2022-2023学年天津市部分区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年天津市部分区高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共9小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在各散点图中，两个变量具有正相关关系的是( )
A. B.
C. D.
2. 设全集，，则( )
A. B. C. D.
3. 在研究成对数据的统计相关性时下列说法错误的是( )
A. 样本相关系数为则越大，成对样本数据的线性相关程度越强
B. 用最小二乘法得到的经验回归方程一定经过样本点中心
C. 用相关指数来刻画模型的拟合效果时，若越小，则相应模型的拟合效果越好
D. 用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好
4. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优的概率是，连续两天的空气质量为优的概率是已知某天的空气质量为优，则随后一天的空气质量为优的概率是( )
A. B. C. D.
7. 从，，，，五个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8. 已知每门大炮击中目标的概率都是，现有门大炮同时对某一目标各射击一次记恰好击中目标次的概率为；若击中目标记分，记门大炮总得分的期望值为，则，的值分别为( )
A. B. C. D.
9. 已知函数，，若恰有个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
10. 曲线在点处的切线方程为 ．
11. 在代数式的展开式中，常数项为 ．
12. 若随机变量，，则 ______ ．
13. 某单位有，两个食堂，小李周一随机选择一个食堂用餐如果周一去食堂，那么周二去食堂的概率为；如果周一去食堂，那么周二去食堂的概率为小李周二去食堂的概率为______ ．
14. 已知，若，，则 ， ．
15. 已知函数，则 ______ ；若，不等式恒成立，则实数的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
已知函数，且的图象经过点．
求的值；
求在区间上的最大值；
若函数，求证：在区间内存在零点．
17. 本小题分
网购是现代年轻人重要的购物方式，截止：年月，我国网络购物用户规模达亿，较年月增长万，占网民整体的某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额单位：万元与时间第年进行了统计得如下数据：
依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与的关系？请计算相关系数并加以说明计算结果精确到若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合
试用最小二乘法求出利润与时间的回归方程，并预测当时的利润额．
附：，，．
参考数据：，，，．
18. 本小题分
为加强素质教育，提升学生综合素养，某中学为高一年级提供了“书法“和“剪纸”两门选修课为了了解选择“书法”或“剪纸“是否与性别有关，调查了高一年级名学生的选择倾向，随机抽取了人，统计选择两门课程人数如表：
选书法 选剪纸 合计
男生
女生
合计
请将上面列联表补充完整；
是否有的把握认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关？
附：，其中．
19. 本小题分
端午节吃粽子是我国的传统习俗，一盘中有个粽子，其中豆沙粽个，蜜枣粽个，这两种粽子的外观完全相同，从中随机取出个．
求既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率；
设表示取到豆沙粽的个数，求随机变量的分布列与数学期望．
20. 本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
设为的导函数，讨论在区间上的单调性；
证明：对任意的，，有．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项为：
对于、是相关关系，但不是正相关关系，不符合题意；
对于、是相关关系，也是正相关关系，符合题意；
对于、是相关关系，是负相关关系，不符合题意；
对于、所示的散点图中，样本点不成带状分布，这两个变量不具有线性相关关系，不符合题意．
故选：．
根据散点图中样本点成带状分布，判断这两个变量具有线性相关关系，正相关关系的散点图是从左下角向右上角变化．
本题考查了散点图的应用问题，也考查了线性相关的判断问题，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：全集，，，
，
则，
故选：．
由全集及，求出的补集，找出补集与的交集即可．
此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：样本相关系数为，则越大，成对样本数据的线性相关程度越强，故A正确；
用最小二乘法得到的经验回归方程一定经过样本点中心，故B正确；
用相关指数来刻画模型的拟合效果时，若越小，表示残差平方和越大，则相应模型的拟合效果越差，故C错误；
根据残差平方和的计算公式可知，残差平方和越小的模型拟合效果越好，故D正确．
故选：．
根据相关系数的大小与线性相关强弱的关系可判断；根据回归直线过样本中心点可判断；根据残差平方和的意义和相关指数的意义可判断，．
本题考查了线性回归，相关系数，决定系数的意义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：对于项：常值函数求导，，所以错；
对于项：指数函数求导，，所以错；
对于项：幂函数求导，，所以错；
对于项：对数函数求导，，所以D正确．
故选：．
利用基本初等函数求导公式判断即可．
本题主要考查基本初等函数求导公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由，可得，
由可得，，
故“”是“”的充要条件，
故选：．
解不等式，根据充要条件的定义即可判断．
