北京市十区2022-2023学年高二下学期期末数学试题分类汇编：函数的导数及其应用（含答案）

北京市十区2022-2023学年高二下学期期末试题分类汇编
函数的导数及其应用
一、选择题
1、（大兴区2022-2023学年高二下学期期末）设，则（ ）
A. B.
C. D.
2、（大兴区2022-2023学年高二下学期期末）设函数，则“”是“有个零点”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3、（东城区2022-2023学年高二下学期期末）如图，曲线在点处的切线为直线，直线经过原点，则（ ）
A. B. C. D.
4、（海淀区2022-2023高二下学期期末）下列四个函数中，在区间上的平均变化率最大的为（ ）
A. B.
C. D.
5、（密云区2022-2023高二下学期期末）已知函数，是的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A. ， B. ，
C. 若，则 D. 若，则
6、（石景山区2022-2023高二下学期期末）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A. B. C. D.
7、（通州区2022-2023高二下学期期末）已知函数，则的导函数（ ）
A. B. C. D.
8、（西城区2022-2023高二下学期期末）设函数，则（ ）
A. 1 B. C. 0 D.
9、（怀柔区2022-2023高二下学期期末）函数在处的切线斜率为（ ）
A. B. C. D.
10、（顺义区2022-2023高二下学期期末）下列给出四个求导的运算：①；②；③；④．其中运算结果正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
11、（大兴区2022-2023学年高二下学期期末）已知函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
12、（东城区2022-2023学年高二下学期期末）已知是函数的极小值点，那么的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
13、（东城区2022-2023学年高二下学期期末）在函数，，，中，导函数值不可能取到1的是（ ）
A. B.
C. D.
14、（东城区2022-2023学年高二下学期期末）已知函数，
① 当时，在区间上单调递减；
② 当时，有两个极值点；
③ 当时，有最大值.
那么上面说法正确的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
15、（海淀区2022-2023高二下学期期末）已知函数，则的值为（ ）
A. 0 B. C. D.
16、（海淀区2022-2023高二下学期期末）已知函数．若函数有三个极值点，且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
17、（密云区2022-2023高二下学期期末）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）
A. B.
C. D.
18、（通州区2022-2023高二下学期期末）函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
19、（通州区2022-2023高二下学期期末）已知函数的导函数的图象如图所示，给出下列四个结论：
①在区间上单调递增
②在区间上单调递减
③在处取得最大值
④在处取得极小值
其中结论一定正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
20、（通州区2022-2023高二下学期期末）已知函数为其定义城上的单调函数．则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
21、（西城区2022-2023高二下学期期末）记函数的导函数为，则（ ）
A. 是奇函数 B. 是偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数
22、（西城区2022-2023高二下学期期末）如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
23、（怀柔区2022-2023高二下学期期末）已知函数为的导函数，则（ ）
A. B.
C. D.
24、（怀柔区2022-2023高二下学期期末）已知函数的导函数的图像如图所示，则（ ）
A. 有极小值，但无极大值 B. 既有极小值，也有极大值
C. 有极大值，但无极小值 D. 既无极小值，也无极大值
25、（顺义区2022-2023高二下学期期末）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. 当时，函数取得极大值 B. 当时，函数取得极小值
C. 当时，函数取得极大值 D. 当时，函数取得极小值
二、填空题
1、（大兴区2022-2023学年高二下学期期末）函数的极小值为______.
2、（大兴区2022-2023学年高二下学期期末）已知函数，且在处的瞬时变化率为．
①______；
②令，若函数的图象与直线有且只有一个公共点，则实数的取值范围是______．
3、（东城区2022-2023学年高二下学期期末）设函数(为常数)，若在单调递增，写出一个可能的值________.
4、（海淀区2022-2023高二下学期期末）已知函数在上是增函数，则的取值范围是________．
5、（通州区2022-2023高二下学期期末）函数的零点是_________，极值点是_________．
6、（通州区2022-2023高二下学期期末）已知函数，给出下列四个结论：
①函数存在4个极值点；
②；
③若点，为函数图象上的两点，则；
④若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是________．
7、（西城区2022-2023高二下学期期末）若函数在处的切线与直线平行，则________．
8、（怀柔区2022-2023高二下学期期末）设函数，则__________.
