温故知新
1、在△ABC中，AB=AC，
（1）如果∠A＝70°，则∠C＝_________，∠B＝___________；
（2）如果∠A＝90°，则∠B＝_________，∠C＝___________；
（3）如果∠A＝60°，则∠B＝_________，∠C＝___________。
2、在△ABC中，如果AB=AC=BC，则∠A＝_________，∠B＝___________，∠C＝_________。
3、____________________________的三角形是等边三角形，等边三角形是一种特殊的________三角形。
三、自主探究 合作展示
【问题】1、把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？
性质（1）边_____________________（2）角_____________________（3）三线合一
_____________________
如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，求证BE＝DC
2、一个三角形满足什么条件就是等边三角形？
3、你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？如果是请说明理由。
已知： A
求证：
证明：
B C
【新知应用】
例4：如图（1），△ABC是等 ( http: / / www.21cnjy.com )边三角形,DE ∥ BC,分别交AB、AC于点D,E．求证:△ADE是等边三角形．(要求:选择以教材不同的证明方法)
四、双基检测
1、已知：如图（5），△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD．
求证：DB=DE．
2.如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，
求证：△DEF是等边三角形
3. 如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，
求∠DBC的度数。
4、如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，
①求证：△BCE≌△ACD；
②求证：CF=CH；
③判断△CFH的形状并说明理由．
五、学习反思
12.3.2 等边三角形（2）
一、学习目标
1、证明直角三角形中有一个角为30°的性质．
2、有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．
学习重点：含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．
学习难点：1、含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．
2、引导学生全面、周到地思考问题．
二、温故知新（口答）
1、等边三角形三边 ，三个角都等于 ，
2、等边三角形是轴对称图形,它有 条对称轴，它的对称轴 。
三、自主探究 合作展示
探究（一）1、如图（1），将两个含有3 ( http: / / www.21cnjy.com )0°角的三角形放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
2、你能用所学的知识验证以上结论吗？
方法1：如图(2)，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于D，∠BAD= °,BD= BC= AB。
方法2：如图(3)，△ABC中，延长BC到D使BD=AB，连接AD，则△ABD是 三角形,BC= = 。
我们得到下面的性质定理：
________________________________________________________
几何语言： ∵∠C=90o，∠A=30o
∴BC= ( )
探究（二）
例题：如图（4）是屋架设计图的一部分， ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BC、DE要多长？
四、双基检测
1、等腰三角形中，一腰上的高与底边的夹角为30°，则此三角形中腰与底边的关系（ ）
A、腰大于底边 B、腰小于底边 C、腰等于底边 D、不能确定
2、在Rt△ABC中，∠C=90度，∠A=30°，CD⊥AB于点D，AB=8cm,则BC= ，
BD= ， AD=
3、如图（6）,在△ABC 中∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分线交BC于D,交AB于M,且BD=8㎝,求AC之长.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．
求CD
5、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．求证：BD=AB．
6、如图， △ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，
且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F
求证:BP=2PF
3、已知如图 ∠C= 90° ( http: / / www.21cnjy.com )，∠B=30° 把这个三角形分成大小、形状都相同的三个三角形你有哪些方法，在图上画出 A
B
五、反思总结： B C
13.4 最短路径问题（综合案）
学习目标：
体会利用作图解决最短路径问题
学习重点：体会利用作图解决最短路径问题
学习难点：体会利用作图解决最短路径问题
一、知识链接：
如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最
近？你的理由是什么？
两点在一条直线异侧：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在
L上求一点P，使得PA+PB最小。
探究一：（两点在直线的同侧）
问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供
牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．
。B
A 。
作法：
跟踪训练：1、要在河边修建一个水泵站， ( http: / / www.21cnjy.com )分别向张村、李庄送水（如图）。 修在河边什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置，并说明你的理由。
2、某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中 ( http: / / www.21cnjy.com )的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到D处座位上，，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
归纳：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短径的选择。
第十三章 轴对称复习
（一）认清目标，明确要求
本章的课程学习目标是：
1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质。
2.探索简单图形之间的轴对称关系， ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )能够按照要求作出简单图形经过一次或两次轴对称后的图形，认识和欣赏轴对称在现实生活中的应用，能应用轴对称进行简单的图案设计。
3.了解线段的垂直平分线的概念，探索并掌握其性质；了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，探索并掌握它们的性质以及判定方法。
4.能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间观念，激发学习兴趣。
（二）自主复习，盘点知识
基本概念
1.轴对称图形：
如果一个图形沿着一条直线 ，两侧的图 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )形能够 ，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做______。图形上能够重合的点叫 。
2.轴对称：
如果把一个图形沿着某一条直 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成 ，这条直线叫做 。两个图形中的对应点叫 。
3.轴对称的性质：
如果两个图形关于某条直线 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点连线段的 ，其中对应线段 ，对应角 。
1 、如图（1）， 下列图形是轴对称图形的有 （填序号）.
