2022-2023学年河北省石家庄市辛集市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省石家庄市辛集市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 是一个正整数，则的最小正整数是( )
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 下列说法不正确的是( )
A. 正方形面积公式中有两个变量：，
B. 圆的面积公式中的是常量
C. 在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量
D. 如果，那么，都是常量
4. 五名同学捐款数分别是，，，，单位：元，捐元的同学后来又追加了元，追加后的个数据与之前的个数据相比，下列判断正确的是( )
A. 只有平均数相同 B. 只有中位数相同
C. 只有众数相同 D. 中位数和众数都相同
5. 在中，，，，根据下列条件不能判断是直角三角形的是( )
A. ， B.
C. ，， D. ：：：：
6. 在平行四边形的复习课上，小明绘制了如下知识框架图，箭头处添加条件错误的是( )
A. ：对角线相等 B. ：对角互补
C. ：一组邻边相等 D. ：有一个角是直角
7. 初中三年学习生涯，让懵懂青涩的少年逐渐成长为奋发向上的青年．比较九班名同学三年前后的年龄数据，在平均数、众数、中位数和方差四个统计量中，大小没有发生变化的统计量是( )
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
8. 容积为升的蓄水池装有一个进水管和一个出水管，单位时间内进、出水量都一定，单开进水管分钟可把空池注满，单开出水管分钟可把满池的水放尽．现水池内有水升，先打开进水管分钟后，再两管同时开放，直至把池中的水放完．这一过程中蓄水池中的蓄水量升随时间分变化的图象是( )
A. B.
C. D.
9. 船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立两座灯塔只要留心从船上到两个灯塔间的角度不超过一定的大小，就不用担心触礁如图所示的网格是正方形网格，点，，，，，，是网格线交点，当船航行到点的位置时，此时与两个灯塔，间的角度的大小一定无触礁危险那么，对于，，，四个位置，船处于_____时，也一定无触礁危险( )
A. 位置 B. 位置 C. 位置 D. 位置
10. 如图，一根竹竿，斜靠在竖直的墙上，点是中点，表示竹竿及在竹竿滑动过程中的情况是( )
A. 下滑时，的长度增大
B. 上升时，的长度减小
C. 只要滑动，端沿墙向下滑动过程中的某个位置，则的长的长度就变化
D. 无论怎样滑动，的长度不变
11. 如图，直线是一次函数的图象，且直线过点，则下列结论错误的是( )
A.
B. 直线过坐标为的点
C. 若点，在直线上，则
D.
12. 如图， 中，，，，动点从出发，以的速度沿向点运动，动点从点出发，以的速度沿着向运动，当点到达点时，两个点同时停止则的长为时点的运动时间是( )
A. B. 或 C. D. 或
13. 如图，在 中，点，是对角线上的两个点，且，连接，求证：．
证法：如图，在 中，，，
．
又，
≌，
，
，
即，． 证法：如图，连接交于点，连接，．
在 中，，．
又，
，即．
四边形是平行四边形，
．
下列说法错误的是( )
A. 证法中证明三角形全等的直接依据是
B. 证法中用到了平行四边形的对角线互相平分
C. 证法和证法都用到了平行四边形的判定
D. 证法和证法都用到了平行四边形的性质
14. 甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地轿车的平均速度大于货车的平均速度，如图线段和折线分别表示两车离甲地的距离单位：千米与时间单位：小时之间的函数关系则下列说法正确的是( )
A. 两车同时到达乙地
B. 轿车在行驶过程中的平均速度为千米小时
C. 货车出发小时后，轿车追上货车
D. 两车在前千米的速度相等
15. 如图，在平行四边形中，，，，，分别是边，上的动点，连接，，，分别是，的中点，连接，则的最大值与最小值的差为( )