9、（怀柔区2022-2023高二下学期期末）若曲线在处的切线方程为，则__________；__________
10、（东城区2022-2023学年高二下学期期末）设，给出下列四个结论：
①不论为何值，曲线总存在两条互相平行的切线；
②不论为何值，曲线总存在两条互相垂直的切线；
③不论为何值，总存在无穷数列，使曲线在处的切线互相平行；
④不论为何值，总存在无穷数列，使曲线在处的切线为同一条直线．
其中所有正确结论的序号是____．
11、（海淀区2022-2023高二下学期期末）随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务．某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为万条时，推荐系统的准确率约为，平台软件收入为元．已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当收集的数据量为________万条时，该软件能获得最高收益．
三、解答题
1、（朝阳区2022-2023学年高二下学期期末）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若是的一个极值点，求的单调递增区间；
（3）是否存在，使得在区间上的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
2、（大兴区2022-2023学年高二下学期期末）已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若对任意的，都有，求的取值范围；
（3）直接写出一个值使在区间上单调递增．
3、（东城区2022-2023学年高二下学期期末）已知函数，.
（1）若，求在区间上的最大值和最小值；
（2）设，求证：恰有2个极值点；
（3）若，不等式恒成立，求的最小值.
4、（海淀区2022-2023高二下学期期末）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的零点个数；
（3）若对任意的，都有，求实数的最大值．
5、（密云区2022-2023高二下学期期末）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值.
6、（石景山区2022-2023高二下学期期末）设，，．
（1）分别求函数，在点处的切线方程；
（2）判断与的大小关系，并加以证明．
7、（通州区2022-2023高二下学期期末）已知函数．
（1）求的单调区间及极值；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
8、（西城区2022-2023高二下学期期末）已知函数，其中．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间上的最小值为0，求在该区间上的最大值．
9、（怀柔区2022-2023高二下学期期末）已知函数.
（1）求的极值；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
10、（顺义区2022-2023高二下学期期末）已知函数．
（1）若对任意时，成立，求实数的最大值；
（2）若，求证：；
（3）若存在，使得成立，求证：．
11、（朝阳区2022-2023学年高二下学期期末）已知函数，．
（1）当时，证明；
（2）若直线是曲线的切线，设，求证：对任意的，都有．
12、（大兴区2022-2023学年高二下学期期末）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，讨论函数在区间上的单调性；
（3）对任意的，且，判断与的大小关系，并证明结论．
13、（密云区2022-2023高二下学期期末）已知函数．
（1）若在上是增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，判断0是否为函数的极值点，并说明理由；
（3）判断的零点个数，并说明理由．
14、（通州区2022-2023高二下学期期末）已知函数，
（1）若在区间上恰有一个极值点，求实数的取值范围；
（2）求的零点个数；
（3）若，求证：对于任意，恒有．
15、（通州区2022-2023高二下学期期末）已知函数，R．
（1）当，时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当，时，求在区间上的最大值：
（3）当时，设．判断在上是否存在极值．若存在．指出是极大值还是极小值；若不存在，说明理由．
16、（西城区2022-2023高二下学期期末）已知函数，其中．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数存在两个不同极值点，，证明：．
参考答案
一、选择题
1、B 2、B 3、C 4、B 5、C 6、D
7、A 8、B 9、B 10、C 11、D 12、A
13、D 14、C 15、D 16、D 17、C 18、C
19、B 20、A 21、B 22、D 23、C 24、A
25、D
二、填空题
1、 2、； 3、0（答案不唯一，即可）
4、 5、； 6、①③④
7、0 8、0 9、－1；0
10、①③④ 11、19
三、解答题
1、（1）当时，，所以．
因为，所以．
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
（2）函数的定义域为，则，
因为是的一个极值点，所以．解得．
所以，．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以当时，是的极大值点．
此时的单调递增区间为．
（3）①当时，
因为，，
所以在区间上单调递增．
此时．
若，则，不合题意．
②当，即时，
令，解得．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
此时．
若，则，符合题意．
综上，当时，在区间上的最大值为．
2、（1）当时，函数的定义域为
所以，
令，即，解得
所以变化如下表：
单调递减 极小值 单调递增
所以函数的极小值为，无极大值.
（2）当时，函数的定义域为，则，
令，即，解得
所以变化如下表：
单调递减 极小值 单调递增
所以函数的最小值为，
对任意的，都有，需满足
又，即，所以，故的取值范围为.
（3）由（2）可得，时可使得在区间上单调递增.
（由（2）可知，函数在上单调递增，所以，即的均符合题意）
3、（1）解：由函数，可得，
令，可得，
则的关系，如图下表：
1 2
0
极大值
综上可得，函数
（2）解：由函数，
可得，
因为，
所以方程有两个不同的根，设为且，则有
极小值 极大值
综上可得，函数恰有2个极值点.
