2022-2023学年黑龙江省七台河市重点中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年黑龙江省七台河市重点中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. “”是“”的一个( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知，，且，则的最小值为．( )
A. B. C. D.
4. 从单词“”选取个不同的字母排成一排，含有“”其中“”相连且顺序不变的不同排列共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5. 若的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为( )
A. B. C. D.
6. 已知学校有位数学老师，其中位男老师，位女老师，学校有位数学老师，其中位男老师，位女老师，为了实现师资均衡，现从学校任意抽取一位数学老师到学校，然后从学校随机抽取一位数学老师到市里上公开课，则在学校抽取到市里上公开课的是男老师的情况下，从学校抽到学校的老师也是男老师的概率是( )
A. B. C. D.
7. 随机变量的分布列如表，其中，且，
则( )
A. B. C. D.
8. 已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( )
A. B. C. D.
10. 设为定义在上的函数，且，，在上单调递减，下列说法正确的是( )
A. 函数的图象关于轴对称
B. 函数的最小正周期为
C.
D. 函数在 ， 上单调递减
11. 已知实数，满足等式，则下列关系式中可能成立的有( )
A. B. C. D.
12. 我国南宋数学家杨辉年所若的详解九章算法给出了若名的杨辉三角，在杨辉三角图中，除以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，第行所有数之和为；图是英国生物学家高尔顿设计的模型高尔顿板，在一块木板上钉着若干排相互平行且相互错开的圆柱形钉子，钉子之间留有空隙作为通道，让一个小球从高尔顿板上方的入口落下，小球在下落的过程中与钉子碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉到下方的某一球槽内，如图，小球从高尔顿板第行的第一个缝隙落下的概率是，第二个缝隙落下的概率是；从第行第一个继隙落下的概率是，第二个缝隙落下的概率是，第三个缝隙落下的概率是，小球从第行第口个缝隙落下的概率可以由杨辉三角快速算出，那么小球从第行某个缝隙落下的概率可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知，则 ______ ．
14. 一个盒子中有大小形状完全相同的个红球和个黄球，现从中有放回的摸取次，每次随机摸出一个球，设摸到红球的个数为，若，则 ， ．
15. 函数的值域是，则的单调递增区间是______ ．
16. 随机变量服从正态分布，，，则的最小值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数，．
若函数为奇函数，求实数的值；
若对任意的，都有成立，求实数的取值范围．
18. 本小题分
已知函数，其中是大于的常数．
求函数的定义域；
当时，求函数在上的最小值；
若对任意恒有，试确定的取值范围．
19. 本小题分
某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司年连续六个月月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示．
由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润单位：百万元与月份之间的关系，求关于的经验回归方程，并据此预测该公司年月份的利润；
甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有，两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用个月，但新型材料的不稳定性会导致材料损坏的时间不同，现对，两种型号的新型材料对应的产品各件进行科学模拟测试，得到如下频数统计表若从产品使用寿命的角度考虑，甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更好？用频率估计概率
材料类型 使用寿命
个月 个月 个月 个月 合计
参考数据：，．
参考公式：在经验回归方程中，，．
20. 本小题分
每年月第三个公休日是全国科普日．某校为迎接年全国科普日，组织了科普知识竞答活动，要求每位参赛选手从道“生态环保题”和道“智慧生活题”中任选道作答每道题被选中的概率相等，设随机变量表示某选手所选道题中“智慧生活题”的个数．
Ⅰ求该选手恰好选中一道“智慧生活题”的概率；
Ⅱ求随机变量的分布列及数学期望．
21. 本小题分
年月，台风“烟花”导致多地受灾，某调查小组调查了某受灾小区的户居民由于台风造成的经济损失单位：元，将收集的数据分成，，，，五组，并作出如图所示的频率分布直方图．
遭受台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的户居民捐款情况如下表所示，在表格空白处填写正确数字，并判断能否在小概率值的独立性检验下，认为捐款数额超过或不超过元和自家经济损失是否超过元有关；
项目 经济损失不超过元 经济损失超过元 总计
捐款超过元 _____ _____
捐款不超过元 _____ _____
总计 _____ _____
将上述调查所得的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取户居民，抽取次，记被抽取的户居民中自家经济损失超过元的户数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差．