A. B. C. D.
16. 如图，中，，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、则等于( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共3小题，共10.0分）
17. 小红在一张菱形纸片中剪掉一个正方形，做成班刊刊头如图所示若菱形的面积为，正方形的面积为，则这张菱形纸片的边长为______ ．
18. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的点和点分别落在轴和轴上，，，直线以每秒个单位长度向下移动，经过 秒该直线可将矩形的面积平分．
19. 已知，都是实数，为整数，若，则称与是关于的一组“平衡数”．
与______ 是关于的“平衡数”；
与______ 是关于的平衡数；
若，，判断与 ______ 是或否为关于某数的一组“平衡数”．
三、解答题（本大题共6小题，共57.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. 本小题分
某校给全体学生推送了“天天跳绳”用来督促学生进行体育锻炼，为了检查学生体育锻炼的效果，从全年级随机抽取了若干名学生进行一分钟跳绳的次数调查统计，一分钟跳绳次数记作，并绘制了如下的统计表：
组别 “跳绳次数“次 频率 组内学生的平均“跳绳次数”次
通过体育老师了解到成绩位于等级的学生成绩为：、、、、、、、、、、、；
请根据以上信息回答下列问题：
本次抽样调查的学生一共有______ 人；调查的学生“跳绳次数”的中位数是______ ；
求该校学生一分钟跳绳次数的平均数；
该校共有学生人，若规定一分钟跳绳次数时为优秀请你估计该校学生一分钟跳绳次数达到优秀的人数．
21. 本小题分
材料阅读：给定三个数、、，若它们满足，则称、、这三个数为“勾股数”例如：
，，；，即，、、这三个数为勾股数．
，，；，即，、、这三个数为勾股数．
若三角形的三条边、、满足勾股数，即，则这个三角形为直角三角形，且、分别为直角的两条邻边如题图所示
根据以上信息，解答下列问题：
试判断、、是否为勾股数；
若某三角形的三边长分别为、、，求其面积；
已知某直角三角形的两边长为和，求其周长．
22. 本小题分
如图是个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是和，每个台阶凸出的角的顶点记作为的整数已知点，直线：经过点．
若直线过点，求直线的解析式；
试推算出和的数量关系；
若直线使得为的整数这些点分布在它的两侧，每侧各个点，求的取值范围．
23. 本小题分
如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接．
求证：四边形是矩形；
连接，若，，，求的长度．
24. 本小题分
足球世界杯期间，某商店购进、两种品牌的足球进行销售每个品牌足球的销售利润为元、每个品牌足球的销售利润为元．
商店计划购进两种品牌足球共个，设购进品牌足球个，两种足球全部销售完共获利元．
求与之间的函数关系式；不必写的取值范围
若购进品牌足球的个数不少于个，且不超过品牌足球个数的倍，求最大利润为多少；
在的条件下，该商店对品牌足球以每个优惠元的价格进“双十二”促销活动，品牌售价不变，且全部足球售完后最大利润为元，求出的值．
25. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点、点分别在轴与轴上，直线的解析式为，以线段、为边作平行四边形．
如图，若点的坐标为，判断四边形的形状，并说明理由；
如图，在的条件下，为边上的动点，点关于直线的对称点是，连接，．
当 ______ 时，点位于线段的垂直平分线上；
连接，，设，设的延长线交边于点，当时，求证：，并求出此时的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由是一个正整数，得
，
，
故选：．
根据算术平方根是正整数，可得被开方数是能开方的正整数．
本题考查了二次根式的定义，利用开方运算是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：．，故A错误不符合题意；
B.，故B错误不符合题意；
C.，故C正确符合题意；
D.，故D错误不符合题意．
故选：．
A.先根据二次根式性质进行化简，然后按照二次根式加法运算法则进行计算即可；
B.先根据二次根式性质进行化简，然后按照二次根式减法运算法则进行计算即可；
C.根据二次根式乘法运算法则进行计算即可；
D.根据二次根式的除法法则解题即可．
本题主要考查二次根式的运算，是重要考点，难度较易，掌握二次根式加减乘除运算法则，是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：、正方形面积公式中有两个变量：，，正确；
