2022-2023学年黑龙江省绥化市绥棱重点中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年黑龙江省绥化市绥棱重点中学高二（下）期末数学试卷
1. 已知集合，，则的一个真子集为( )
A. B. C. D.
2. 已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
3. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的函数是( )
A. B. C. D.
4. 设函数，若角的终边经过，则的值为( )
A. B. C. D.
5. 已知，，则的值是( )
A. B. C. D.
6. 在下列函数中，最小值为的是( )
A. B.
C. D.
7. 若，那么的值为( )
A. B. C. D.
8. 函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
9. 已知，，，则( )
A. B.
C. D.
10. 已知为偶函数，其图象与直线的其中两个交点的横坐标分别为，，的最小值为，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列选项正确的是( )
A.
B. 函数在上单调递减
C. 是函数图象的一个对称中心
D. 若方程在上有两个不等实根，则
11. 已知，则下列不等式不一定成立的是( )
A. B. C. D.
12. 已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则下列判断不正确的是( )
A. B. C. D.
13. 正数，满足，则与大小关系为______ ．
14. 已知函数，若任意的正数，均满足，则的最小值为______ ．
15. 已知，，则 ______ ．
16. 已知函数，若，且，则实数的取值范围是______ ．
17. 已知，求下列式子的值．
为第二象限角，求；
18. 已知函数．
求的单调增区间；
当时，求的最大值和最小值
19. 已知函数满足，当时，，且．
求，的值，并判断的单调性；
当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
20. 已知函数且在区间上的最大值是．
求实数的值；
假设函数的定义域是，求不等式的实数的取值范围．
21. 已知函数．
若，求曲线在点处的切线方程；
若函数，记函数在上的最小值为，求证：．
22. 已知函数且为常数．
讨论函数的极值点个数；
若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：；
；
是的真子集．
故选：．
可求出集合，然后进行交集的运算即可求出，从而判断出哪个选项的集合是的真子集．
考查列举法、描述法的定义，交集的运算，以及真子集的定义．
2.【答案】
【解析】解：，，，
故．
故选：．
可得出，然后即可得出，，的大小关系．
本题考查了指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：在中，是偶函数，在上单调递增，故A错误；
在中，是非奇非偶函数，在上单调递增，故B错误；
在中，既是偶函数又在上单调递减，故C正确；
在中，是偶函数，在上不是减函数，故D错误．
故选：．
在中，在上单调递增；在中，是非奇非偶函数，在上单调递增；在中，既是偶函数又在上单调递减；在中，在上不是减函数．
本题考查命题真假的判断，考查函数的奇偶性、单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：角的终边经过，可得，
，可得，
，即的值为．
故选：．
由任意角的正弦函数值，以及分段函数的解析式，计算可得所求值．
本题考查分段函数的运用：求函数值，考查任意角的三角函数的定义，考查运算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的恒等变换，属于基础题．
由给定条件求出，再由差角的余弦公式计算即可．
【解答】
解：因，，
则，
于是
，
所以的值是，
故选B．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了利用基本不等式及对勾函数的单调性求解函数的最值，要注意应用条件的检验，属于基础题．
由已知结合基本不等式及相关结论，结合对勾函数单调性，分别检验各选项即可判断．
【解答】
解：：当时，显然不成立；
：令，由得，在上单调递减，没有最小值，不符合题意，同理不符合题意；
：得，则，当且仅当即时取等号，此时函数取得最小值．
故选：．

7.【答案】
【解析】解：若，那么，
故选：．
由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．
本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由得，且，
当时，，此时，排除，，
函数的导数，
由得，即此时函数单调递增，
由得且，即或，此时函数单调递减，
故选：．
根据函数的定义域，特殊点的函数值符号，以及函数的单调性和极值进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数的性质，利用定义域，单调性极值等函数特点是解决本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，A正确；
，当且仅当且，即，时取等号，B错误；
，当且仅当时取等号，C正确；
因为，当且仅当时取等号，D正确．
故选：．
由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：因为为偶函数，所以，
因为的图象与直线的其中两个交点的横坐标分别为，，的最小值为，
所以，的最小正周期为，
所以，即，
所以，，故A选项正确；
当时，，此时函数为单调递减函数，故函数在上单调递减，选项正确；
当时，，此时不是函数的对称中心，故C选项错误；
当时，，此时函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，，
所以，当方程在上有两个不等实根时，，即，故D选项正确．
故选：．
由题知，，再结合余弦函数的性质与图象依次讨论各选项即可得答案．
本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，因为，则有且，必有，在，同乘可得：，不等式一定成立；
对于，由的结论，，则等号无法取得，不等式一定成立；
对于，令，，其导数，
则在上单调递增，又由，则有，即，不等式一定不成立；
对于，当，时，，不等式不成立，
当，时，，不等式成立，
故该不等式不一定成立．
