2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程中是二元一次方程的是( )
A. B. C. D.
2. 一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的( )
A. 中位数 B. 加权平均数 C. 众数 D. 方差
3. 在数轴上表示不等式的解集正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是( )
A. 十边形 B. 九边形 C. 八边形 D. 七边形
5. 如表是某校数学兴趣小组成员的年龄分布，对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是( )
年龄岁
频数
A. 平均数、中位数 B. 平均数、众数 C. 众数、中位数 D. 中位数、方差
6. 如图，平分，、、分别是射线、射线、射线上的点，、、与点都不重合，连接、若添加下列条件中的某一个，就能使≌你认为要添加的那个条件是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
7. 本学期的五次数学测试中，甲、乙两同学的平均成绩一样，方差分别为，，则成绩更稳定的同学是______ ．
8. 不等式组的解集是______．
9. 已知，是方程的一个解，则的值是______．
10. 一组数据，，，，的平均数是，则的值是______ ．
11. 如图所示，点在一块直角三角板上其中，于点，于点，若，则______度．
12. 某班共有名学生，平均身高为，其中名男生的平均身高为，则名女生的平均身高为______ ．
13. 一个三角形的两边长分别为和，且第三条边长为整数，则第三条边长为______ ．
14. 如图，与的顶点、、、在同一条直线上，，，，，，则线段的长为______ ．
15. 公司招聘公关人员时，将笔试、面试成绩按照：的比确定，一面试人员的笔试成绩为分，面试成绩为分，则他的平均成绩为______ 分
16. 如图，在四边形中，，点是的中点，连接，，且平分，若四边形的面积为，，则线段的长为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
用代入法解方程组：
．
18. 本小题分
解下列不等式：．
19. 本小题分
如图，在的网格中的每个小正方形边长都是，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上．
请画出的高；
请在上选取一点，且点在格点上，连接，使的面积是面积的倍；
直接写出中的面积是______ ．
20. 本小题分
联合国规定每年的月日是“世界环境日”，为配合今年的“世界环境日”宣传活动，某校课外活动小组对全校学生开展了以“爱护环境，从我做起”为主题的问卷调查活动，将调查结果分析整理后，绘制成两幅不完整的统计图，其中：
：能将垃圾放到规定的地方，而且还会考虑垃圾的分类；：能将垃圾放到规定的地方，但不会考虑垃圾的分类；：偶尔会将垃圾放到规定的地方；：随手扔垃圾．
根据以上信息回答下列问题：
该校课外活动小组共调查了多少人？
请通过计算补全条形统计图；
如果该校共有学生人，请估计随手扔垃圾的学生有多少人？
21. 本小题分
在等式中，当时，；当时，．
求，的值；
当时，，求的值．
22. 本小题分
对于实数，，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如：，．
根据上面的材料回答下列问题：
填空： ______ ；
当时，求的取值范围．
23. 本小题分
如图，，都是的角平分线，交于点，其中．
求的度数；
求证：．
24. 本小题分
某经销商计划购进，两种农产品已知购进种农产品件，种农产品件，共需元；购进种农产品件，种农产品件，共需元．
，两种农产品每件的购进价格分别是多少元？
该经销商计划用不超过元购进，两种农产品共件，那么该经销商最少可以购进多少件种农产品？
25. 本小题分
已知：，都是锐角的高．
如图，求证：；
如图，延长至，使，连接，，过点作于点，在上取点，使，连接，求证：；
如图，在的条件下，过点作于点，若，，求线段的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：方程是二元一次方程，选项A符合题意；
B.方程是一元一次方程，选项B不符合题意；
C.方程是一元二次方程，选项C不符合题意；
D.方程是分式方程，选项D不符合题意．
故选：．
利用二元一次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程即可．
本题考查了二元一次方程的定义，牢记“含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，像这样的方程叫做二元一次方程”是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数，
故选：．
根据众数的定义可得答案．
本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数、中位数、加权平均数和方差的定义．
3.【答案】
【解析】解：不等式中包含等于号，
必须用实心圆点，
可排除、，
不等式中是大于等于，
折线应向右折，
可排除．
故选：．
根据在数轴上表示不等式解集的方法利用排除法进行解答．
本题考查的是在数轴上表示不等式解集的方法，即“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线．
4.【答案】
【解析】解：设这个多边形是边形，根据题意得：，
解得，
则这个多边形是九边形．
故选：．
设这个多边形是边形，就可以列出方程，即可解得的值．
本题考查了多边形内角和定理，熟练掌握边形的内角和可以表示成是解答本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：由表可知，年龄为岁与年龄为岁的频数和为，
则总人数为：人，
故该组数据的众数为岁，中位数为岁，
即对于不同的，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：．
由频数分布表可知后两组的频数和为，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第、个数据的平均数，可得答案．
本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：平分，
，
又，
若添加条件，则根据可得≌，故选项D符合题意，
而添加条件不能得到≌，故选项A不符合题意，
添加条件不能得到≌，故选项B不符合题意，
添加条件不能得到≌，故选项C不符合题意，
故选：．
由平分，得，由公共边，可知添加条件，即可根据得≌，可得答案．
本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7.【答案】甲
【解析】解：，，
，
甲、乙两位同学成绩较稳定的是甲同学，
故答案为：甲．
根据方差的意义：方差越小，它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此求解可得．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则它与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
8.【答案】