2、 如图(3)所示，已知△ABC和 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )直线MN.求作：△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于直线MN对称.（不要求写作法，只保留作图痕迹）
4.角的平分线的性质
（1）性质：角的平分线上的点到 的距离相等。
（2）判定：到角两边距离相等的点在 上。
5.线段垂直平分线的性质
(1)经过 的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫 。
(2)性质：线段垂直平分线上的点到 的距离相等。
（3）判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在 上。
(4)线段垂直平分线可以看作是 的集合。
3.如图)所示，AB=AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
求△BCE的周长.
4、某地有两所大学和两条相交叉 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的公路，如图（6）所示（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.（1）你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案；
（2）阐述你设计的理由.
6.用坐标表示对称
点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为 ;
点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为 ;
5、已知点A（m+2，3）、B（-5，n+6）关于y轴对称，则m= ，n= 。
6、（1）画出关于轴对称的（其中分别是的对应点，不写画法）；
（2）直接写出三点的坐标．
（3）△ABC的面积为
7.等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形是 图形，它的对称轴是 ，
（2）等腰三角形的两腰 。
（3）等腰三角形的两个底角 。简称： 。
（4）等腰三角形的“三线合一”是指 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) 。
8.等腰三角形的判定
(1)定义(边): .
(2)从角上: .(简称: )
7. 已知等腰三角形的一个内角是110°，求另外两个角的度数；
已知等腰三角形的一个内角是40°，求另外两个角的度数.
8、（1）如果等腰三角形的两边长分别是4cm，7cm，那么它的周长是 ；
（2）如果等腰三角形的两边长分别是5cm，10cm，则它的周长是 .
9.如图（1）所示，在△ABC中，AB=AC=CD，AD=DB，求∠BAC的度数.
9.等边三角形的性质：
（1）对称性： 。
（2）边： 。
（3）角： 。
（4）等边三角形的“三线合一”是指 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) 。
10. 等边三角形的判定
(1)定义(边): .
(2)从角上: .
(3)有一个角 的 是等边三角形.
10.如图(2)所示，B，C，D三点在一条直线上，△ABC和△ECD是等边三角形.求证BE=AD.
11.三角形三个内角平分线的交点到 距离相等。
12.三角形三边垂直平分线的交点到 距离相等。
13.在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于 的 。
(三)方法归纳
1、证明线段相等的方法：
（1）全等三角形 （2）角平分线性质定理 （3）线段垂直平分线性质定理 （4）等角对等边
2、证明角相等的方法：
（1）全等三角形 （2）平行线的性质 （3）余角（补角）的性质 （4）等边对等角
(三)、误区警示
1．注意分类讨论思想
在解决等腰三角形的边和角的问题时要注意分 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )类讨论,如等腰三角形的周长为20，有一边为8，这时就必须讨论所给的这条边是腰还是底;如已知等腰三角形一角度数求另外两个角的度数, 这时就必须讨论所给的这个角是顶角还是底角;再比如涉及三角形的高时，通常需要考虑高在三角形的外部还是内部。
2．应用“三线合一”性质作辅助线时，所作的辅助线不能同时满足两线的性质（如过点A作EF⊥BC,并使EF平分BC）。
3．不要认为：有一个角等于300，那么它所对的边就一定等于另一条边的一半，前提条件是在直角三角形中。
二、知识再现
11、如图所示，在△A ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )BC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，MN经过点O，若AB=12，AC=18，则△AMN的周长是( )
A.15 B.18 C.24 D.30
12、如图(5)所示，∠1=∠2，BD=CD，试证明△ABC是等腰三角形.
13、已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC.
O
如图(6)，若点O在边BC上，求证：AB=AC;
如图(7)，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC;
若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画图表示。
第十三章 轴对称复习练习题
一、填空题
1．已知等腰三角形的一个角为42 0，则它的底角度数_______．
2．下列10个汉字：林 上 下 目 ( http: / / www.21cnjy.com )王 田 天 王 显 吕，其中不是轴对称图形的是_______；有一条对称轴的是________；有两条对称轴的是_______；有四条对称轴的是________．
3.如图，镜子中号码的实际号码是___________．
4．等腰三角形的两边长分别是和，则其周长为______．
5. 在平面直角坐标系中，点P（－2，1）关于 y轴对称的点的坐标为___________，
点P（－2，1）关于 x轴对称的点的坐标为是___________．
6．如图，AB=AC，，AB的垂直平分线交BC于点D，那么___________
7、如图，的周长为32，且于，的周长为24，那么的长为___________．
8．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠FEM的度数为________．
9.如图，等腰三角形ABC中，AB=A ( http: / / www.21cnjy.com )C，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，则这个三角形的腰长及底边长为________________________．
二、选择题
1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点
2. 下列图形是轴对称图形的是（ ）
3．如图3，已知△ABC中，AC+BC= ( http: / / www.21cnjy.com )24，AO、BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M，则△CMN的周长为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．不确定
4．如图4所示,Rt△ABC中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )C=90°,AB的垂直平分线DE交BC于D，交AB于点E．当∠B=30°时，图中不一定相等的线段有（ ）
A．AC=AE=BE B．AD=BD C．CD=DE D．AC=BD
5．如图5，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于（ ）A．30o B．40o C．45o D．36o
6．如图6，等腰△ABC的周长为21，底边BC ＝ 5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
图5 图6
7．如图6，AB＝AC,BD＝BC，若∠A＝40°，则∠ABD的度数是（ ）
A． B． C． D．
8、在中， ，是的垂直平分线，交于点，交于点．已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
三、解答题
1．如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系.
