2022-2023学年山东省济宁市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省济宁市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，则( )
A. B. C. D.
2. 命题“”的否定是( )
A. B.
C. ， D. ，
3. 已知幂函数在上单调递减，则( )
A. B. C. D. 或
4. 设是数列的前项和，已知且，则( )
A. B. C. D.
5. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则( )
A. B. C. D.
6. ““是“函数在区间上单调递增”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知甲袋中装有个红球，个白球，乙袋中装有个红球，个白球，先从甲袋中任取球放入乙袋中，再从乙袋中任取出球，若取出的是红球的概率为，则从甲袋中任取一个球，取出的是红球的概率为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数的定义域为，，都有，函数且为奇函数，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列结论中正确的是( )
A. 样本相关系数的绝对值越接近，则成对样本数据的线性相关程度越强
B. 样本相关系数的绝对值越接近，则成对样本数据的线性相关程度越弱
C. 已知变量，具有线性相关关系，在获取的成对样本数据，，，中，，，，和，，，的均值分别为和，则点必在其经验回归直线上
D. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越宽，说明模型的拟合效果越好
10. 甲、乙、丙、丁、戊名同学站成一排参加演出，下列说法中正确的是( )
A. 若甲不在正中间，则不同的排列方式共有种
B. 若甲、乙、丙三人互不相邻，则不同的排列方式共有种
C. 若甲、丙、丁从左到右的顺序一定，则不同的排列方式共有种
D. 若甲不在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有种
11. 已知，，则下列条件中可以使得的最小值为的是( )
A. B.
C. D.
12. 已知函数，，则下列说法中正确的是( )
A. B. 函数与函数有相同的最大值
C. D. 方程有且仅有一个实数根
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某次数学考试中，学生成绩，若，则 ______ ．
14. 的展开式中，常数项是______ ．
15. 已知函数则 ______ ．
16. 如图，抛物线上任意两点连接所得的弦与抛物线围成一个弓形区域，求抛物线弓形区域的面积是古希腊数学家阿基米德最优美的成果之一，阿基米德的计算方法是：将弓形区域分割成无数个三角形，然后将所有三角形的面积加起来就可以得到弓形区域的面积第一次分割，如图，在弓形区域里以为底边分割出一个三角形，确保过顶点的抛物线的切线与底边平行，称为一级三角形；第二次分割，如图，以两个边，为底边，在第一次分割得到的两个弓形区域继续分割出两个三角形，，确保过顶点，的抛物线的切线分别与，平行，，，都称为二级三角形；重复上述方法，继续分割新产生的弓形区域，借助抛物线几何性质，阿基米德计算得出任意一级的所有三角形的面积都相等，且每个三角形的面积都是其上一级的一个三角形面积的设抛物线的方程为，直线的方程为，请你根据上述阿基米德的计算方法，求经过次分割后得到的所有三角形面积之和为______ ．
图 图 图
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知等差数列的前项和为，，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
18. 本小题分
为研究在校学生每天玩手机时间是否大于小时和学生近视之间的关联性，某视力研究机构采取简单随机抽样的方法，调查了名在校学生，得到成对样本观测数据，样本中有的学生近视，有的学生每天玩手机超过小时，而每天玩手机超过小时的学生近视率为．
根据上述成对样本观测数据，完成如表列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析每天玩手机时间是否超过小时会不会影响视力．
每天玩手机时间 视力情况 合计
近视 不近视
超过小时 _____ _____ _____
不足小时 _____ _____ _____
合计 _____ _____
从近视的学生中随机抽取人，其中每天玩手机时间超过小时的人，不超过小时的人，现从人中随机选出人，设人中每天玩手机时间超过小时的学生人数为，求随机变量的分布列．
参考公式：
参考数据；如表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．
19. 本小题分
已知函数．
若函数为偶函数，求的值；
当时，若函数在上的最小值为，求的值．
20. 本小题分
已知函数．
若是函数的极值点，求的值；
若函数有两个零点，求的取值范围．
21. 本小题分
甲乙两名同学玩“猜硬币，向前进”的游戏，规则是：每一局抛一次硬市，甲乙双方各猜一个结果，要求双方猜的结果不能相同，猜对的一方前进步，猜错的一方后退步，游戏共进行局，规定游戏开始时甲乙初始位置一样．
当时，设游戏结束时甲与乙的步数差为，求随机变量的分布列；
游戏结束时，设甲与乙的步数差为，求，结果用表示．
22. 本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
设函数，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意可得：
，，
故选：．
先化简再运算，即可求解．
本题考查集合的基本运算，属基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“”的否定是：，．
故选：．