（3）解：因为，所以，不等式恒成立，
设，可得，
所以的关系，如图下表：
1
0
极大值
所以，所以实数的最小值为.
4、（1）解：当时，函数，可得，
所以且，即切线的斜率为且切点坐标为，
所以切线方程为，即.
（2）解：当时，函数，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，也为最小值，
所以，所以函数没有零点，即函数的零点个数为.
（3）解：由对任意的，都有成立，即成立，
令，可得，
因为，要使得恒成立，则满足，即，
下面证明：当时，符合题意，
此时，令，
可得，所以为单调递减函数，
因为，所以，即
所以恒成立，
即当时，对任意的，都有成立，
综上可得，实数的取值范围为.
5、（1）函数的定义域为，
导函数，
所以,
故切线方程为；
（2）由（1），
令，可得或，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增；
所以函数的单调递增区间有，，单调递减区间有，
所以当时，函数取极大值，极大值为，
当时，函数取极小值，极小值为.
6、（1）因为，，，，，
所以点处的切线方程为，即.
因为，，，，，
所以在点处的切线方程为，即.
（2），证明如下：
设，
，
当时，；当时，，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以，
所以.
7、（1）函数的定义域为R，求导得，
当或时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得极大值，当时，取得极小值，
所以函数的递增区间是，递减区间是，极大值，极小值.
（2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，而，
因此，，
所以函数在上的最大值为，最小值为1.
8、（1）当时，，得．
则，，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2），，
由，得或．
随着的变化，，的变化情况如下：
2
- 0 +
极小值
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
从而的最小值，解得．
又因为，，
所以在区间上的最大值．
9、
10、
11、（1）当时，设，则．
令，解得．
当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增．
所以．
所以成立．
（2）由已知得．
设切点为，
则解得
所以，．
要证，
即证，
即证，
即证．
令，原不等式等价于，即．
设，则．
所以在区间上单调递增．
所以．
所以成立．
所以对任意，都有．
12、（1）由，求导得，显然，，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）由（1）及知，，
求导得，当时,，则，
因此在区间上单调递增.
（3）令，求导得，
由（2）知，，在区间上单调递增，则当时，，
当时，，因此在区间上单调递减，
由，得，且，于是，即，
所以.
13、（1），则，
若在上是增函数，即恒成立，得，
设，，
得，得，
即在递减，在递增，
则，
故，即．
（2）当时，，
令，，
当时，，单调递增，单调递增，又，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故是函数的极小值点．
（3）令，即，
当时，，故的根有1个，即，则有1个零点；
当时，由，得，故的根有1个，即，则有1个零点；
当且时，由，得，故的根有2个，即或，则有2个零点，
综上，当或时，有1个零点；当且时，有2个零点．
14、（1）函数，求导得，当时，，当时，，
因此是的极小值点，依题意，，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）函数的定义域为，求导得，
由得，由得，于是函数在上单调递减，在上单调递增，
而当时，，即有，因此上没有零点，
显然，即函数在上存在1个零点，
所以函数的零点个数为1.
（3）当时，，，
于是要证，即证，只需证，
令函数，求导得，
由，得，由，得，即在上递减，在上递增，
因此，则，，即，
所以对于任意，恒有.
15、（1）由已知得，函数的定义域为，且，
则曲线在点处的切线方程的斜率为，切点为，
所以切线方程为，即；
（2）由已知得，函数的定义域为，
，令，解得，
令，即，令，即，
①当时，即，在区间单调递减，
所以在区间上的最大值为；
②当时，即，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以在区间上的最大值为；
③当，即，在区间单调递增，
所以在区间上的最大值为；
（3）当时，，，
则，
令，则，
因为，所以，
所以在区间单调递减，
当无限趋近于时，无限趋近于正无穷，且，
①当，即时，，
在区间单调递增，所以在区间上无极值；
②当，即时，在区间上存在唯一的零点，
所以当时，，当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以在区间上有一个极大值，无极小值，
综上所述，当时，函数有一个极大值，无极小值，
当时，函数无极值.
16、（1）当时,函数的定义域为，
且．
由，得．
随着的变化，，的变化情况如下：
2
_ 0 +
极小值
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由题意，得，．
由存在两个不同的极值点，得存在两个不同的正实数根，
即方程存在两个不同的正实数根，，
所以，即．
又因为，，，，
所以
．
令，其中，
由，得在上单调递增，
所以，即