画出四边形OABC关于y轴对称的四边形OA1B1C1，并写出点B1的坐标是______ .
2.如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，线段AB的两个端点都在格点上，直线MN经过坐标原点。
（1）写出点A的坐标________ , B的坐标________ .
（2）利用尺规作出线段AB关于直线MN的对称图形（保留作图痕迹，不写作法）。
3．如图，在等边中，点分别在边上，且，与交
于点．（1）求证：；（2）求的度数．
4．如图所示，∠BAC＝∠ABD,AC＝BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系,并给出证明．
5. 如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，CD是斜边AB上的高，CE是中线，求DE长。
6、如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC、CF，求证：CA是∠DCF的平分线。
7.已知：如图所示，在和中，，，，且点在一条直线上，连接分别为的中点．
求证：①；②是等腰三角形．
8、如图，在⊿ABC中，∠ABC和∠A ( http: / / www.21cnjy.com )CB的平分线交于点O，过O点作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，BE=5cm，CF=3cm，求EF的长．
9、已知：如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC=BD，BC，AD相交于点E．
(1) 求证：AE=BE；
(2) 若∠AEC=45°，AC=1，求CE的长．
10、已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF， AF相交于P，M．(1)求证：AB=CD；
(2)若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
(A)
(B)
(C)
(D)
图（1）
O
B
A
P3
P1
P2
图（1）
B
A
C
D
E
D
E
C
B
A
O
N·
M·
B
O
A
E
D
C
B
A
图（1）
第4题
第3题
图（1）
图（2）
图（3）
图（3）
图（1）
图（2）
图（3）
图（4）
图（1）
图（2）
图（5）
图（6）
A
C
B
F
E
O
图（1）
图（5）
B
A
C
D
图（1）
A
C
B
D
图（2）
B
A
D
C
图（3）
图（4）
图（6）
M
C
B
D
A
M
D
B
C
A
P
F
E
D
C
B
A
①
②
③
B
C． 。.
D.． 。.
O
A
图（1）
图（3）
图（6）
y
1
2
O
1
-1
A
B
C
图（1）
图（2）
C
B
O
A
图（6）
C
B
A
O
图（7）
N
M
E
F
C
B
A
D
A
D
E
B C
A
B
M
C
N
O
图3
图4
A
C
B
D
E
A
C
B
D
E
C
E
N
D
A
B
M
O
A
B
E
C
F
一、学习目标1、通过实例认识轴对称，掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念；
2、探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察，培养学生认真探究、积极思考的能力。
学习重点：轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念及轴对称的性质
学习难点：轴对称图形和两个图形关于某直线对称的区别和联系及轴对称的性质．
二、自主探究 合作展示
探究（一） 自学课本58页，完成以下问题。
什么是轴对称图形？你能举几个轴对称图形的例子吗？
2、试一试：下面的图形是轴对称图形吗？如果是，画出它的对称轴。
（1） （2） （3） （4） （5）
探究（二） 自学课本59页，完成以下问题。
1、什么叫做两个图形成轴对称？你能举几个生活中两个图形成轴对称的例子吗？
探究（三）
成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？
归纳：
区别：轴对称图形指的是_____个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相_________。
轴对称指的是_____个图形沿一条直线折叠 ，这个图形能够与另一个图形_________。
联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体， ( http: / / www.21cnjy.com )它就是一个_______________；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条直线对称（简称轴对称）
练习1、我国的文字非常讲究对称美，下面四个图案中不是轴对称图形的是( )．
2、以下汽车标志中，和其他三个不同的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A B C D
3、下列图形中对称轴最多的是( )
A.圆 B.正方形 C.角 D.线段
4、写出英文26个大写字母中是轴对称图形的字母: _______________
5、写出三个是轴对称图形的汉字: _______________
探究（四） 轴对称的性质
1、如图(1)，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、
B′、C′分别是点A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′
与直线MN有什么关系？
设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′B′C′沿
MN折叠后，点A与A′重合吗？
于是有PA＝ ，∠MPA＝ ＝ 度
（2）对于其他的对应点，如点B，B′；C，C′也有类似的情况吗？
（3）那么MN与线段AA′，BB′，CC′的连线有什么关系呢？
2、垂直平分线的定义：
经过线段 并且 这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
3、轴对称的性质：
如果两个图形关于某条直线对称，那么 是任何一对对应点所连线段的 。
类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的 。
练习
教材60页1、2（在教材上完成）
2、如图是我国几家银行的标志，在这几个图案中是轴对称图形的有哪些？它们各有几条对称轴，你能画出来吗？（小组讨论完成）
3．下列各时刻是轴对称图形的为（ ）
A、 B、 C、 D、
4. 在镜中看到的一串数字是“”，则这串数字是 。
5. 求右图阴影部分的面积。（单位：厘米）
