2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 记复数的共轭复数为，则在复平面内所对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 在含有个白球，个黑球它们除颜色外，其余均相同的箱子里不放回地抽取个球，恰好一个为黑球的概率为( )
A. B. C. D.
3. 的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
4. 随机变量的分布列如表，则的值为( )
A. B. C. D.
5. 已知正四棱锥的底面边长和侧棱长都为，则该四棱锥的表面积为( )
A. B. C. D.
6. 已知，则( )
A. B. C. D.
7. 山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外据统计，烟台苹果把苹果近似看成球体的直径单位：服从正态分布，则估计苹果直径在内的概率为( )
附：若，则，
A. B. C. D.
8. 已知的值域为，则的取值范围是( )
A. B. C. ， D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 某种产品的价格单位：元与需求量单位：之间的对应数据如表所示：
数据表中的数据可得回归直线方程为，则以下结论正确的是( )
A. 变量与呈负相关
B. 回归直线经过点
C.
D. 该产品价格为元时，日需求量大约为
10. 在中，下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则定为等腰三角形
C. 若，则定为直角三角形
D. 若三角形的三边的比是：：，则此三角形的最大角为钝角
11. 二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
12. 已知函数的值域为集合，函数的定义域为，则下列说法正确的是( )
A. 或
B.
C. “是“的充分不必要条件
D. 函数的增区间是
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知，，且，则的最小值为______．
14. 为了贯彻落实党史学习教育成果，某校名师“学史力行”送教井冈山中学现有理科语文、数学、英语、物理、化学、生物名理科老师要安排在该中学理科到班上一节公开示范课，每个班级只安排一名老师上课且每个老师只在一个班上一节课，要求数学老师不能安排在班，化学老师不能安排在班，则不同的安排上课的方法数为______ ．
15. 已知函数为偶函数，则 ．
16. 记，则 ______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
化简与计算：．
18. 本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求角；
若，，求，．
19. 本小题分
常言说“病从口入”，其实手才是罪魁祸首，它担任了病菌与口之间的运输工具．洗手是预防传染病最简便有效的措施之一，保持手的清洁卫生可以有效降低感染新型冠状病毒的风险．正确的洗手应遵循“七步洗手法”，精简为一句话就是“内外夹弓大立腕”，每一个字代表一个步骤．某学校在开学复课前为了解学生对“七步洗手法”的掌握程度，随机抽取名学生进行网上测试，满分分，具体得分情况的频率分布表如下：
得分
女生
男生
现以分为界限，将学生“七步洗手法”的掌握程度分为两类，得分低于分的学生为“未能掌握”，得分不低于分的学生为“基本掌握”．
完成下面列联表，并判断是否有的把握认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关？
未能掌握 基本掌握 合计
女生
男生
合计
从参与网上测试且得分不低于分的学生中，按照性别以分层抽样的方法抽取名同学，在人中随机抽取人，记抽到女生的人数为，求的分布列与期望．
附：．
临界值表：
20. 本小题分
如图，四棱锥中，底面是梯形，，，是等边三角形，是棱的中点，，．
Ⅰ证明：平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
21. 本小题分
已知函数．
求的对称中心；
求的最小正周期和单调递增区间；
若，求的最小值及取得最小值时对应的的取值．
22. 本小题分
已知定义在上的函数满足：对任意的，，都有；当且仅当时，成立．
求；
用定义证明的单调性；
若对使得不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
则，
故所求的点为，位于第四象限．
故选：．
首先根据复数代数形式的乘法化简复数，即可得到其共轭复数，再根据复数的几何意义判断即可；
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：在含有个白球，个黑球它们除颜色外，其余均相同的箱子里不放回地抽取个球共有种，
恰好一个为黑球的的取法有，
故恰好一个为黑球的概率为．
故选：．
先求总的取法数，再求出恰好一个黑球的取法数，可求恰好一个为黑球的概率．
本题考查古典概型的概率，属基础题．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，是基础题．
求出展开式的通项公式，令的次数等于求出的值即可．
【解答】
解：展开式的通项，
由，可得．
含项的系数为．
故选A．

4.【答案】
【解析】解：由题意得，解得，
，
．
故选：．
根据期望公式求，利用期望性质，即可得出答案．
本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：依题意，正四棱锥的底面正方形面积为，四个侧面是全等的正三角形，每个正三角形面积为，
所以四棱锥的表面积为，
故选：．
根据给定条件，求出正四棱锥的底面及各侧面面积计算作答．
本题主要考查了正四棱锥的结构特征，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，
则．
故选：．
利用弦化切可求得所求代数式的值．
本题主要考查三角函数的同角公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由知，，
所以
．
故选：．
根据正态分布的对称性求解可得．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：的值域为，
．
或．
或．
故选：．
根据函数的值域列出不等式，将看出整体，通过解二次不等式求出，利用指数函数的单调性求出的范围．
本题考查二次不等式的解法、利用指数函数的单调性解指数不等式．
9.【答案】
【解析】解：，，
所以回归直线经过点，故B选项正确，
将点代入，得，所以变量与呈负相关，故A、选项正确，
当产品价格为元时，代入得，所以日需求量大约为，故D选项错误．
故选：．
根据线性回归方程经过样本中心，可解得，可判断，，由回归方程做预测，即可判断．
本题考查了线性回归方程的求解与应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查解三角形及其三角恒等变换等知识，考查逻辑推理和数学运算的核心素养，属于中档题．
，根据正弦定理结合大角对大边可得结论；，根据诱导公式及三角函数图象与性质可得结论；，根据正弦定理、诱导公式、正弦和角公式可得结论；，设出三边的长度，利用余弦定理即可求出最大角．