B、圆的面积公式中的是常量，正确；
C、在一个关系式中，字母表示的量可能不是变量，正确；
D、如果，那么，都是变量，故错误．
故选：．
根据自变量与常量、因变量的定义解答．
主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量．
4.【答案】
【解析】解：根据题意知，追加前个数据的中位数是，众数是，
追加后个数据的中位数是，众数为，
数据追加后平均数会变大，
正确的只有中位数和众数，
故选：．
根据中位数和众数的概念做出判断即可．
本题主要考查平均数、中位数和众数的知识，熟练掌握平均数、中位数和众数的基本概念是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：、，，
，
是直角三角形；
B、，
，
不是直角三角形；
C、，，，
，
，
是直角三角形．
D、：：：：，
可以假设，，，
，
，
是直角三角形，
故选：．
根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理一一判断即可．
本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6.【答案】
【解析】解：、对角线相等的平行四边形是矩形，故A正确，不符合题意；
B、对角互补的矩形不一定是正方形，错误，故B符合题意；
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，故C不符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，正确，故D不符合题意．
故选：．
由矩形，菱形，正方形的判定，即可判断．
本题考查矩形，菱形，正方形的判定，关键是熟练掌握矩形，菱形，正方形的判定方法．
7.【答案】
【解析】解：、平均数，设第一年平均年龄是，则，，则平均数发生变化，故本选项不符合题意；
B、众数，设第一年的众数为，则第二年为，第三年为，则众数发生变化，故本选项不符合题意；
C、中位数，设第一年的中位数为，则第二年为，第三年为，则中位数发生变化，故本选项不符合题意；
D、方差，设第一年的方差为：，
第二年的方差为：，
同理可证，
则，故方差未有变化，本选项符合题意；
故选：．
根据平均数，中位数，众数以及方差的意义分别对每一项进行分析即可得出答案．
本题考查了平均数，中位数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
8.【答案】
【解析】解：因为进水速度是升分，单开出水管分钟可把满池的水放尽，则出水速度是升分，
所以先打开进水管分钟，水池中有升的水，两管同时开放，直至把水池中的水放完共用了分钟，
故分钟
故选：．
根据实际意义进行图象的判断，注意特殊点的寻找．
本题主要考查了根据实际意义读图的能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
9.【答案】
【解析】解：如图，连接，，
设正方形网格边长为，则，，
，
≌，
，
当船航行到点的位置时，一定无触礁危险，
船处于时，也一定无触礁危险，
故选：．
连接，，设正方形网格边长为，用勾股定理求出，，证明≌，得到，选出船的位置．
本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：，为的中点，
，
即的长在竹竿滑动过程中始终保持不变，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线性质得出答案即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线和两点之间的距离，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键．
11.【答案】
【解析】解：该一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与轴的交点位于轴下方，
，，
，故A正确，不符合题意；
将点代入，得：，
，
直线的解析式为，
当时，，
直线过坐标为的点，故B正确，不符合题意；
由图象可知该函数的值随的增大而减小，
又，
，故C正确，不符合题意；
该函数的值随的增大而减小，且当时，，
当时，，即，故D错误，符合题意．
故选：．
根据函数图象可知，，即得出，可判断；将点代入，即得出，即直线的解析式为，由当时，，即可判断；由图象可知该函数的值随的增大而减小，从而即可得出，可判断C正确；由该函数的值随的增大而减小，且当时，，即得出当时，，从而可判断．
本题考查一次函数的图象和性质．由图象确定出，，的值随的增大而减小是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：在 中，，，