反思总结：
13.1.2 线段垂直平分线的性质
一、学习目标
通过动手试验掌握线段的垂直平分线的性质与判定
理解线段垂直平分线与对称轴的关系
掌握线段垂直平分线的性质及判定
学习重点：线段垂直平分线的性质与判定的理解
学习难点：运用线段垂直平分线性质及判定解决问题。
二、知识链接： 如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于MN对称。
（1）A、B、C、D的对称点分别是 ，线段AD、AB的对应线段
分别是 ，CD= ， ∠CBA= ，∠ADC=
（2）连接AE、BF，AE与BF平行吗？为什么？
（3）对称轴MN与线段AE的关系？
三、探究（一）
如图，直线L 垂直平分线段AB，P1，P ( http: / / www.21cnjy.com )2，P3，…是L上的点,量出AP1、AP2、AP3、与BP1、BP2、BP3…讨论发现什么样的规律：
。
总结线段垂直平分线的性质 ：
2、你能利用判定两个三角形全等的方法证明这个性质吗？
如图（1），直线，垂足是，AC=BC,点在上。
求证：
P
L
线段垂直平分线性质定理:
几何语言： ∵ ( http: / / www.21cnjy.com )
∴
跟踪训练： 如右图所示，直线MN和DE分别是线段 AB、BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和 PC相等吗 为什么
探究（二）
反过来,图(2)中如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢 说明理由.
(1)已知：
（2）求证：
(3)需要作辅助线吗？怎么作？
证明：
( http: / / www.21cnjy.com )
总结线段垂直平分线的性质判定：
几何语言：∵
∴
四、练习
1．如右图所示，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，BE＝6，求△BCE的周长。
2、如图，△ABC中，AB＝AC＝ ( http: / / www.21cnjy.com )18cm，BC＝ 10cm，AB的垂直平分线ED交AC于D点，求：△BCD的周长。
( http: / / www.21cnjy.com )
3.如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
4.已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA ，ED⊥OB ，垂足分别为C、D．
求证： OE是CD的垂直平分线．
五、反思总结
13.1.2 线段垂直平分线（2）（综合案）
学习目标：
利用轴对称的性质和线段垂直平分线的性质和判定画图并解决实例。
学习重点：利用轴对称的性质和线段垂直平分线的性质和判定画图并解决实例。
学习难点：过直线外一点作直线的垂线的尺规作图．
一、复习巩固
如图1线段垂直平分线性质定理: ( http: / / www.21cnjy.com )
几何语言： ∵
∴
如图2线段垂直平分线的判定定理：
几何语言：∵
∴
( http: / / www.21cnjy.com )
图1 图2
1、如图所示，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在
三个小区之间修建一个购物超，使超市到三个小区的距离相等，
则超市应建在（ ）
A.在AC、BC两边高线的交点处
B.在AC、BC两边中线的交点处
C.在AC、BC两边垂直平分线的交点处
D.在A、B两内角平分线的交点处
2.如何作的垂直平分线？
探究一：作已知线段的垂直平分线
已知：
求作：
作法：
A B
跟踪训练：你能作出五角星的一条对称轴吗？
二、当堂检测：
某地由于居民增多，要在公路l上增加一个公共汽车站
A、B是路边的两个新建小区，这个公共汽车站建在什么位置
B
A
2.某地有两所大学和两条 ( http: / / www.21cnjy.com )相交叉的公路，如图所示（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.（1）你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中
画出你的设计方案；
（2）阐述你设计的理由.
学习评价 自 我 评 价 小 组 评 价 教 师 评 价 综 合 评 价
优 良 及 差 优 良 及 差 优 良 及 差 优 良 及 差
三、 练习：
1、课本P63练习题1、2、3
2、下面是我们学过的一些几何图形，说出下面图形是不是轴对称图形，并完成下表。
长方形 正方形 三角形 等腰三角形
等边三角形 平行四边形 任意梯形 等腰梯形 圆
图形 长方形 正方形 三角形 等腰三角形 等边三角形 平行 四边形 任意梯形 等腰梯形 圆
对称轴的条数
3 △ABC中，DE是AC的垂直平分线，垂足为E,交AB于点D，AE=5cm，△CBD的周长为24cm，求△ABC的周长。
4．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120o，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF=2CF．
反思总结：
13.2 画轴对称图形（综合案）
学习目标：
1．能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形。
2、能设计简单的轴对称图案。
3、通过画轴对称图形，增强学生学习几何的趣味感，培养审美情操。：
学习重点：利用对称轴作轴对称图形。
学习难点：找对称点。
一、知识链接：
1、请同学们尝试解决以下问题；
如图（1），实线所构成的图形为已知图形，虚线为对称轴，请画出已知图形的轴对称图形。
问题：(1)你可以通过什么方法来验证你画的是否正确
(2)和其他同学比较一下，你的方法是最简单的吗
归纳：连接任意一对对称点的线段被对称轴____________
二、预习自测：
如图，已知点A和直线L，试画出点A关于直线L的对称点A′。
请说说你的画法 L
A·
三、探究点1：画已知图形的轴对称图形, 作△ABC关于直线L的对称的图形△A′B′C′
画法：
四.探究点2：找对称轴
已知△ABC，及点A的对称点A′，请作出对称轴直线l，并画出△ABC
关于直线l的对称图形。
A . A′
B
C
五、当堂检测：
1、小明在平面镜中看到身后墙上钟表显示的时间是12：15，这时的实际时间应该是 。
2、把下列图形补成关于对称的图形。
3、如图，△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线， AB=8，BC=4，∠A=36°，则
∠DBC=______，△BDC的周长L△BDC =______ ．
4、如图，ΔABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将ΔABD分为三个三角形，则S：S：S=______ .
