(共28张PPT)
随机变量的数字特征（2）
高二年级 数学
则称
为离散型随机变量X的均值或数学期望
（简称为期望）．
如果离散型随机变量X的分布列如下表：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
知识回顾：
情境与问题：某省要从甲、乙两名射击运动员中选一人参加全运会，根据以往数据，这两名运动员射击环数的分布列分别如下.若从平均水平和发挥稳定性角度来考虑，要你决定谁参加全运会，你会怎样决定 说明理由.
甲的 环数X1 8 9 10
P 0.2 0.6 0.2
乙的 环数X2 8 9 10
P 0.4 0.2 0.4
因为E(X1)= E(X2)=9，所以仅从平均水平的角度考虑，是无法决定选谁参加的，怎样来衡量他们的发挥稳定性呢？
设甲重复射击足够多次（设为n次）则甲所得环数可以估计为
8，8，…，8，9 ，9，…，9 ，10 ，10，…，10.
0.2n个
0.2n个
0.6n个
甲这组数的方差为
类似的，乙这组数的方差为
由于0.4<0.8，因此可以认为甲的发挥更稳定，应该派甲参加全运会.
如果离散型随机变量X的分布列如下表所示.
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则
叫做这个离散型随机变量X的方差.
称为离散型随机变量X的标准差.
离散型随机变量X的方差和标准差反映了离散型随机变量取值相对于均值的离散程度（或波动大小）.
情境与问题中，甲、乙射击环数的分布列用图直观地表示，也能看出D(X 1)与D(X 2)的相对大小.
例题 已知随机变量X服从参数为p的两点分布，
求 .
解：因为随机变量X的分布列为
而
所以
X 1 0
P p 1-p
二项分布的方差
若X服从参数为n，p的二项分布，即 ，
则
尝试与发现 已知X是一个随机变量，且分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
设a，b都是实数.且a≠0，则Y=aX+b也是一个随机变量，而且E(Y)=aE(X)+b，那么，这两个随机变量的方差之间有什么联系呢？
若X与Y都是离散型随机变量，且Y=aX+b，则由X与Y之间分布列和均值之间的关系可知
例题 已知一批产品的次品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取50次，用X表示抽到的次品数.
(1)求D(X)；
(2)假设抽出的产品需要送往专门的检测部门检测，检测费用Y元与次品数X有关，且Y=10X+300，求D(Y).
解：(1) 因为X服从的是参数为50，0.02的二项分布，即X~B(50，0.02)，所以D(X)=50×0.02×(1-0.02)=0.98.
(2) D(Y) =D(10X+300)=102D(X)
=100×0.98=98.
例题 已知某射击选手射击的命中率是0.8，记他三次独立射击时的命中次数为X，求X的分布列、期望和方差.
解：X的可能取值为0，1，2，3.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.008 0.096 0.384 0.512
方法一：
方法二：因为X~B(3,0.8)，所以E(X)=3×0.8=2.4，D(X)=3×0.8×0.2=0.48
求：(1)在A、B两个项目上各投资100万元， Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)和D(Y2)；
(2)根据得到的结论，对于投资者有什么建议？
例题 A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析， X1和X2的分布列分别为
X1 2% 8% 12% X2 5% 10%
P 0.2 0.5 0.3 P 0.8 0.2
所以 ，
解：(1)题目可知，投资项目A和B所获得的利润Y1和Y2的分布列为：
Y1 2 8 12 Y2 5 10
P 0.2 0.5 0.3 P 0.8 0.2
，
.
，
解：(2) 由(1)可知 ，说明投资A项目比投资B项目期望收益要高；
同时 ，说明投资A项目比投资B项目的实际收益相对于期望收益的平均波动要更大.
因此，对于追求稳定的投资者，投资B项目更合适;而对于更看重利润并且愿意为了高利润承担风险的投资者，投资A项目更合适.
求随机变量的期望与方差的一般步骤（方法一）：
找到随机变量X的所有可能取值 ；
计算X取每一个值xi的概率 ,
得到X的分布列:
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
课堂小结
课堂小结
2.计算
（方法二）
1. 判断随机变量是否服从二点分布、二项分布、超几何分布；
2. 利用公式求期望或方差.
课堂小结
超几何分布：若离散型随机变量X服从参数为N，n，M的超几何分布,则
二项分布：若 ， ，则
从装有3个白球和2个黑球的布袋中摸取一球，有放回的摸取5次，求摸得的白球数X的数学期望和方差.