如图，过点作于点，
，
是等腰直角三角形，
，
过点作于点，
得矩形，
，，
，
，
由题意可知：，，
，，
，
，
解得，
的长为时点的运动时间是，
故选：．
过点作于点，由，可得是等腰直角三角形，过点作于点，得矩形，利用勾股定理得，由题意可得，，然后列方程求出的值即可．
本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是利用勾股定理得到的值．
13.【答案】
【解析】解：、证法中证明三角形全等的直接依据是，不符合题意；
B、证法中用到了平行四边形的对角线互相平分，不符合题意；
C、只有证法都用到了平行四边形的判定，符合题意；
D、证法和证法都用到了平行四边形的性质，不符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理即可得到结论．
14.【答案】
【解析】解：由题意和图可得，
轿车先到达乙地，故选项A不符合题意；
轿车在行驶过程中的平均速度为：千米小时，故选项B不符合题意；
货车的速度是：千米时，
轿车在段对应的速度是：千米时，故选项D不符合题意；
设货车对应的函数解析式为，
，
解得，
即货车对应的函数解析式为，
设段轿车对应的函数解析式为，
，
解得，
即段轿车对应的函数解析式为，
令，得，
即货车出发小时后，轿车追上货车，故选项C符合题意．
故选：．
根据题意和函数图象中的数据可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
15.【答案】
【解析】解：连接，
，分别是，的中点，
，
，分别是边，上的动点，
当时，取得最小值，
在平行四边形中，，，，
则，
故AE，
故；
当时，此时取得最大值，
在平行四边形中，，，，
则点到的距离为，则，
则；
由上可得，的最大值与最小值的差为：，
故选：．
根据题意，可以得到当时，取得最小值，当时，此时取得最大值，然后分别求出的值，然后作差即可．
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位数、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16.【答案】
【解析】解：连接，过点作于点，
，，
而，
，
≌，
故；
又，，
而，
，
≌，
同理可证≌，
，
同理可证≌，≌，
，
综上所证：．
故选：．
把图中四块阴影部分的面积转化为三角形面积，通过三角形全等即可转化为，即可求出总面积．
本题考查勾股定理以及全等三角形，利用已知条件通过三角形全等进行转化是解题关键．
17.【答案】
【解析】解：如图，连接，，
正方形的面积为，
，
菱形的面积为，
，
菱形的边长为，
故答案为：．
连接，，根据正方形的面积为，菱形的面积为，求出和，即可得出答案．
本题主要考查正方形的性质和菱形的性质，求出和的长度是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：连接、，交于点，
当经过点时，该直线可将矩形的面积平分；
，是 的对角线，
，
，，
，
，
根据题意设平移后直线的解析式为，
，
，解得，
平移后的直线的解析式为，
直线要向下平移个单位，
时间为秒，
故答案为：．
首先连接、，交于点，当经过点时，该直线可将矩形的面积平分，然后计算出过且平行直线的直线解析式，从而可得直线要向下平移个单位，进而可得答案．
此题主要考查了矩形的性质，以及一次函数图象与几何变换，关键是正确掌握经过矩形对角线交点的直线平分矩形的面积．
19.【答案】 是
【解析】解：设与是关于的“平衡数”，
则，
解得．
故答案为：；
设与是关于的“平衡数”，
则，
解得．
故答案为：；
与是关于的一组“平衡数”，理由如下：
，，
，
，
与是关于的一组“平衡数”．
故答案为：是．
根据“平衡数”的定义列方程求解；
根据“平衡数”的定义列方程求解；
根据二次根式的运算法则计算出，再根据“平衡数”的定义判断．
本题考查的是二次根式的加减法，新定义的实数运算，解题的关键是理解“平衡数”的定义．
20.【答案】
【解析】解：本次抽样调查的学生一共有：人，
把这名学生一分钟跳绳次数从小到大排列，排在中间的两个数分别是、，故调查的学生“跳绳次数”的中位数是．
故答案为：，；
次，
答：该校学生一分钟跳绳次数的平均数为次；
人，
答：估计该校学生一分钟跳绳次数达到优秀的人数大约为人．
用组的频数除以组的频率可得样本容量，再根据中位数的定义解答即可；
根据加权平均数的计算方法解答即可；
用乘样本中一分钟跳绳次数的人数所占百分百即可．
本题考查频数分布表、中位数、加权平均数以及用样本估计总体，解答本题的关键是掌握相关统计量的计算方法．
21.【答案】解：因为，且，，都是正整数，故、、是为勾股数．