附：，．
22. 本小题分
“钻石联赛”是世界乒联推出一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可能出现两种模式：“常规模式”和“模式”在前分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为分制，率先拿满分的选手赢得该局；如果两名球员在分钟内都没有人赢得局比赛，那么将进入“”模式，“”模式为分制的小局比赛，率先拿满分的选手赢得该局分钟计时后开始的所有小局均采用“”模式某位选手率先在局比赛中拿下局，比赛结束现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，分钟内甲、乙可以完整打满局或局，且在分制比赛中，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为；在“”模式，每局比赛双方获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立．
Ⅰ求局比赛决出胜负的概率；
Ⅱ设在分钟内，甲、乙比赛了局，比赛结束时，甲乙总共进行的局数记为，求的分布列及数学期望．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查集合的包含关系，以及交集运算，属于基础题．
首先判断集合中任意元素都是集合的元素，从而得出集合是集合的子集，然后即可求它们的交集．
【解答】
解：因为当时，集合中任意元素
所以，于是．
故答案选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据对数的性质是解决本题的关键，比较基础．
根据对数函数的性质，解对数不等式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】
解：当“”时，则或，此时可能无意义，故“”不一定成立，
而当“”时，则或，“”成立，
故“”是“”的一个必要不充分条件，
故选：

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础题，由当且仅当，时，等号成立可求的范围，进而可求的最小值，需要注意的是等号成立的条件不能少，否则取不到最小值．
【解答】
解：，，且，当且仅当，时，等号成立，
，
，
的最小值为．
故选B．
4.【答案】
【解析】解：要选取个字母时首先从其它个字母中选个有种结果，
再与““组成的一个元素进行全排列共有，
故选：．
由题意知本题所给的单词除去要求的两个之外还有个，因为要取个字母，所以好要从个字母中选三个，把要求的两个字母看成一个元素，这样有四个元素进行排列．
排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查．
5.【答案】
【解析】解：若的展开式中各项系数之和为，
解得，
则展开式的常数项为，
故选：．
据二项式系数和为，列出方程求出，利用二项展开式的通项公式求出常数项．
本题考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
6.【答案】
【解析】解：设“在学校抽取到市里上公开课的是男老师”为事件，“从学校抽到学校的老师是男老师”为事件，
则，
，
．
故选：．
设“在学校抽取到市里上公开课的是男老师”为事件，“从学校抽到学校的老师是男老师”为事件，再由即可得解．
本题考查条件概率，牢记条件概率的计算公式是解题的关键，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，且，
由随机变量的分布列得：
，解得，，，
．
故选：．
利用随机变量的分布列和性质，结合已知列出方程组，能求出，，，由此能求出的值．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：令，则，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减．
故，
所以，
因为，，，
所以，，，
故，
所以，
因为得，
又，
所以，则，
同理，，
所以，，
所以．
故选：．
结合已知式子构造函数，对其求导，结合导数分析函数在时单调性，进而可比较函数值大小．
本题主要考查了函数值大小的比较，函数的构造及单调性的应用是求解问题的关键．
9.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，值域为，定义域与值域相同；
函数的定义域为，值域为，定义域与值域不同；
函数的定义域为，由，得，
，即函数的值域为，定义域与值域不同；
函数的定义域为，
由，可知函数的定义域为，定义域与值域相同．
故选：．
分别求出四个函数的定义域及其值域分析得答案．
本题考查函数的定义域及其值域的求法，体现了极限思想方法的应用，是中档题．
10.【答案】
【解析】解：由，得，即函数是偶函数，则的图象关于轴对称，故A正确，
由得，即，
则是周期为的周期函数，故B正确，
则，，
在上单调递减，
，即，故C正确，
在上的单调性和在上的单调性相同，
偶函数在上单调递减，在上单调递增，
即在上的单调递增，故D错误．
故选：．
根据条件判断函数是偶函数，且是周期函数，利用函数奇偶性，单调性和周期性的性质进行转化判断即可．
本题主要考查函数性质的综合考查，根据条件判断函数的奇偶性，周期性，利用函数周期性和奇偶性以及单调性的关系进行转化是解决本题的关键，是中档题．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查不等式性质、幂指数及对数运算，考查数学运算能力，属于基础题．
对、取值进行分类讨论，当“、不取”与“”进行分析讨论即可解决此题．
【解答】
解：当时，成立，对；
由得得，，可知、同号，
当，时，，对错；
当，时，，对．
故选：．

12.【答案】
【解析】解：小球落下要经过次碰撞，每次向左或向右落下的概率均为，
小球从第行第个缝隙落下，则次碰撞有次向右，
其概率为，，，
，，，．
选项A，不可能，选项B，可能．
故选：．