5、如图，已知：AD平分，EF垂直平分AD，交BC延长线于F，连结AF。求证：。
反思小结：
13.2坐标系中的对称
学习目标：
1、掌握在平面直角坐标系中，关于x轴和y轴对称点的坐标特点。
2、能在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x轴和y轴的对称图形。
3、能运用坐标中的轴对称特点解决简单的问题。
学习重点：在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x轴和y轴的对称图形
学习难点：能运用坐标中的轴对称特点解决简单的问题。
一、温故知新
如图：（1）观察图（1）中两个圆脸有什么关系？
（2）若已知图（1）中圆脸右眼的坐标为（4，3），左眼
的坐标为（2，3），嘴角两个端点，右端点的坐标为（4，1），
左端点的坐标为（2，1）．你能根据轴对称的性质写出左边圆
脸上左眼，右眼及嘴角两端点的坐标吗？
二、自主探究 合作展示
探究（一）
在如图（2）所示平面直角坐标系内画出下列已知点以及对称点，并把坐标填在表格中，你能发现坐标间有什么规律？
已知点 A(2，－3) B（－1，2） C（－6，－5） D（0.5，1） E（4，0）
关于轴对称的点 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
关于轴对称的点 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2、归纳：点（，）关于轴对称的点的坐标是 ；
点（，）关于轴对称的点的坐标是
探究（三）
例题：如图(3)，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1），B（－2，1），C（－2，5），D（－5，4），分别作出四边形ABCD关于轴和轴对称的图形。(在教材中完成)
三、双基检测
1、分别写出下列各点关于轴和轴对称的点的坐标。
（-2，6） （1，-2） （-1，3） （-4，-2） （1，0）
关于轴对称的点
关于轴对称的点
2、已知点(2a+b,-3a)与点(8,b+2).
(1)若点与点关于轴对称，则a=_____;b=_______.(2)若点与点关于轴对称，则a=_____;b=_______.
3、平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0,4），
B（2,4），C（3，－1）.
（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；
（2）求△ABC的面积.
（3）若与△ABC关于x轴对称，
写出、、的坐标.
4、点M (a, -5)与点N(-2, b)关于y轴对称，则a=_____, b =_____.
5、已知点（x，4-y）与点（1-y，2x）关于y轴对称，则xy= ————————。
6、已知A、B两点的坐标分别是（－ ( http: / / www.21cnjy.com )2，3）和（2，3），则下面四个结论：①A、B关于x轴对称；②A、B关于y轴对称；③A、B关于原点对称；④若A、B之间的距离为4，其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7、已知A（－1，－2）和B（1，3），将点A向______平移________个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称．
四、课后反思：
13.3.1 等腰三角形（1）
一、学习目标
1、了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质。
2、运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题。
学习重点：等腰三角形的概念及性质。
学习难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用。
二、温故知新
1、下列图形不一定是轴对称图形的是（ ） A、圆 B、长方形 C、线段D、三角形
2、怎样的三角形是轴对称图形？答：
3、有两边相等的三角形叫 ，相等的两边叫 ，另一边叫 两腰的夹角叫 ，腰和底边的夹角叫
4、如图，在△ABC中，AB=AC，标出各部分名称
5、利用剪纸得到一个等腰三角形
三、自主探究 合作展示
（一）操作、实践：
取一等腰三角形纸片，照图折叠，找出其中重合的线段和角，填入下表：
A A A
B C D B（C） B D C（1） （2） （3）
重合的线段 重合的角
【问题1】根据上表你能得出哪些结论？并将你的结论与同学交流。
【问题2】你能利用三角形全等的知识证明以上结论吗？(要求:选择以教材不同的证明方法)
2、归纳等腰三角形的性质：
性质1 等腰三角形的两个 相等
（简写成“ ” ）
性质2 等腰三角形 、 、 互相重合。（三线合一）
（二）【新知应用】
例1.（1）等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角的度数是____________
（2）等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为____________.