该三角形是直角三角形
其面积．
当是直角边时，则另一条边，周长为；
当是斜边时，则另一条边，周长为．
故其周长为或．
【解析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．
根据勾股定理的逆定理可推出这是一个直角三角形，再根据三角形的面积公式计算即可．
由于没有明确直角，所以应考虑两种情况：是直角边或是斜边．根据勾股定理进行计算．
考查了勾股数的概念，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数．验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，从而作出判断．
主要考查学生对勾股定理的逆定理及三角形面积的综合运用能力．
不要漏掉一种情况，熟练运用勾股定理进行计算．
22.【答案】解：每个台阶的高和宽分别是和，
．
将点和代入直线，
得，解得，
直线的解析式为．
将点代入直线，
得，
．
，
直线解析式可表示为．
当直线过时，有，解得；
当直线过时，有，解得．
若直线使得为的整数这些点分布在它的两侧，每侧各个点，的取值范围为．
【解析】将点和代入直线，利用待定系数法求解即可；
将点代入直线即可得到和的数量关系；
根据和的数量关系，将直线中的用来表示．求出的个临界值即可，分别是当直线过和时的值．当在这两个值之间取值时，直线使得为的整数这些点分布在它的两侧，每侧各个点．
本题考查一次函数的应用，比较简单，但这部分内容非常重要，一定要掌握好、运用好．
23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
且，
，
在和中，，
≌，
，，
，
四边形是平行四边形
，
四边形是矩形；
解：由知：四边形是矩形，
，
，
，
，
中，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，是斜边上的中点
．
【解析】由平行四边形性质得到且，由平行线的性质得到，根据三角形全等的判定可证得≌，由全等三角形的性质得到，，可得，根据矩形的判定即可得到结论；
由矩形的性质得到，进而求得，，由可求得，由勾股定理可求得，，由平行四边形性质得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键．
24.【答案】解：由题意可得，
，
即与之间的函数关系式是；
，
随的增大而增大，
购进品牌足球的个数不少于个，且不超过品牌足球个数的倍，
，
解得，
当时，取得最大值，此时，
答：最大利润为元；
由题意可得，
，
，全部足球售完后最大利润为元，
当时，，随的增大而增大，则时，取得最大值，
即，
解得；
当时，利润都是，不符合题意；
当时，，随的增大而减小，则时，取得最大值，
即，
解得不符合题意，舍去；
由上可得，的值是．
【解析】根据题意和题目中的数据，可以写出与之间的函数关系式；
根据购进品牌足球的个数不少于个，且不超过品牌足球个数的倍，可以得到品牌足球个数的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值；
根据题目中的数据，可以列出相应的函数解析式，再根据一次函数的性质和分类讨论的思想，可以求得的值．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
25.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，理由如下：
过作轴于，如图：
在中，令得，令得，
，，
，，，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，且，，
四边形是正方形；
过作于，连接，如图：
在的垂直平分线上，
直线是正方形的对称轴，
是的垂直平分线，
，
关于直线的对称点是，
，
，
是等边三角形，
，
关于直线的对称点是，
，
故答案为：；
如图：
，
，，
关于直线的对称点是，四边形是正方形，
，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得，
的值是．
过作轴于，在中，可得，，即有，，，而，故，，可证≌，得，，从而可得，根据四边形是平行四边形，且，，即知四边形是正方形；
过作于，连接，由在的垂直平分线上，可得，而关于直线的对称点是，有，故是等边三角形，，即可得；
由，关于直线的对称点是，四边形是正方形，可得，，而，有，故，即得，从而可得，设，在中有，从而可解得的值是．
本题考查一次函数的综合应用，涉及正方形的判定，等边三角形的判定，勾股定理及应用等知识，解题的关键是掌握对称的性质．
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