课后作业
谢谢(共30张PPT)
随机变量的数字特征（1）
高二年级 数学
若P(X= xk)=pk ， ，则
此表称为X的概率分布或分布列．
复习引入 离散型随机变量X的分布列：
X x1 x2 … xk … xn
P p1 p2 … pk … pn
情境与问题：一家投资公司在决定是否对某创业项目进行资助时，经过评估后发现：如果项目成功，将获利5000万元；如果项目失败，将损失3000万元.设这个项目成功的概率为p，而你是投资公司的负责人，如果仅从平均收益方面考虑，则p满足什么条件时，你才会对该项目进行资助？
为什么
分析：成功的概率p，指的是如果重复这个创业项目足够多次（设为n次），那么成功的次数可以用np来估计，而失败的次数可以估计为n(1-p). 因此，在这n次试验中，投资方收益（单位：万元）的n个数据估计为5000，5000，…，5000，
-3000，-3000， … ，-3000，
np个
n(1-p)个
这一组数的平均数为
因为上述平均数体现的是平均收益，所以不难想到，当 ，即
时，应该对创业项目进行资助.
另一方面，如果设投资公司的收益为X万元，则X这个随机变量的分布列如下表所示.
从上面的分析看出，式子
刻画了X取值的平均水平.
X 5000 -3000
P p 1-p
则称
为离散型随机变量X的均值或数学期望
（简称为期望）．
如果离散型随机变量X的分布列如下表所示：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
求离散型随机变量的期望的步骤：
求随机变量的分布列
求随机变量的期望
求随机变量的所有可能取值；
利用期望的定义．
分别求出相应的概率值；
写出分布列．
例题 已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求E(X).
解:随机变量X服从两点分布，其分布列为：
所以E(X) = p.
X 0 1
P 1-p p
（1）二项分布的均值
如果随机变量X~B(n,p)，则
（2）超几何分布的均值
若X服从参数为N，n，M的超几何分布，
即X~H(N ，n ， M)， 则
例题 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确，每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分．学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个．分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值．
分析 学生甲每一道题是否选择正确是互相独立的，并且每道题选对的概率相同，因此这是独立重复试验．学生乙也是如此．
设学生甲和学生乙选对的题数分别为X1，X2，则X1~B(20,0.9),X2~B(20,0.25)，根据二项分布的均值公式，容易求得X1和X2的均值．
分析 但是题目中问的是成绩的均值，相当于是问E(5X1)和E(5X2)，它们和E(X1)，E(X2)有什么关系呢？
随机变量均值的性质
已知随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
若Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是随机变量．那么， X与Y的均值之间有什么联系呢？
由X与Y之间分布列的关系可知
例题 20个选择题，4选1，每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分．甲选对一题的概率为0.9，乙选对一题的概率为0.25．分别求甲和乙成绩的均值．
解：设学生甲和学生乙选对的题数分别为X1，X2，则X1~B(20,0.9),X2~B(20,0.25)，
所以
由于每题选对得5分，所以学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5X1和5X2 ．这样，他们在测验中成绩的均值分别是
例题 体检时，为了确定体检人员是否患有某种疾病，需要对其血液进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病.已知每位体检人患有该疾病的概率均为0.1，化验结果不会出错，而且体检人是否患有该疾病相互独立.现有5位体检人的血液待检查，有以下两种化验方案：
方案甲：逐个检查每位体检人的血液；
方案乙：先将5位体检人的血液混在一起化验一次，若呈阳性，则再逐个化验；若呈阴性，则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结束.
（1）哪种化验方案更好？
（2）如果每次化验的费用为100元，求方案乙的平均化验费用.
解：（1）方案甲中，化验的次数一定是5次.
方案乙中，若记化验的次数为X，则X的取值范围为{1,6}.因为5人都不患病的概率为
(1-0.1)5=0.59049,
所以 P(X=1)=0.59049,
P(X=6)=1-0.59049=0.40951,
从而E(X)= 1 × 0.59049+ 6 ×0.40951
=3.04755.
也就是说，方案乙的平均检查次数不到5次，因此方案乙更好.
（2）如果每次化验的费用为100元，求方
案乙的平均化验费用.
解：（2）若记方案乙中，检查费用为Y元，则Y=100X,从而可知E(Y)=100E(X)=304.755
则方案乙的平均化验费用为304.755元.
课堂小结
离散型随机变量的均值的定义
两点分布、二项分布、超几何分布的均值
离散型随机变量的均值的性质
应用知识解决相关问题
则称
为离散型随机变量X的均值或数学期望
（简称为期望）．
如果离散型随机变量X的分布列如下表所示：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
随机变量均值的性质
若Y=aX+b，其中a,b为常数，则
作业 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元．
方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水．
方案3：不采取措施．
试比较哪一种方案好．
谢谢