（3）等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为
（4）. 已知一个等腰三角形两个内角的度数之比为1：4，则这
个等腰三角形顶角的度数为___________。
（5）. 等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为40o，则底角为___________ 。
例2：如图（2）所示，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．
四、双基检测
1、如图（3）所示，△ABC是等腰直角三角 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底边BC上的高，标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数，图中有哪些相等线段？
2、如图（4），在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．
3、如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证BD＝CE
五、学习反思
13.3.1 等腰三角形（2）
一、学习目标
1、理解等腰三角形的判定方法及应用。
2、通过对等腰三角形的判定方法的探索，体会探索学习的乐趣
学习重点：等腰三角形的判定方法及其应用
学习难点：等腰三角形的判定方法及其应用
二、温故知新
1、等腰三角形的两边长分别为6，8，则周长为
2、等腰三角形的周长为14，其中一边长为6，则另两边分别为
3、等腰三角形的一个角为70°，则另外两个角的度数是
4、等腰三角形的一个角为120°则另外两个角的度数是
三、自主探究 合作展示
（一）【思考】
（1）如图（1），位于在海 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
（2）我们把这个问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
已知：在△ABO中，∠A=∠B
求证：AO=AO(要求:选择以教材不同的证明方法)
证明：
【归纳】等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的
也相等（简写成 ）
跟踪训练：1.如图，AD∥BC，BD平分∠ABC． 求证：AB=AD．
2、如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，
证：OC=OD
（二）【新知应用】
1、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
请同学们完成下列问题
（1）、已知：如图（2）， 是△ABC的外角，∠1= ，AD∥
求证： ．
（2）、请同学们完整的写出解题过程
证明：
四、双基检测
1、如图（5），∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，分别计算∠1、∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形．
2、如图（6），把一张矩形的纸沿对角线折叠．重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
3.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作
EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F
求证：EF=EB+FC.
4、如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，求证△CEB是等腰三角形
五、学习反思
13.3.2 等边三角形（1）
一、学习目标
1理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法
2、能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题
学习重点：等边三角形判定定理的发现与证明
学习难点：等边三角形性质和判定的应用
二、温故知新
1、在△ABC中，AB=AC，
（1）如果∠A＝70°，则∠C＝_________，∠B＝___________；
（2）如果∠A＝90°，则∠B＝_________，∠C＝___________；
（3）如果∠A＝60°，则∠B＝_________，∠C＝___________。
2、在△ABC中，如果AB=AC=BC，则∠A＝_________，∠B＝___________，∠C＝_________。
3、____________________________的三角形是等边三角形，等边三角形是一种特殊的________三角形。
三、自主探究 合作展示
【问题】1、把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？
性质（1）边_____________________（2）角_____________________（3）三线合一
_____________________
如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，求证BE＝DC
2、一个三角形满足什么条件就是等边三角形？
3、你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？如果是请说明理由。
已知： A
求证：
证明：
B C
【新知应用】
例4：如图（1），△ABC是等 ( http: / / www.21cnjy.com )边三角形,DE ∥ BC,分别交AB、AC于点D,E．求证:△ADE是等边三角形．(要求:选择以教材不同的证明方法)
四、双基检测
1、已知：如图（5），△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD．
求证：DB=DE．
2.如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，
求证：△DEF是等边三角形
3. 如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，
求∠DBC的度数。
4、如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，
①求证：△BCE≌△ACD；
②求证：CF=CH；
③判断△CFH的形状并说明理由．
五、学习反思
12.3.2 等边三角形（2）
一、学习目标
1、证明直角三角形中有一个角为30°的性质．
2、有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．
学习重点：含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．
学习难点：1、含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．
2、引导学生全面、周到地思考问题．
二、温故知新（口答）
1、等边三角形三边 ，三个角都等于 ，
2、等边三角形是轴对称图形,它有 条对称轴，它的对称轴 。
三、自主探究 合作展示
探究（一）1、如图（1），将两个含有3 ( http: / / www.21cnjy.com )0°角的三角形放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
2、你能用所学的知识验证以上结论吗？
方法1：如图(2)，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于D，∠BAD= °,BD= BC= AB。
方法2：如图(3)，△ABC中，延长BC到D使BD=AB，连接AD，则△ABD是 三角形,BC= = 。
我们得到下面的性质定理：
________________________________________________________
几何语言： ∵∠C=90o，∠A=30o
∴BC= ( )
探究（二）
例题：如图（4）是屋架设计图的一部分， ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BC、DE要多长？
四、双基检测
1、等腰三角形中，一腰上的高与底边的夹角为30°，则此三角形中腰与底边的关系（ ）
A、腰大于底边 B、腰小于底边 C、腰等于底边 D、不能确定
2、在Rt△ABC中，∠C=90度，∠A=30°，CD⊥AB于点D，AB=8cm,则BC= ，
BD= ， AD=
3、如图（6）,在△ABC 中∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分线交BC于D,交AB于M,且BD=8㎝,求AC之长.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．
求CD
5、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．求证：BD=AB．
