数列-北京市十区2022-2023学年高二下学期期末数学试题分类汇编（Word含答案）

北京市十区2022-2023学年高二下学期期末试题分类汇编
数列
一、选择题
1、（东城区2022-2023学年高二下学期期末）已知等比数列的首项和公比相等，那么数列中与一定相等的项是（ ）
A. B. C. D.
2、（海淀区2022-2023高二下学期期末）已知为等比数列，公比，则（ ）
A. 81 B. 27 C. 32 D. 16
3、（海淀区2022-2023高二下学期期末）已知等差数列前项和为，公差为，则“有最大值”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4、（石景山区2022-2023高二下学期期末）设是等差数列.下列结论中正确的是
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5、（西城区2022-2023高二下学期期末）在等差数列中，若，，则当的前项和最大时，的值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
6、（西城区2022-2023高二下学期期末）某钢厂的年产量由2010年的40万吨增加到2020年的60万吨，假设该钢厂的年产量从2010年起年平均增长率相同，那么该钢厂2030年的年产量将达（ ）
A. 80万吨 B. 90万吨 C. 100万吨 D. 120万吨
7、（西城区2022-2023高二下学期期末）在等比数列中，，公比，记其前项的和为，则对于，使得都成立的最小整数等于（ ）
A. 6 B. 3 C. 4 D. 2
8、（怀柔区2022-2023高二下学期期末）若、、成等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
9、（怀柔区2022-2023高二下学期期末）若是等差数列的前项和，，则（ ）
A. B.
C. D.
10、（怀柔区2022-2023高二下学期期末） 数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
11、（顺义区2022-2023高二下学期期末）数列是等差数列，若，则（ ）
A. B. 5 C. 9 D. 15
12、（顺义区2022-2023高二下学期期末）已知为等比数列，下面结论中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C D.
二、填空题
1、（东城区2022-2023学年高二下学期期末）已知数列的首项，且，那么_______；数列的通项公式为__________.
2、（海淀区2022-2023高二下学期期末）已知各项均不为零数列，其前项和是，且．给出下列四个结论：
①；
②为递增数列；
③若，则的取值范围是；
④，使得当时，总有．
其中所有正确结论的序号是________．
3、（石景山区2022-2023高二下学期期末）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
4、（西城区2022-2023高二下学期期末）在等比数列中，若，，则________．
5、（西城区2022-2023高二下学期期末）已知数列各项均为正整数，对任意的，和中有且仅有一个成立，且，．记．给出下列四个结论：
①可能为等差数列；
②中最大的项为；
③不存最大值；
④的最小值为36．
其中所有正确结论的序号是________．
6、（怀柔区2022-2023高二下学期期末）已知是公比为的等比数列，其前项和为.若，则__________.
三、解答题
1、（朝阳区2022-2023学年高二下学期期末）若有穷整数数列满足（），且各项均不相同，则称为数列．对数列，设，，则称数列为数列的导出数列．
（1）分别写出数列与的导出数列；
（2）是否存在数列使得其导出数列的各项之和为0？若存在，求出所有符合要求的数列；若不存在，说明理由；
（3）设数列与的导出数列分别为与，求证：的充分必要条件是．
2、（东城区2022-2023学年高二下学期期末）已知数列满足，.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）若数列满足，.对任意的正整数，是否都存在正整数，使得？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由.
3、（海淀区2022-2023高二下学期期末）已知等差数列前项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若等比数列前项和为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，设，求数列的前项和．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
4、（海淀区2022-2023高二下学期期末）给定整数，对于数列定义数列如下：，，其中表示，这个数中最小的数．记．
（1）若数列为①1，0，0，1；②1，2，3，4，5，6，7，分别写出相应的数列；
（2）求证：若，则有；
（3）若，常数使得恒成立，求的最大值．
5、（密云区2022-2023高二下学期期末）已知数列A：，， ，， ，满足，，数列A的前项和记为.
（1）写出的值；
（2）若，求的值；
（3）是否存在数列A，使得 如果存在，写出此时的值；如果不存在，说明理由.
6、（石景山区2022-2023高二下学期期末）已知公差不为0的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
7、（西城区2022-2023高二下学期期末）已知等比数列的公比，，且，的等差中项等于．
（1）求的通项公式；
（2）设，证明：数列为等差数列．
8、（西城区2022-2023高二下学期期末）设为无穷数列，给定正整数，如果对于任意，都有，则称数列具有性质．
（1）判断下列两个数列是否具有性质；（结论不需要证明）
①等差数列：5，3，1，…；②等比数列：1，2，4，…．
（2）已知数列具有性质，，，且由该数列所有项组成的集合，求的通项公式；
（3）若既具有性质又具有性质的数列一定是等差数列，求的最小值．
9、（怀柔区2022-2023高二下学期期末）已知等差数列的的前项和为，从条件① 条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答：
（1）求的通项公式；
（2）若是等比数列，，求数列的前项和.