故选：．
根据题意，结合不等式的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项B，结合函数单调性检验选项C，举出例子说明选项D综合可得答案．
本题主要考查了不等式的性质，函数的单调性在不等式大小比较中的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由题意设，则．
满足，
当时，，即，故函数在上单调递减；
当时，，即故函数在上单调递增；
又，则，即，故关于对称，
对于：，即，故，故A正确；
对于：，即，即，故B错误；
对于：，即，故，故C正确；
对于：，即，故，故D错误；
故选：．
构造函数，根据题意，求得的单调性，利用函数的对称性，逐一分析选项，即可求得答案．
本题考查利用函数的导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
设，则，
所以，
又因为与在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以．
故答案为：．
构造函数，并运用其单调性比较大小即可．
本题主要考查了作差法比较大小，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：恒成立，函数的定义域为，有成立，，
，
，
为定义在上的奇函数．
由复合函数的单调性易知，当时，与均单调递减，
在区间上单调递减，
又为定义在上的奇函数，
在上单调递减．
由得，
正数，满足，即，
由基本不等式，，
当且仅当，即，时等号成立，
的最小值为．
故答案为：．
先判断出的单调性和奇偶性，再由得出与满足的等式，再由基本不等式“”的妙用求解即可．
本题主要考查了函数单调性关系的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：由题设，则且，
所以，即，故．
故答案为：．
根据指对数互化可得，结合求参数值即可．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为函数的定义域为，
且，
所以为偶函数，
设，而为奇函数，奇函数偶函数奇函数，
所以函数为奇函数，关于原点对称，
设，则，
因为，
所以即为上的增函数，
故在上单调递增，
因为，所以，解得，
实数的取值范围为．
故答案为：
首先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，再根据函数的单调性，求解不等式．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】解：利用诱导公式化简，
又由，得，
又由为第二象限角，，
可得，解得负舍，
再由得出，
进而得出．
由
分子分母同除以可得，
再由中可得，
故得出．
【解析】利用诱导公式得，再结合三角函数的商的关系以及同角的平方和关系即可解出，，则得到答案；
利用弦化切即可得到答案．
本题主要考查了诱导公式及同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：，
令，，解得：，，
可得的单调递增区间为：；
当时，，
当时，即时，取得最小值；
当时，即时，取得最小值．
即的最大值为，最小值为．
【解析】利用三角恒等变换化简函数为正弦型函数，利用正弦函数的单调性即可得解；
求出时的值域，即可得出的最大、最小值．
本题考查了三角恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．
19.【答案】解：令，得，得，
令，，得，得；
令，所以，所以，
因为，所以，所以，即有，
即在上为增函数；
方法一、由，可得，
，即，即，
又，所以，
又因为在上为增函数，所以在上恒成立，
得在上恒成立，
若，则得；
若，则可得在上恒成立，
所以满足题意；
若，由在上恒成立，在上恒成立，
可得在上恒成立，则；
综上所述，的取值范围是
方法二、因为，即，即，
又，所以，
又因为在上为增函数，所以在上恒成立；
得在上恒成立，
即在上恒成立，
因为，当时，取最小值，所以；
则的取值范围是
【解析】令，可得，再令，，可得，由单调性的定义，结合条件可判断的单调性；
由等式和的单调性，可得在上恒成立，方法一、讨论，，，结合二次函数的性质，可得所求范围；方法二、运用参数分离和配方法，结合二次函数的最值求法，可得所求范围．
本题考查抽象函数的单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
20.【答案】解：当时，函数在区间上是减函数，
因此当时，函数取得最大值，即，
因此；
当时，函数在区间上是增函数，
当时，函数取得最大值，即，
因此，
所以或．
因为的定义域是，
即恒成立．
则方程的判别式，即，
解得，
又因为或，因此，
代入不等式得，即，
解得，
因此实数的取值范围是．
【解析】当时，由函数在区间上是减函数求解；，当时，函数在区间上是增函数求解；
根据的定义域是，由恒成立求解．
本题考查了指数函数的单调性以及不等式的恒成立问题，属于中档题．
21.【答案】解：由题意知，，，
，，则所求切线方程为，即．
证明：由题意知，，
．
令，，则在上单调递增，
又，，则存在使得成立，
，．
当时，，当时，，
．
令，则，
，，．
【解析】利用导数求切线的方程可解决此问题；运用导数判断函数的单调性可解决此问题．
本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程．
22.【答案】解：由题设知：的定义域为，，
令，在上恒成立，
函数在上单调递增，且值域为，
当时，在上恒成立，即，故在上单调递增，无极值点；
当时，方程有唯一解为，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
是函数的极小值点，没有极大值点．
综上，当时，无极值点，
当时，函数只有个极值点；
不等式对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
对任意的恒成立
记，则，
记，则，易知在上恒成立，
在上单调递增，且，，
存在，使得，且当时，即，
函数在上单调递减；
当时，即，故F在上单调递增，
，即，
又，故，即，即，
由知函数在上单调递增，
，，
综上，实数的取值范围是．
【解析】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，是难题．
求出导函数，再对分情况讨论，根据导函数的正负得到函数的单调性，进而得到函数极值点的个数；
不等式对任意的恒成立，对任意的恒成立，记，通过求的最小值得结论．
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