甘肃省庆阳市华池县第一中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（Word版含答案）

华池县第一中学2022-2023学年高二下学期期末考试
数学
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
3．本试卷命题范围：高考范围．
一、选择题：
1．已知，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
2．通过随机询问盐城市110名性别不同的高中生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：（ ）
男 女 总计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
由公式计算得：．参照附表，得到的正确结论是（ ）
附表：
α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
3．庆阳市政府决定派遣8名干部分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，则不同的派遣方案共有（ ）
A．120种 B．182种 C．252种 D．320种
4．某工厂生产的零件外直径（单位：cm）服从正态分布N（10，0.04），今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.75cm和9.35cm，则可认为（ ）
A．上、下午生产情况均异常 B．上、下午生产情况均正常
C．上午生产情况异常，下午生产情况正常 D．上午生产情况正常，下午生产情况异常
5．已知向量a，b为相互垂直的单位向量，若，则向量a与向量c的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列{}满足，则=（ ）
A．3 B． C． D．-2
7．已知O为椭圆C的中心，F为C的一个焦点，点M在C外，，经过M的直线l与C的一个交点为N，是有一个内角为的等腰三角形，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题
9．已知向量，若a，b，c共面，则x的值可以是（ ）
A． B． C．1 D．2
10．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．点P在圆上，点Q在圆上，则（ ）
A．的最小值为2
B．的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为
D．两个圆相交弦所在直线的方程为
12．函数的最小正周期为π，若其图象向右平移个单位后得到函数为奇函数，则下列关于函数图象的说法正确的是（ ）
A．关于点对称 B．在上单调递增
C．关于直线对称 D．在处取得最大值
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若“”为真命题，则实数a的取值范围为_________．
14．在展开式中，的系数为_________．（结果用数字作答）
15．若双曲线与直线无交点，则离心率e的取值范围是_________．
16．为了备战2023斯诺克世锦赛，丁俊晖与赵心童两人进行了热身赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，热身进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设丁俊晖在每局中获胜的概率为，赵心童在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时已打局数为ξ，则=_________．
四、解答题
17．设是等差数列{}的前n项和，已知
（1）求；
（2）若数列，求数列的前n项和．
18．在某产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间相应的一组观察值如下表：
5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120
6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46
（1）画出表中数据的散点图；
（2）求y对x的回归直线方程；
（3）试预测腐蚀时间为100s时腐蚀深度是多少？（可用计算器）
参考数据：，
参考公式：
19．已知a，b，c为的内角A，B，C所对的边，向量，且
（1）求C；
（2）若，的面积为，且，求线段的长．
20．如图所示，在直三棱柱中，，点D是的中点．
（1）证明：⊥平面；
（2）求与平面所成角的正切值．
21．已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若对任意的，都有恒成立，求k的最大值．
22．已知动点M到点的距离比它到直线的距离小2．
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）过点F作斜率为的直线与轨迹E交于点A、B，线段的垂直平分线交x轴于点N，证明：为定值．
华池县第一中学2022-2023学年高二下学期期末考试
数学
参考答案、提示及评分细则
1．A
2．C 因为，所以有99%以上的把握（或犯错误的概率不超过1%的前提下）认为“爱好该项运动与性别有关”
3．B 分成3人、5人两组时，有种；分成4人、4人两组时，有种，所以共有=182种
4．D ∵服从正态分布，∴，∴上午生产情况正常，下午生产情况异常．
5．A 设向量a，c的夹角为θ，则，故．
6．C 将进行变形，得，则由，得3，所以数列{}是以4为周期的周期数列，又，所以．
7．D 不妨设，，则，易知中只能，是有一个内角为的等腰三角形，则，将N代入椭圆方程得到，即，解得=或（舍去），故．
8．B 当时，函数单调递增，导函数值大于0，排除C，D；当时，函数先减后增最后减，故其导数值先负，后正，最后负，结合图象，可知B符合题意
9．BC 因为a，b，c共面，所以存在不全为0的实数λ，μ，使得，即，解得，故选BC．
10．BD 令，则，所以，故，故选项C错误，选项D正确；，，故选项A错误，选项B正确．
11．BC 由已知，半径为，圆的标准方程为，故，半径，则，A错；，B正确；，C正确；又>r，两圆相离，不相交，D错．
12．AD 函数的最小正周期为π，可得）向右平移个单位后得到的函数为
，因为此函数为奇函数，又，所以．故函数，对于选项A：，故A正确：对于选项B：当，不单调，故B错；对于选项，故C错；对于选项D，故D正确．
13．∵为真命题，∴，∵在区间上单调递增，∴，即，∴实数a的取值范围为．
14．50 ，其中展开式的通项为，所以项的系数为．
15． ∵双曲线与直线无交点，取双曲线的渐近线．∴，∴．∴双曲线离心率e的取值范围是．
16． 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为+．若该轮结束时比赛还将继续，则丁俊晖、赵心童在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有，故．
17．解：（1）设数列{}的公差为d，则解得，所以．
（2）由（1）知，则，
∴
18．解：（1）散点图如图
（2）根据表中数据计算得，结合参考数据和公式得
．
所以腐蚀深度y对腐蚀时间x的回归直线方程为．
（3）根据上面求得的回归直线方程，当腐蚀时间为100s时，即腐蚀深度大约为35.76μm．
19．解：（1）因为，所以，
由正弦定理，得，即，
由余弦定理，得，
因为，所以．
（2）由，解得，
因为，则
所以
所以．
20．（1）证明：在直三棱柱中，，
又∴．
又平面，∴．
在矩形中，，
∴∴，
又平面．
（2）解：以C为原点为x、y、z轴建立直角坐标系，
则，，，，则，
设平面的法向量为，
又，则得
令，则，则，设n与的夹角为θ，
则，
∴与平面所成角的正弦值为，则与平面所成角的余弦值为，
∴与平面所成角的正切值为．
21．解：（1）函数的定义域为，，
令，解得，
当时，，函数递减，
当）时，，函数递增，
故的单调减区间是（0，），单调增区间是（，）．
（2）原式可化为，
令，则，
令，则，
故在上递增，故存在唯一的，使得，即，且当时，
递减；当时，递增；故+1．
故，所以实数k的最大值为4．
22．（1）解：因为动点M到点的距离比它到直线的距离小2，
所以动点M到点的距离与到直线的距离相等．
由抛物线的定义可知，轨迹E是以为焦点、以直线为准线的抛物线，
故点M的轨迹E的方程为
（2）设直线l'的方程为，联立整理得，
设、，G为线段的中点，
则，
线段的垂直平分线的方程为，
故为定值．