利用次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式，计算取各个值的概率，能求出结果．
本题考查简单的归纳推理、次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：，令，则，，．
则．
故答案为：．
由题意，利用换元法求出函数的解析式，从而求出值．
本题主要考查用换元法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题．
14.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查了二项分布列的计算公式与均值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由题意可得：，解得，每次摸出红球的概率为，，即可得出．
【解答】
解：由题意可得：，解得．
每次摸出红球的概率为，
．
．
故答案为；．
15.【答案】
【解析】解：函数的值域是，
函数的最小值为，
则，解得．
，
函数的减区间为，
的单调递增区间是，
故答案为：．
由原函数的值域求得，再求出内层函数二次函数的减区间，即可得到原函数的增区间．
本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．复合函数的单调性，要利用内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：随机变量服从正态分布，，
由，得，
又，
，且，，
则．
当且仅当，即，时等号成立．
的最小值为．
故答案为：．
由正态分布曲线的对称性求出，再由基本不等式求最值．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查曲线的对称性，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
17.【答案】解：是奇函数，
，即，．
，均有，
即成立，，
对恒成立，．
在上是减函数，
，．
【解析】本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数恒成立问题，利用指数函数的运算性质是解决本题的关键．
根据函数为奇函数，建立条件关系即可求实数的值．
若对任意的都有成立，进行转化即可求实数的取值范围．
18.【答案】解：由得，
解得时，定义域为
时，定义域为且，
时，定义域为或
设，当，时，
恒成立，
在上是增函数，
在上是增函数，
在上的最小值为；
对任意恒有，
即对恒成立
，而在上是减函数，
，．
【解析】本题考查函数恒成立问题，着重考查分类讨论思想；着重考查复合函数的函数单调性质求最值，方法为导数法；着重考查分离参数法．
求函数的定义域，就是求，可以通过对分类讨论解决；
可以构造函数，当时通过导数法研究在上的单调性，再利用复合函数的性质可以求得在上的最小值；
对任意恒有，即对恒成立，转化为是的函数，即可求得的取值范围．
19.【答案】解：由折线图可知统计数据共有组，
即，，，，，．
得，，
又，，
，．
月利润关于月份的经验回归方程为，
当时，．
故预测甲公司年月份的利润为百万元．
由题意知，
型号的新型材料可使用个月、个月、个月、个月的概率分别为，，，，
型号的新型材料对应产品的使用寿命的平均数．
型号的新型材料可使用个月，个月，个月，个月的概率分别为，，，，
型号的新型材料对应产品的使用寿命的平均数．
，甲公司的负责人应该采购型号的新型材料．
【解析】由已知数据结合最小二乘法求得与的值，可得月利润关于月份的经验回归方程，取求解值即可；
分别求得，两种型号新型材料的期望，比较大小得结论．
本题考查线性回归方程，考查离散型随机变量的期望的求法，是中档题．
20.【答案】解：Ⅰ设该选手恰好选中一道“智慧生活题”为事件，则，
Ⅱ，，；；，，所以的分布列为：
故的期望．
【解析】Ⅰ设该选手恰好选中一道“智慧生活题”为事件，利用古典概型求解即可．
Ⅱ，，；求出概率，得到的分布列，然后求解期望即可．
本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查，基础题．
21.【答案】解：由频率分布直方图可得，在抽取的户中，经济损失不超过元的频率为，
可得经济损失不超过元的有户，
所以经济损失超过元的有户，
则表格如下：
项目 经济损失不超过 元 经济损失超过 元 总计
捐款超过元
捐款不超过元
总计
零假设：捐款数额超过或不超过元和自家经济损失是否超过元无关，
则，
根据小概率值的独立性检验，可以认为不成立，即认为捐款数额超过或不超过元和自家经济损失是否超过元有关；
因为抽到自家经济损失不超过元的频率为，
所以抽到自家经济损失超过元的居民的频率为，
可得的所有取值为，，，，且，
此时，，，，
则的分布列为：
所以，．
【解析】由题意，根据频率分布直方图所给信息得到经济损失不超过元和超过元的人数，可补全表格，零假设：捐款数额超过或不超过元和自家经济损失是否超过元无关，代入公式中求出观测值，将其与临界值进行对比，进而即可求解；
得到的所有取值为，，，，且满足，求出相对应的概率，列出分布列，根据二项分布的期望和方差公式进行求解即可．
本题考查离散型随机变量分布列的期望和方差，考查了逻辑推理和运算能力．
22.【答案】解：Ⅰ若分钟内打满局，最后可能甲乙获胜，则；
若分钟内打满局，最后可能甲乙获胜，则，
因此局比赛决出胜负的概率为；
Ⅱ由题意可知，的可能取值为，，，，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：



所以的数学期望为．
【解析】本题考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
Ⅰ分两种情况：若分钟内打满局，最后可能甲乙获胜；若分钟内打满局，最后可能甲乙获胜，分别求解即可；
Ⅱ确定的可能取值，列出分布列，由数学期望的求解公式计算即可．
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