①；②；③
10、（顺义区2022-2023高二下学期期末）已知为等差数列，为其前项和．若，设．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设，求数列的前项和．
参考答案
一、选择题
1、D 2、A 3、B 4、C 5、A 6、B
7、A 8、A 9、B 10、D 11、B 12、D
二、填空题
1、 4； 2、①③④ 3、①③④ 4、 5、③④
6、2
三、解答题
1、（1）的导出数列为，
导出数列为．
（2）不存在，理由如下：
设，
则，，，
，
，
．
因为，
所以是奇数，
是偶数，
是奇数，
是偶数，
是奇数．
因为共三个奇数，
所以是奇数．
所以不可能为0．
（3）必要性：
若，
则，
．
充分性：下面用反证法证明．
假设存，使得．
若，令．
若，令．
因为，
所以．
设中有项比小，则有项比大，
所以．
设中有项比小，则有项比大，
所以．
因为且，所以，
所以，矛盾．
所以．
2、（1）解：由数列满足，，
当时，可得；
当时，可得，
当时，可得.
（2）解：由数列满足，可得，
又由，可得，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，即数列的通项公式.
（3）解：存在正整数，使得.
由（2）可知，
又由，可得，
则 ，，，
归纳得，即，
证明：① 当时，，符合题意，
②设当时，，
当时，，即，
这说明假设当时猜想正确，那么当时猜想也正确.
上述可知猜想正确，即.
又因为，
所以对任意的正整数，都存在正整数，使得.
3、（1）设等差首项和公差分别为，
由得，
所以；
（2）设等比首项和公差分别为，
若选①②，由得；
由得，
所以公比为，故，
故，
故；
若选②③，
由可知公比不为1，所以，
由得，
所以，
故，
故；
若选①③，由可知公比不为1，所以，
由得；
所以，
故，
故.
4、（1）解：根据题意，若数列为，
可得，即数列为：；
若数列为，
可得，即数列为：.
（2）证明：由题设条件知，若时，可得，
当且仅当时，等号成立，
所以，
所以当，则成立.
（3）解：不妨设，
若，因为，所以，此时显然取任意实数都满足条件；
下面设，则的充分必要条件时，
假设，
因为，所以，
当时，由，
所以 ，
当时，有，
仍然有成立，所以，
因为，所以，
所以，取，所以，
所以的最大值为.
5、（1）因为，，
所以，解得或，
当时，由，解得或，
当时，由，解得，
所以或或，
（2）当时，，则或，此时由知，不满足，舍去；
当时，，则或，满足，不满足，舍去；
当时，由，得或，由知满足题意，当时，不满足题意，
综上， 或，或，
所以或或，
故.
（3）由，可得为整数，，
所以，
则，
所以，
若存在数列A，使得，则，
又为整数，所以方程无解，
故不存在数列A，使得.
6、（1）设等差数列的公差为，由，得，即，由，，成等比数列，得，即，又得，所以，，故数列的通项公式为．
（2）由，得，所以，
．
7、（1）由，的等差中项等于，得，
所以，即．
解得或（舍）．
由，得．
所以．
（2）因为，
所以，．
所以数列是首项为3，公差为的等差数列．
8、（1）由题意知，数列通项公式为，满足，所以数列具有性质；
数列中，代入，，所以不满足，所以数列不具有性质.
（2）由数列具有性质，得，
所以，即，
所以数列：，，，，，是等差数列．
又因为，，
所以数列的公差，
同理，得数列：，，， ，，是等差数列，公差．
①若且，则数列的最小项是，数列的最小项是，
所以数列的最小项为1，这与矛盾；
②若且，同理，得的最大项为2，这与矛盾；
③若且，则为递减数列，为递增数列．
由，得3为数列中的项，
所以只能是，且；
同理，可得0为数列中的项，
所以只能，．
此时，的通项公式为．
④若，，类似③的讨论可得，．
此时，的通项公式为．
综上，的通项公式为或
（3）由数列1，1，2，2，3，3， ，，，，，，，不是等差数列，且其同时具有性质，，，得且．
类似的，由数列1，1，1，2，2，2，3，3，3， ，，，，不是等差数列，且其既具有性质又具有性质，得．
所以的最小值大于或等于5．
以下证明的最小值等于5，即证“既具有性质又具有性质的数列一定是等差数列”．
因为具有性质，即，
所以对于，是等差数列；
同理，由具有性质，得对于，是等差数列．
由，，，，，，为等差数列（记公差为），且，，，，，，为等差数列（记公差为），得，，所以．
令，则，，．
同理，由，， ，，为等差数列，且，，，，，，，，为等差数列（记公差为），得，，
所以，且．
所以 ．
同理，由，，， ，，为等差数列，且，，， ，，为等差数列，
得；
由，，，， ，，为等差数列，且，，，， ，，为等差数列，
得；
由，，，，， ，，为等差数列，且，，，，， ，，为等差数列，得．
综上，．
故数列是公差为的等差数列．
即既具有性质又具有性质的数列一定是等差数列．
所以的最小值等于5
9、
10、