6、如图， △ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，
且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F
求证:BP=2PF
3、已知如图 ∠C= 90° ( http: / / www.21cnjy.com )，∠B=30° 把这个三角形分成大小、形状都相同的三个三角形你有哪些方法，在图上画出 A
B
五、反思总结： B C
13.4 最短路径问题（综合案）
学习目标：
体会利用作图解决最短路径问题
学习重点：体会利用作图解决最短路径问题
学习难点：体会利用作图解决最短路径问题
一、知识链接：
如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最
近？你的理由是什么？
两点在一条直线异侧：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在
L上求一点P，使得PA+PB最小。
探究一：（两点在直线的同侧）
问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供
牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．
。B
A 。
作法：
跟踪训练：1、要在河边修建一个水泵站， ( http: / / www.21cnjy.com )分别向张村、李庄送水（如图）。 修在河边什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置，并说明你的理由。
2、某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中 ( http: / / www.21cnjy.com )的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到D处座位上，，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
归纳：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短径的选择。
第十三章 轴对称复习
（一）认清目标，明确要求
本章的课程学习目标是：
1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质。
2.探索简单图形之间的轴对称关系， ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )能够按照要求作出简单图形经过一次或两次轴对称后的图形，认识和欣赏轴对称在现实生活中的应用，能应用轴对称进行简单的图案设计。
3.了解线段的垂直平分线的概念，探索并掌握其性质；了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，探索并掌握它们的性质以及判定方法。
4.能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间观念，激发学习兴趣。
（二）自主复习，盘点知识
基本概念
1.轴对称图形：
如果一个图形沿着一条直线 ，两侧的图 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )形能够 ，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做______。图形上能够重合的点叫 。
2.轴对称：
如果把一个图形沿着某一条直 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成 ，这条直线叫做 。两个图形中的对应点叫 。
3.轴对称的性质：
如果两个图形关于某条直线 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点连线段的 ，其中对应线段 ，对应角 。
1 、如图（1）， 下列图形是轴对称图形的有 （填序号）.
2、 如图(3)所示，已知△ABC和 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )直线MN.求作：△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于直线MN对称.（不要求写作法，只保留作图痕迹）
4.角的平分线的性质
（1）性质：角的平分线上的点到 的距离相等。
（2）判定：到角两边距离相等的点在 上。
5.线段垂直平分线的性质
(1)经过 的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫 。
(2)性质：线段垂直平分线上的点到 的距离相等。
（3）判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在 上。
(4)线段垂直平分线可以看作是 的集合。
3.如图)所示，AB=AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
求△BCE的周长.
4、某地有两所大学和两条相交叉 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的公路，如图（6）所示（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.（1）你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案；
（2）阐述你设计的理由.
6.用坐标表示对称
点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为 ;
点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为 ;
5、已知点A（m+2，3）、B（-5，n+6）关于y轴对称，则m= ，n= 。
6、（1）画出关于轴对称的（其中分别是的对应点，不写画法）；
（2）直接写出三点的坐标．
（3）△ABC的面积为
7.等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形是 图形，它的对称轴是 ，
（2）等腰三角形的两腰 。
（3）等腰三角形的两个底角 。简称： 。
（4）等腰三角形的“三线合一”是指 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) 。
8.等腰三角形的判定
(1)定义(边): .
(2)从角上: .(简称: )
7. 已知等腰三角形的一个内角是110°，求另外两个角的度数；
已知等腰三角形的一个内角是40°，求另外两个角的度数.
8、（1）如果等腰三角形的两边长分别是4cm，7cm，那么它的周长是 ；
（2）如果等腰三角形的两边长分别是5cm，10cm，则它的周长是 .
9.如图（1）所示，在△ABC中，AB=AC=CD，AD=DB，求∠BAC的度数.
9.等边三角形的性质：
（1）对称性： 。
（2）边： 。
（3）角： 。
（4）等边三角形的“三线合一”是指 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) 。
10. 等边三角形的判定
(1)定义(边): .
(2)从角上: .
(3)有一个角 的 是等边三角形.
10.如图(2)所示，B，C，D三点在一条直线上，△ABC和△ECD是等边三角形.求证BE=AD.
11.三角形三个内角平分线的交点到 距离相等。
12.三角形三边垂直平分线的交点到 距离相等。
13.在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于 的 。
(三)方法归纳
1、证明线段相等的方法：
（1）全等三角形 （2）角平分线性质定理 （3）线段垂直平分线性质定理 （4）等角对等边
2、证明角相等的方法：
（1）全等三角形 （2）平行线的性质 （3）余角（补角）的性质 （4）等边对等角
(三)、误区警示
1．注意分类讨论思想
在解决等腰三角形的边和角的问题时要注意分 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )类讨论,如等腰三角形的周长为20，有一边为8，这时就必须讨论所给的这条边是腰还是底;如已知等腰三角形一角度数求另外两个角的度数, 这时就必须讨论所给的这个角是顶角还是底角;再比如涉及三角形的高时，通常需要考虑高在三角形的外部还是内部。
2．应用“三线合一”性质作辅助线时，所作的辅助线不能同时满足两线的性质（如过点A作EF⊥BC,并使EF平分BC）。
3．不要认为：有一个角等于300，那么它所对的边就一定等于另一条边的一半，前提条件是在直角三角形中。
二、知识再现
11、如图所示，在△A ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )BC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，MN经过点O，若AB=12，AC=18，则△AMN的周长是( )
A.15 B.18 C.24 D.30
12、如图(5)所示，∠1=∠2，BD=CD，试证明△ABC是等腰三角形.
