2022-2023学年贵州省贵阳市清镇市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年贵州省贵阳市清镇市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 若复数是虚数单位，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知，，则( )
A. B. C. D.
4. 已知命题，则命题的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5. ，两名学生均打算只去甲、乙两个城市中的一个上大学，且两人去哪个城市互不影响，若去甲城市的概率为，去甲城市的概率为，则，不去同一城市上大学的概率为( )
A. B. C. D.
6. 已知函数在处有极值，则( )
A. B. C. D.
7. 抛物线的焦点到准线的距离为( )
A. B. C. D.
8. 已知数列中，前项和满足，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，，则
10. 为了得到函数的图像，只需将图像上的所有点( )
A. 先向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的倍
B. 先向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的
C. 先将横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度
D. 先将横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度
11. 如图，在正方体中，，分别是，的中点，则下列说法正确的是( )
A. 与垂直
B. 与垂直
C. 与平行
D. 与平行
12. 已知圆：和圆：相交于，两点，下列说法正确的是( )
A. 圆的圆心为，半径为
B. 直线的方程为
C. 线段的长为
D. 取圆上的点，则的最大值为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知平面向量，，若，则______．
14. 年中共中央、国务院印发了关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见，意见提出坚持“五育并举”，全面发展素质教育．为了落实相关精神，某校举办了科技、艺术、劳动、美食文化周活动，在本次活动中小明准备从水火箭、机甲大师、绘画展、茶叶采摘、茶叶杀青、自助烧烤个项目中随机选择个项目参加，那么小明的选择中没有“茶叶采摘”这一项目的概率是 ．
15. 二项展开式中项的系数是______．
16. 的内角，，的对边分别为，，已知，，则的面积为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若，的面积为，求的周长．
18. 本小题分
年月日月日北京冬奥会如期举行，各国媒体争相报道运动会盛况，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看冬奥新闻某机构将每天关注冬奥时间在小时以上的人称为“冬奥迷”，否则称为“非冬奥迷”，通过调查并从参与调查的人群中随机抽取了人进行抽样分析，得到下表单位：人：
非冬奥迷 冬奥迷 合计
岁及以下
岁以上
合计
根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“非冬奥迷”还是“冬奥迷”与年龄有关？
现从抽取的岁及以下的人中，按“非冬奥迷”与“冬奥迷”这两种类型进行分层抽样抽取人，然后，将从这人中随机选出人，其中“冬奥迷”的人数为，求的分布列及数学期望．
参考公式：，其中．
参考数据：
19. 本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ设，求数列的前项和．
20. 本小题分
如图，在直三棱柱中，，为的中点，．
证明：；
求二面角的余弦值．
21. 本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
若对恒成立，求实数的取值范围．
22. 本小题分
已知椭圆的离心率为为的右焦点，过点作与轴不重合的直线，交于，两点，当与轴平行时，．
求的方程；
为的左顶点，直线，分别交直线于，两点，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查集合的交集运算，属于基础题．
利用交集的概念求解．
【解答】
解：因为，，
所以．
故选：．

2.【答案】
【解析】解：复数，
则复数在复平面内对应的点为，
所以在复平面内对应的点位于第一象限．
故选：．
化简，得到在复平面内对应的点，然后确定在复平面内对应的点所在的象限．
本题考查的知识要点：复数的运算，复数的几何意义，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的诱导公式及三角函数间的关系式的应用，考查数学运算能力，属于基础题．
利用诱导公式可求得，继而结合的范围，可求得，从而可得答案．
【解答】
解：，即，
又，
，
，
故选B．

4.【答案】
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题的否定是：，．
故选：．
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
5.【答案】
【解析】解：由题意知：去甲城市的概率为，去甲城市的概率为，
即去乙城市的概率为，去乙城市的概率为，
所以，去同一城市上大学的概率，
所以则，不去同一城市上大学的概率．
故选：．
根据条件得到，分别去乙城市的概率，从而求得，去同一城市上大学的概率，即可得到，不去同一城市上大学的概率．
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，属于基础题．
，，利用导数的运算法则可得，根据函数在处有极值，可得，解得，经过验证即可得出结论．
【解答】
解：，，
，
函数在处有极值，
，解得，
，
时，，函数单调递减；时，，函数单调递增．
时，函数取得极小值，
因此满足条件．
故选：．

7.【答案】
【解析】解：抛物线的焦点到准线的距离为，
由抛物线标准方程可得．
故选：．
利用抛物线的标准方程可得，由焦点到准线的距离为，从而得到结果．
本题主要考查抛物的性质，属于基础题．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数列递推式，考查计算能力，是基础题．
在已知数列递推式中，分别取、、，即可求得答案．
【解答】
解：由，得，则；
，则；
，则．
故选：．