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：幂函数在上单调递减，
，
解得．
故选：．
利用幂函数的定义和性质直接求解．
本题考查幂函数的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：由可知当时有，
二式相减得，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以．
故选：．
由推出与之间的关系从而得出数列的通项公式．
本题主要考查等比数列相关性质，属中档题．
5.【答案】
【解析】解：由，得，
，
曲线在点处的切线与直线垂直，
，可得．
故选：．
求出原函数的导函数，得到函数在时的导数值，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解值．
本题考查导数的几何意义及应用，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：由于是递减函数，所以若函数在区间上单调递增，
则随着的增大而减小，即，令，得，
综上所述，的取值范围为，
所以““是“函数在区间上单调递增”的必要条件，
若小于，则不一定有函数在区间上单调递增，比如，函数就取不到，所以““是“函数在区间上单调递增”的不充分条件，
所以““是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件．
故选：．
由于是递减函数，所以若函数在区间上单调递增，则必小于，反之若小于，不一定有函数在区间上单调递增，函数的定义域可能达不到．
本题主要考查对数函数的定义域和增减性，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：先从甲袋中任取球放入乙袋，有两种情况，
第一种，抽到红球放入，最后取出红球的概率为：，
第二种，未抽到红球放入，最后抽到红球的概率为：，
又，可得，
则从甲袋中任取一个球，取出的是红球的概率为．
故选：．
根据概率的可加原则，分别计算两种情况的概率，找到、的关系，然后求解即可．
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为函数的定义域为，，都有，
假设，则，
所以，，
所以在上单调递减，
又因为为奇函数，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
所以，
解得．
故选：．
由题意可得在上单调递减，由为奇函数，可得，将原不等式转化为，则有，求解即可．
本题考查了函数的奇偶性、单调性、转化思想及一元二次不等式的解法，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于选项A，，由样本相关系数的定义可知，的绝对值越接近于时，样本数据线性相关程度越强，反之亦然，故A，B正确；
根据线性回归方程的性质，中心点必在其经验回归直线上，故C正确；
在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明拟合效果越好，故D错误．
故选：．
根据相关系数的定义，线性回归方程的性质以及残差的定义可解．
本题考查相关系数的定义，线性回归方程的性质以及残差的定义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，若甲不在正中间，甲有个位置可选，剩下人全排列，有种情况，则有种排列方式，A正确；
对于，先排好其他人，排好后有个空位，在其中安排甲、乙、丙三人，有种排列方式，B错误；
对于，在个位置中，任选个，按从左到右的顺序安排甲、乙、丙三人，再将剩下的人全排列，有种排列方式，C正确；
对于，丙和丁相邻，把丙和丁捆绑在一起，个人任意排列，有种排法，
其中甲站在两端的情况有种排法，
甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有种，D正确．
故选：．
根据题意，由排列组合数公式依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，由，，可得，
即，当且仅当时等号成立，
所以此时的最小值为，A错误；
对于，由，，可得，
即，当且仅当时等号成立，
所以此时的最小值为，B正确；
对于，由，，可得，
即，即，当且仅当时等号成立，C正确；
对于，由，，可得，
所以有，
即，即，即，当且仅当时等号成立，
所以此时的最大值为，D错误．
故选：．
结合基本不等式对各选项进行分析即可．
本题主要考查基本不等式，对各式进行适当的变形是解决本题的关键，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：已知，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
又，
所以，故选项A错误；
易知当时，函数取得极大值也是最大值，最大值，
已知，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值，
作出函数图象如下所示：
因为，
所以函数与函数有相同的最大值，故选项B正确；
若，
此时，
即，
易知当时，函数单调递减，
因为，
所以成立，
则，故选项C正确；
由图象知函数与的图象在上有且仅有一个交点，
当时，不妨设，
即，
易知当时，函数单调递减，且恒成立，
所以在上恒成立，
综上，方程有且仅有一个实数根，故选项D正确．
故选：．
由题意，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性，结合对数的运算性质即可判断选项A；对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和最值，结合函数的最值进行比较即可判断选项B；结合对数的运算性质将转化成，根据函数的单调性以及即可判断选项C；作出函数图象，利用数形结合可知函数与的图象在上有且仅有一个交点，再证当时，恒成立，进而即可判断选项D．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值以及函数零点问题，考查了逻辑推理、转化思想、数形结合和运算能力．