13、已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC.
O
如图(6)，若点O在边BC上，求证：AB=AC;
如图(7)，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC;
若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画图表示。
第十三章 轴对称复习练习题
一、填空题
1．已知等腰三角形的一个角为42 0，则它的底角度数_______．
2．下列10个汉字：林 上 下 目 ( http: / / www.21cnjy.com )王 田 天 王 显 吕，其中不是轴对称图形的是_______；有一条对称轴的是________；有两条对称轴的是_______；有四条对称轴的是________．
3.如图，镜子中号码的实际号码是___________．
4．等腰三角形的两边长分别是和，则其周长为______．
5. 在平面直角坐标系中，点P（－2，1）关于 y轴对称的点的坐标为___________，
点P（－2，1）关于 x轴对称的点的坐标为是___________．
6．如图，AB=AC，，AB的垂直平分线交BC于点D，那么___________
7、如图，的周长为32，且于，的周长为24，那么的长为___________．
8．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠FEM的度数为________．
9.如图，等腰三角形ABC中，AB=A ( http: / / www.21cnjy.com )C，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，则这个三角形的腰长及底边长为________________________．
二、选择题
1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点
2. 下列图形是轴对称图形的是（ ）
3．如图3，已知△ABC中，AC+BC= ( http: / / www.21cnjy.com )24，AO、BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M，则△CMN的周长为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．不确定
4．如图4所示,Rt△ABC中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )C=90°,AB的垂直平分线DE交BC于D，交AB于点E．当∠B=30°时，图中不一定相等的线段有（ ）
A．AC=AE=BE B．AD=BD C．CD=DE D．AC=BD
5．如图5，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于（ ）A．30o B．40o C．45o D．36o
6．如图6，等腰△ABC的周长为21，底边BC ＝ 5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
图5 图6
7．如图6，AB＝AC,BD＝BC，若∠A＝40°，则∠ABD的度数是（ ）
A． B． C． D．
8、在中， ，是的垂直平分线，交于点，交于点．已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
三、解答题
1．如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系.
画出四边形OABC关于y轴对称的四边形OA1B1C1，并写出点B1的坐标是______ .
2.如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，线段AB的两个端点都在格点上，直线MN经过坐标原点。
（1）写出点A的坐标________ , B的坐标________ .
（2）利用尺规作出线段AB关于直线MN的对称图形（保留作图痕迹，不写作法）。
3．如图，在等边中，点分别在边上，且，与交
于点．（1）求证：；（2）求的度数．
4．如图所示，∠BAC＝∠ABD,AC＝BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系,并给出证明．
5. 如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，CD是斜边AB上的高，CE是中线，求DE长。
6、如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC、CF，求证：CA是∠DCF的平分线。
7.已知：如图所示，在和中，，，，且点在一条直线上，连接分别为的中点．
求证：①；②是等腰三角形．
8、如图，在⊿ABC中，∠ABC和∠A ( http: / / www.21cnjy.com )CB的平分线交于点O，过O点作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，BE=5cm，CF=3cm，求EF的长．
9、已知：如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC=BD，BC，AD相交于点E．
(1) 求证：AE=BE；
(2) 若∠AEC=45°，AC=1，求CE的长．
10、已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF， AF相交于P，M．(1)求证：AB=CD；
(2)若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
(A)
(B)
(C)
(D)
图（1）
O
B
A
P3
P1
P2
图（1）
B
A
C
D
E
D
E
C
B
A
O
N·
M·
B
O
A
E
D
C
B
A
图（1）
第4题
第3题
图（1）
图（2）
图（3）
图（3）
图（1）
图（2）
图（3）
图（4）
图（1）
图（2）
图（5）
图（6）
A
C
B
F
E
O
图（1）
图（5）
B
A
C
D
图（1）
A
C
B
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图（2）
B
A
D
C
图（3）
图（4）
图（6）
M
C
B
D
A
M
D
B
C
A
P
F
E
D
C
B
A
①
②
③
B
C． 。.
D.． 。.
O
A
图（1）
图（3）
图（6）
y
1
2
O
1
-1
A
B
C
图（1）
图（2）
C
B
O
A
图（6）
C
B
A
O
图（7）
N
M
E
F
C
B
A
D
A
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B C
A
B
M
C
N
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图3
图4
A
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