本题考查了充要条件的判断，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：设某天的空气质量为优的事件是，随后一天的空气质量为优的事件是，
则，，
若某天的空气质量为优，则随后一天的空气质量为优的概率为：．
故选：．
利用条件概率公式能求出结果．
本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：先从个偶数中选出个，再从个奇数中选出个，先选后排，
共有个．
故选：．
先选后排，计算出结果．
本题考查排列组合的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：设门大炮击中目标的次数为，则根据题意可得，
门大炮总得分的期望值为，
，
故选：．
根据二项分布的期望及概率，即可分别求解．
本题考查二项分布的期望与概率，属基础题．
9.【答案】
【解析】解：恰有个零点，则有，即，
故函数的图象与直线有个交点，
画出函数图象，如图，
平移直线，
可以看出当，即时，直线与函数的图象有个交点．
故选：．
题目转化为函数的图象与直线有个交点，画出图象，根据图象知，解得答案．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出函数在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】
解：，，
当时，，
曲线在点处的切线方程为．
故答案为．

11.【答案】
【解析】解：的展开式的通项为：，
令，解得，所以，的展开式中的常数项为．
故答案为：．
写出二项式定理的通项，化简后，使得的指数幂为，即可求得的值．
本题主要考查二项式定理，二项展开式的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为随机变量，，
由二项分布的期望的性质可知，，
所以，
即，
所以，
故答案为：．
首先根据二项分布的期望公式求解的值，然后代入二项分布的方差公式计算可得结果．
本题主要考查了二项分布的期望与方差的计算，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：设“周一去食堂”，“周一去食堂”，“周二去食堂”，
则，，，
由全概率公式得．
故答案为：．
利用全概率公式求解即可．
本题主要考查了全概率公式，属于基础题．
14.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查对数的运算性质，以及换元法在解方程中的应用，属于拔高题．
设并由条件求出的范围，代入化简后求出的值，得到与的关系式代入化简后列出方程，求出、的值．
【解答】
解：设，由知，
代入得，
即，解得或舍去，
所以，即，
因为，所以，则，
解得，，
故答案为；．

15.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以；
因为，
因为在上单调递增，
所以在上单调递减，
所以在上单调递增，
又因为不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
由双勾函数的性质可知，时，取等号，
所以，
即的取值范围为．
故答案为：；．
根据指数的运算即可得第一空答案；先判断出在上单调递增，再将原不等式转化为在上恒成立，结合双勾函数的性质求解即可．
本题考查了指数的基本运算、转化思想、双勾函数的性质，属于中档题．
16.【答案】解：因为函数，且的图象经过点．
所以，
所以．
因为，
所以，
所以在区间上单调递减，
所以在区间上的最大值是，
所以在区间上的最大值是．
证明：因为，
所以，
因为，，
所以，
又在区间上的图象是一条连续的曲线，
由零点存在性定理可得：在区间内存在零点．
【解析】将点代入解析式可得；
根据函数单调性求解最大值；
根据零点存在性定理结合条件即得．
本题考查指数函数的图象及性质，考查函数零点存在定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：由图表，，，
，，，
所以：，
故与的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合．
，
，
所以，
时，，
测该专营店在时的利润为万元．
【解析】先利用公式计算出相关系数，再按要求进行比较，进而得到结果；
先利用公式求得，得到利润与时间的回归方程，进而预测当时的利润额．
本题本题考查线性回归方程的求法，考查线性回归方程的运用，是中档题．
18.【答案】解：根据题意，一共抽取了人，补全列联表如下，
选书法 选剪纸 共计
男生
女生
共计
根据列联表数据，
，
所以有的把握认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关．
【解析】根据题意与表中数据即可完成列联表；
根据公式求出，再对照临界值表，即可得出结论．
本题主要考查独立性检验公式，属于基础题．
19.【答案】解：由题意得既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率为．
由题意得随机变量的可能取值为，，，
则，，，
则的分布列如下：
故．
【解析】根据古典概型以及组合数的计算，即可得出答案；
根据超几何分布的知识求得的分布列，即可得出答案．
本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查转化思想，考查运算能力和逻辑推理能力，属于中档题．
20.【答案】解：，即切点坐标为，
又，
切线斜率，
切线方程为：；
因为，
所以，
令，
则，
在上单调递增，，
在上恒成立，在上单调递增；
证明：原不等式等价于，
令，，即证，
，
，
由知在上单调递增，
，，
在上单调递增，又因为，，
，所以命题得证．
【解析】先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；
求的导数，在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；
令，，即证，由第二问结论可知在上单调递增，即得证．
本题主要考查利用导函数研究函数切线，及证明函数不等式，属于较难题目．
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