13.【答案】
【解析】解：因为某次数学考试中，学生成绩，
则，即曲线关于对称，
又，
则．
故答案为：．
根据正态分布曲线的对称性可解．
本题考查正态分布曲线的对称性，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：二项式的展开式的通项公式为
．
令的幂指数，解得，
展开式中的常数项为：
．
故答案为：．
写出二项式展开式的通项公式，令的指数等于求得的值，再求展开式中的常数项．
本题主要考查了二项式定理的应用问题，利用二项式展开式的通项公式求常数项，是中档题．
15.【答案】
【解析】解：函数
．
故答案为：．
由函数的周期性推导出，由此能求出结果．
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：，，
设与直线平行的抛物线的切线的切点为，
则，解得，所以，
所以点到直线的距离为，
由，解得或，
所以，
所以，
根据规律，每一级三角形的个数是上一级个数的倍，
每一级三角形的面积是上一级的面积的，
则每一级三角形的面积，
故经过次分割后得到的所有三角形面积之和为：
．
故答案为：．
理解新定义的概念，先找到一级三角形的面积，再根据三角形面积的数量关系判定每一级三角形的面积构成等比数列，利用等比数列求和进行计算．
本题考查了数列新定义，考查了直线与抛物线的位置关系的应用，属于中档题．
17.【答案】解：由题意，设等差数列的公差为，
则，
化简整理，得，
解得，
，．
由可得，，
则
．
【解析】先设等差数列的公差为，再根据题干已知条件列出关于首项与公差的方程组，解出与的值，即可计算出等差数列的通项公式；
先根据第题的结果计算出数列的通项公式，再运用分组求和法，以及等差数列与等比数列的求和公式即可计算出前项和．
本题主要考查等差数列的基本运算，以及数列求和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，分组求和法，等差数列与等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
18.【答案】解：列联表如下：
每天玩手机时间 视力情况 合计
近视 不近视
超过小时
不足小时
合计
零假设为：长时间每天超过小时玩手机与视力情况无关联，
易知，
根据小概率值的独立性检验，
我们推断不成立，
即认为长时间每天超过时玩手机与视力情况有关联，此推断犯错误的概率不大于；
若从近视的学生中随机抽取人，其中每天玩手机时间超过小时的人，不超过小时的人，现从人中随机选出人，
则的所有取值为，，，
此时，，，
则的分布列为：

【解析】由题意，列出列联表，零假设为：长时间每天超过小时玩手机与视力情况无关联，代入公式中求出的值，将其与临界值比较，进而即可求解；
根据题目所给信息得到的所有取值，求出相对应的概率，进而即可求解．
本题考查离散型随机变量分布列以及独立性检验，考查了数据分析和运算能力．
19.【答案】解：因为函数为偶函数，
所以，
所以，，对成立，
所以；
当时，，
当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，
又，，
所以，解得，
当时，在内单调递增，
所以，解得舍，
综上：．
【解析】由为偶函数，直接求解即可．
先分段讨论，找出，讨论函数的单调性，由此找到最小值，再根据最小值为求解即可．
本题考查了偶函数的性质、二次函数的性质及分类讨论思想，属于基础题．
20.【答案】解：，
因为是函数的极值点，
所以，即，
所以或，
又，
所以，
当时，，
令得舍去或，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以是的极值点，符合题意．
，，，
令得舍去或，
所在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以，
若函数有两个零点，则，
解得，
所以的取值范围为
【解析】求导得，由是函数的极值点，得，解得，再检验是否在处取得极值．
求导分析单调性，极值，可得，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
21.【答案】解：易知当时，的所有取值为，，，，
此时，，，，
则的分布列为：
设在局游戏结束时，甲共猜对了次，
此时，
易知甲与乙的步数差，
则，
．
【解析】由题意，得到的所有取值，根据二项分布的概率公式求出相对应的概率，进而即可求解；
设在局游戏结束时，甲共猜对了次，此时，得到甲与乙的步数差的表达式，利用二项分布的期望与方差公式进行求解即可．
本题考查二项分布及其应用，考查了逻辑推理和运算能力．
22.【答案】解：已知，函数定义域为，
可得，
若，，
此时函数在上单调递减；
若，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
综上，当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
已知，函数定义域为，
若对任意，不等式恒成立，
即对任意，恒成立，
不妨设，函数定义域为，
可得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
又，，
所以存在两个实根，，
且，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数存在两个极小值点为，，
易知是的根，
所以，
即，
此时函数一个极小值
，
同理，函数的另一个极小值，
所以函数的最小值为，
故当时，任意，不等式恒成立．
【解析】由题意，对函数进行求导，分别讨论当和这两种情况，结合导数的几何意义进行求解即可；
将问题转化成对任意，恒成立，构造函数，此时问题转化成函数最值问题，对函数进行求导，利用导数的几何意义以及零点存在性定理进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
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