【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
所以不等式组的解集是．
故答案为：．
分别解每一个不等式，再求解集的公共部分．
本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若大于较小的数、小于较大的数，那么解集为介于两数之间．
9.【答案】
【解析】解：把，代入方程，
得，
解得．
故答案为．
分析：
知道了方程的解，可以把这组解代入方程，得到一个含有未知数的一元一次方程，从而可以求出的值．
本题考查了二元一次方程的解的定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数为未知数的方程．
10.【答案】
【解析】解：一组数据，，，，的平均数是，
，
解得，
故答案为：．
根据题意和算术平均数的含义，可以计算出的值．
本题考查算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定直角三角形全等特有的方法是解题的关键．根据，，可知，从而可证≌，根据全等三角形的性质可得，即可求出的度数．
【解答】
解：，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．
故答案为．
12.【答案】
【解析】解：某班共有名学生，其中名男生，名女生，平均身高为；设女生的平均身高为有：，解可得．
故答案为．
根据平均数的公式求解即可．用名身高的总和减去名男生身高的和除以即可．
本题考查的是样本平均数的求法及运用，即平均数公式：．
13.【答案】或
【解析】解：由三角形三边关系，设第三条边长为，可得：，
即，
第三条边长为整数，
第三条边长为或，
故答案为：或．
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合整数直接求解即可得到答案．
本题考查三角形三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．
故答案为：．
先证明≌，得出，再求出，即可得出．
本题考查了全等三角形的判定与性质，证明≌是解决问题的关键．
15.【答案】
【解析】解：由题意可得，他的平均成绩为分．
故答案为：．
根据平均成绩笔试成绩笔试成绩所占比例面试成绩面试成绩所占比例，即可求出答案．
本题考查了加权平均数，牢记加权平均数的定义是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，
，平分，
，
是的中点，
，
，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
的面积的面积，
同理可证：≌，
的面积的面积，
的面积四边形的面积，
，
，
，
线段的长为．
故答案为：．
过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明平分，可得，然后证明≌，得的面积的面积，同理可证：≌，得的面积的面积，所以的面积四边形的面积，进而可以解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线．
17.【答案】解：，
由得：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
故原方程组的解是：．
【解析】利用代入消元法进行求解即可．
本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
18.【答案】解：，
，
，
，
，
．
【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
19.【答案】
【解析】解：如下图：
即为所求；
点即为所求；
的面积为：，
故答案为：．
根据网格线的特点和三角形高的定义作图；
根据网格线的特点解和三角形的面积公式求解；
根据勾股定理和三角形的面积公式求解．
本题考查了作图的应用和设计，掌握网格线的特点、勾股定理的性质、三角形的面积公式是解题的关键．
20.【答案】解：由统计图可知种情况的有人，占总人数的，所以调查的总人数为：人，
答：该校课外活动小组共调查了人；
种情况的人数为人，
补全条形统计图如下：
人，
答：估计随手扔垃圾的学生大约有人．
【解析】由条形统计图知，种情况的有人，由扇形统计图可知，种情况的占总人数的，从而求出该校课外活动小组共调查的总人数．由统计图可求得种情况的人数，进而补全条形统计图；
用样本估计总体可得答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21.【答案】解：在等式中，当时，；当时，，
，
解得：；
由可得：，
当时，，
，
解得：．
【解析】根据题意得出关于，的二元一次方程组，解方程组即可；
把相应的值代入等式中运算即可．
本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
22.【答案】
【解析】解：，
，
故答案为：；
，
，
即，
则，
解得：．
根据定义比较与的大小即可求得答案；
根据定义可得，解得的取值范围即可．
本题考查新定义及实数的大小比较，中由新定义列得是解题的关键．
23.【答案】解：，
，
，分别是和的角平分线，
，
；
证明：如图，在上截取，连接，
，
．
，，，
≌，
，
，，
，，，
≌，
，
．
【解析】首先利用三角形内角和定理求出的度数，结合角平分线的定义得到的度数；再次利用三角形内角和定理可求出的度数；
结合根据平角定义得到在上截取，连接，利用“”可证得与全等，则，；再利用“”可证得与全等，则，至此即可证得结论．
本题考查的是全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，得到≌是解题的关键．
24.【答案】解：设种农产品每件的购进价格是元，种农产品每件的购进价格是元，
根据题意得：，
解得：．
答：种农产品每件的购进价格是元，种农产品每件的购进价格是元；
设该经销商购进件种农产品，则购进件种农产品，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为．
答：该经销商最少可以购进件种农产品．
【解析】设种农产品每件的购进价格是元，种农产品每件的购进价格是元，根据“购进种农产品件，种农产品件，共需元；购进种农产品件，种农产品件，共需元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设该经销商购进件种农产品，则购进件种农产品，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】证明：如图，设与相交于点，
，，
，
，
，
解：如图，
，，
，
，，
≌，
．
解：如图，连接，．
≌，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
、、、四点共圆，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
设，则，，，在中，，
，
或舍掉，
．
【解析】要证，左边为两角相加，考虑外角；
证明≌即可；
由可得是等腰直角三角形，，在直角中，考虑勾股定理和方程思想，对于条件，转化成某条线段的长度．
此题考查了三角形的性质、三角形全等、解直角三角形、四点共圆、圆的性质、方程思想、转化思想，综合性强，难度性大，尤其第三问，这个条件转化成是关键．
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