【解答】
解：对于选项，由正弦定理结合大角对大边得
，
故A选项正确；
对于选项，由于，
由于，是三角形的内角，
所以或，即或，
因此可能为等腰三角形或直角三角形，
故B选项不正确；
对于选项，由以及正弦定理得
，
即；
所以，
由于，所以，所以，
故定为直角三角形，
故C选项正确；
对于选项，的三边之比为：：，
设三边长依次为，，，其中；
设最大角是，由余弦定理知，
，
，
．
故D选项正确．
故选：．

11.【答案】
【解析】解：由图象可得函数的对称轴为，即，即，故A正确；
由图象可得，故B错误；
由图象可得，即，故C正确；
由图象可得，又，可得，又，
所以，故D正确．
故选：．
根据图象可得对称轴方程和，，，可得结论．
本题考查二次函数的图象和性质，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：，则，则，则，
由题意得，解得或，则，
则，故A错误；，故B正确；
，其中一个元素在集合中找不到，故C错误；
设，则在上单调递增，且，
而在上单调递增，
则根据复合函数单调性得在上单调递增，则其增区间为，故D正确．
故选：．
根据指数型函数值域即可得到即可，根据对数型函数定义即可得到，根据交并集含义即可判断，根据充分不必要条件的判定即可判断，根据复合函数单调性即可判断．
本题主要考查函数的定义域及其求法，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为，，且，
则，
当且仅当且，即，时取等号，此时的最小值为．
故答案为：．
由已知利用乘法结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了乘法及基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据计数原理可以将事情分成两类：化学老师安排在班和化学老师不安排在班．
化学老师排在班，先排班，有种方法，其余个班的老师做全排列，
共有种方法；
化学老师不在班，先排班，有种方法，再排班有种方法，余下个班有种方法，
共有：种方法．
所以不同的安排上课的方法数为．
故答案为：．
根据排列计算公式，结合特殊元素法求解排列数即可得出答案．
本题考查排列组合，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为为偶函数，
当时，，
所以，，
又因为，
，，
所以．
故答案为：．
根据求出，的值，再代入计算即可．
本题考查了偶函数的性质，分段函数的性质，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：令，则，
所以，的展开式通项为，
所以，，
在等式中，
令，可得，
因此，．
故答案为：．
令，则，利用二项展开式通项可求出的值，然后令，可求得的值．
本题主要考查二项式定理，属于中档题．
17.【答案】解：原式
．
【解析】利用指数的运算性质、对数的运算性质化简可得所求代数式的值．
本题主要考查了指数及对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：因为，所以．
由正弦定理得，
所以，
所以，
即．
因为，所以，
因为，所以．
若，，则．
则．
由正弦定理，得，
解得，．
【解析】利用三角恒等变换化简即得解；
求出，再利用正弦定理得解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：由得分情况的频率分布表得列联表如下：
未能掌握 基本掌握 合计
女生
男生
合计
，
因为，
所以没有的把握认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关．
由得分情况的频率分布表可知，参与网上测试且得分不低于分的学生中，女生人，男生人，
从而分层抽样抽取的人中，女生人，男生人．
在人中随机抽取人，记抽到女生的人数为，则的可能取值为，，，，
所以，
，
，
，
所以随机变量的分布列为
所以．
【解析】本题主要考查独立性检验及超几何分布，属于中档题．
建立列联表代入公式计算即可；
首先找到随机变量的可能取值为，，，，通过超几何分布概念计算即可．
20.【答案】Ⅰ证明：因为，，所以四边形是平行四边形，
所以．
在等边中，是中点，，所以．
在中，，所以，所以．
又因为，，所以平面．
Ⅱ解法：在中，作，垂足为．
因为，所以平面，
所以点，到平面的距离相等．
因为平面，所以，
又因为，，所以，
所以平面，平面，
所以平面平面，
所以平面，
所以点到平面的距离即为．
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
解法：因为平面，所以三棱锥的体积为．
设点到平面的距离为，又，所以三棱锥的体积为．
由，得，所以．
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
解法：因为平面，，所以，以为原点，分别以射线，，为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
，，．
设平面的一个法向量为取，得．
设直线与平面所成角为，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】Ⅰ证明结合，即可证明平面．
Ⅱ解法：作，垂足为说明点，到平面的距离相等．证明，，推出平面，证明平面平面，
得到平面，求出点到平面的距离，然后求解直线与平面所成角的正弦值．
解法：通过由，推出然后求解直线与平面所成角的正弦值．
解法：以为原点，分别以射线，，为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出面的一个法向量，利用空间向量的数量积求解直线与平面所成角的正弦值．
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的正弦函数值的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
21.【答案】解：
，
由得，，
所以对称中心；
，
，
，
的最小正周期为，
由，，
得：，，
单调递增区间为；
，
，，
，
，
即：，此时，．
【解析】利用三角恒等变换和辅助角公式化简，再求对称中心即可求解；
利用整体代换法可得周期和单调区间；
根据的范围利用整体代换法求出最小值及取得最小值时对应的的取值即可．
本题主要考查三角函数的最值，考查转化能力，属于中档题．
22.【答案】解：对任意的，，都有，
令，则，
．
证明：任取，，且，
由，可知，
则，
，，
，，
，
故函数在上是减函数．
由知函数在上是减函数，
当时，恒成立，
即．
令，则，
当时，恒成立，
即当时，，
设，
则函数在时为增函数，
，
，
又当时，恒成立，
，
在时为减函数，
，
，
综上，，即实数的取值范围为．
【解析】令可得；
任取，，且，根据定义可得，即可证明；
由知函数在上是减函数，当在恒成立，令，转化为当时，恒成立且恒成立，分别求出其最值即可．
本题主要考查抽象函数及其应用，函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
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