9.【答案】
【解析】解：对于选项，由不等式的同向可加性可知，该不等式成立，所以A正确；
对于选项，例如：，，但是，所以B错误；
对于选项，当时，，所以C错误；
对于选项，因为，所以，又，所以，所以D正确．
故选：．
举反例排除，利用不等式的性质判断，从而得解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，
把的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图像，
再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像；
或者把的图像上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图像，
再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图像，
故选：．
首先将化成，然后利用先平移后伸缩与先伸缩后平移两种方法得到答案．
本题主要考查三角函数的图象变换，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：如图：连接，，在三角形中，，故C正确；
平面，，与垂直，故A正确；
，，与垂直，B正确；
与异面，，与不可能平行，D错误
故选：．
先利用三角形中位线定理证明，再利用线面垂直的判定定理定义证明与垂直，由异面直线所成的角的定义证明与垂直，故排除、、选D
本题主要考查线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：选项，：变形为，
圆心为，半径为，A错误；
选项，圆：和圆：相减得，
故直线的方程为，B正确；
选项，由可知，直线的方程为，
圆心到的距离为，
故线段的长为，C错误；
选项，由题意得，设，，
则
，其中，
故当时，取得最大值，最大值为，D正确．
故选：．
选项，将圆的一般式化为标准式，得到圆心和半径，A正确；选项，两圆相减得到直线的方程；选项，由垂径定理得到线段的长；选项，设，，利用三角恒等变换得到最值．
本题主要考查两圆的位置关系，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，，若，
则，得．
，
则．
故答案为：．
由已知利用向量共线的坐标运算求得，再由向量的坐标加法运算及向量模的计算公式求解．
本题考查向量共线的坐标运算，考查向量模的求法，是基础题．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了古典概型的概率问题，解题的关键是求出样本空间样本点数以及满足条件的样本点数，属于基础题．
求出样本空间样本点数和满足条件的样本点数，利用古典概型的概率公式求解即可．
【解答】
解：因为个项目中随机选择个项目，共有种，
没有“茶叶采摘”这一项目，共有种，
所以小明的选择中没有“茶叶采摘”这一项目的概率是．
故答案为：．

15.【答案】
【解析】解：由二项式展开式的通项公式为：，，，，，，可得：
令，
则二项展开式中项的系数是：，
故答案为：．
结合二项式展开式的通项公式求解即可．
本题考查了二项式定理的运用，重点考查了二项式展开式的通项公式，属基础题．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用及三角形面积公式的应用．
直接利用正弦定理求出的值，进一步利用余弦定理求出的值，最后求出三角形的面积．
【解答】
解：的内角，，的对边分别为，，．
，
利用正弦定理可得，
由于，，
所以，
所以，则
由于，
则：，
当时，，
解得，
所以．
当时，，
解得不合题意，舍去．
故：．
故答案为：．

17.【答案】解：，
由正弦定理得，
在中，，
，，
又，；
的面积为，，又，
由余弦定理得，
，，，
的周长为．
【解析】根据正弦定理得，可得，从而可求；
由三角表面积公式可得，结合余弦定理可得的值．
本题考查解三角形问题，正弦定理与余弦定理的应用，方程思想，属中档题．
18.【答案】解：由列联表可得：，
能在犯错误的概率不超过的前提下认为“非冬奥迷”还是“冬奥迷”与年龄有关；
由题意知：“非冬奥迷”应抽取人；“冬奥迷”应抽取人；
则所有可能的取值为，，，
；；；
的分布列为：
则数学期望．
【解析】由列联表计算可得，由此可得结论；
根据分层抽样原则可确定“非冬奥迷”与“冬奥迷”应抽取的人数，由此可确定所有可能的取值，利用超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得的分布列；根据数学期望公式计算可得期望．
本题主要考查离散随机变量分布列与期望的求解，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ设等差数列公差为，首项为，
则有，解得，
所以，
即数列的通项公式；
Ⅱ，
所以．
【解析】设等差数列公差为，首项为，根据条件列出方程组求解，，代入通项公式可得结果；
Ⅱ采用分组求和法求和即可．
本题考查了等差数列通项公式，分组求和的知识，属于基础题．
20.【答案】解：证明：在直三棱柱中，平面，平面，
，
，平面，且，
平面，
平面，E.
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
由，，得，
，，，，
设平面的一个方向向量为，
，，
，令，得，
平面，是平面的一个法向量，
，
二面角的余弦值为．
【解析】利用线面垂直的性质定理和判定定理可证明；
建立空间直角坐标系，能求出二面角的余弦值．
本题考查线面垂直的判定与性质、二面角的定义及其余弦值的求法、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：令，解得或，
令，解得：，
故函数的单调增区间为，，单调减区间为．
由知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
，
对恒成立，
，即，
．
【解析】求出导函数，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可．
求解函数的最小值，然后求解实数的取值范围．
本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
22.【答案】解：设，
当与轴平行时，直线的方程为，则在椭圆上，
代入椭圆方程得，
又因为离心率，解得．
所以的方程为．
设，，由椭圆的方程得，
当直线斜率不存在时，，
直线的方程为，
令得，同理．
若直线斜率存在时，设直线：，
联立得，
即，
，
直线的方程为，
令得，
同理，
则
．
综上，得的值为．
【解析】利用椭圆的右焦点结合，转化求解，，得到椭圆方程．
当直线斜率不存在时，求出相关点的坐标，验证；当直线斜率存在时，设直线：，，，由消去，利用韦达定理，表示出，即可求得结果．
本题主要考查椭圆的性质，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．
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